Produs vectorial

Produsul vectorial al doi vectori în spațiul euclidian tridimensional este un vector perpendicular pe ambii vectori originali, a cărui lungime este numeric egală cu aria paralelogramului format de vectorii originali, iar alegerea a două direcții este determinată astfel încât triplul vectorilor în ordine în produsul și vectorul rezultat este drept . Produsul vectorial al vectorilor coliniari (în special, dacă cel puțin unul dintre factori este un vector zero ) este considerat egal cu vectorul zero.

Astfel, pentru a determina produsul încrucișat a doi vectori, este necesar să se precizeze orientarea spațiului, adică să spunem care triplu de vectori este dreapta și care este stânga. În acest caz, nu este obligatoriu setarea niciunui sistem de coordonate în spațiul considerat . În special, pentru o anumită orientare a spațiului, rezultatul unui produs vectorial nu depinde dacă sistemul de coordonate considerat este dreapta sau stânga. În acest caz, formulele de exprimare a coordonatelor produsului vectorial în termeni de coordonatele vectorilor inițiali în sistemele de coordonate dreptunghiulare ortonormale din dreapta și din stânga diferă în semn.

Produsul vectorial nu are proprietățile comutativității și asociativității . Este anticomutativ și, spre deosebire de produsul scalar al vectorilor , rezultatul este din nou un vector.

Util pentru „măsurarea” perpendicularității vectorilor - modulul produsului încrucișat al doi vectori este egal cu produsul modulelor lor dacă sunt perpendiculari și scade la zero dacă vectorii sunt coliniari .

Utilizat pe scară largă în multe aplicații tehnice și fizice. De exemplu, momentul unghiular și forța Lorentz sunt scrise matematic ca un produs încrucișat.

Istorie

Produsul vectorial a fost introdus de W. Hamilton în 1846 [1] simultan cu produsul scalar în legătură cu cuaternioni - respectiv, ca vector și partea scalară a produsului a doi cuaternioni, a căror parte scalară este egală cu zero [2] ] .

Definiție

Produsul vectorial al unui vector de un vector în spațiul euclidian tridimensional este un vector care îndeplinește următoarele cerințe: ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

lungimea vectorului este egală cu produsul lungimilor vectorilor și multiplicat cu sinusul unghiului dintre ei (adică aria paralelogramului format de vectori și ); ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
vectorul este ortogonal cu fiecare dintre vectori și ; ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
vectorul este îndreptat astfel încât triplul vectorilor să fie drept . ${\vec {c}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Denumiri:

{\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\ vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\wedge {\vec {b}}.

Note

Ca definiție, puteți utiliza expresia produsului încrucișat descrisă mai jos în coordonate în sistemul de coordonate dreptunghiular din dreapta (sau din stânga) .

De asemenea, un set de proprietăți algebrice ale produsului vectorial poate fi luat ca definiție inițială.

Triple drepte și stângi ale vectorilor în spațiul euclidian tridimensional

Luați în considerare un triplu ordonat de vectori necomplanari ( liniar independenți ) în spațiul euclidian tridimensional. Într -un spațiu orientat , un astfel de triplu de vectori va fi fie „dreapta”, fie „stânga”. ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Definiție geometrică

Să combinăm originile vectorilor la un moment dat. Un triplu ordonat de vectori necoplanari în spațiul tridimensional se numește dreapta , dacă de la sfârșitul vectorului cea mai scurtă rotație de la vector la vector este vizibilă pentru observator în sens invers acelor de ceasornic . În schimb, dacă cea mai scurtă viraj este văzută în sensul acelor de ceasornic , atunci cele trei se numesc stânga . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Definiția mâinii

O altă definiție este asociată cu mâna dreaptă a unei persoane, de la care este luat numele. În figură, triplul vectorilor , , este corect . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$

Definiție algebrică

Există, de asemenea, o modalitate analitică de a determina triplul drept și stâng al vectorilor, care necesită setarea sistemului de coordonate dreapta sau stânga în spațiul luat în considerare, și nu neapărat dreptunghiular și ortonormal .

Este necesar să se facă o matrice, al cărei prim rând va fi coordonatele vectorului , al doilea - vectorul , al treilea - vectorul . Apoi, în funcție de semnul determinantului acestei matrice, putem trage următoarele concluzii: ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

Dacă determinantul este pozitiv, atunci triplul vectorilor are aceeași orientare ca și sistemul de coordonate .
Dacă determinantul este negativ, atunci triplul vectorilor are o orientare opusă celei a sistemului de coordonate .
Dacă determinantul este zero, atunci vectorii sunt coplanari (liniar dependenți).

Note

Definițiile vectorilor triplu „dreapta” și „stânga” depind de orientarea spațiului, dar nu necesită specificarea niciunui sistem de coordonate în spațiul în cauză , așa cum definiția produsului vectorial în sine nu necesită acest. În acest caz, formulele de exprimare a coordonatelor produsului vectorial prin coordonatele vectorilor inițiali vor diferi ca semn în sistemele de coordonate dreptunghiulare din dreapta și din stânga .

Tot drept unul față de celălalt (și stânga unul față de celălalt) triple de vectori se numesc orientați egal .

Pentru o anumită orientare în spațiu, sistemul de coordonate se numește dreapta ( stânga ) dacă triplul vectorilor cu coordonatele , , este dreapta (stânga). $(1,0,0)$ $(0,1,0)$ $(0,0,1)$

Definirea geometrică și definirea cu ajutorul mâinii în sine determină orientarea spațiului. Definiția algebrică specifică o modalitate de a împărți triplele vectorilor necoplanari în două clase de vectori orientați egal, dar nu specifică orientarea spațiului, ci o folosește pe cea deja dată - cea pe baza căreia coordona dată sistemul este considerat drept sau stâng. În acest caz, dacă orientarea sistemului de coordonate este necunoscută, puteți compara semnul determinantului cu semnul determinantului unui alt triplu de vectori necoplanari, a cărui orientare este cunoscută - dacă semnele sunt aceleași , atunci triplele sunt orientate egal, dacă semnele sunt opuse, triplele sunt orientate opus.

Proprietăți

Proprietățile geometrice ale produsului vectorial

O condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea a doi vectori nenuli este egalitatea produsului lor vectorial la zero.
Modulul produsului încrucișat este egal cu aria paralelogramului , construit pe vectorii redusi la o origine comună și (vezi Figura 1). $[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$ $S$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
Dacă este un vector unitar ortogonal cu vectorii și și și ales astfel încât triplul să fie corect și să fie aria paralelogramului construit pe ei (redus la o origine comună), atunci următoarea formulă este adevărată pentru produsul vectorial : $\vec{e}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}}, {\vec {e}}$ $S$

[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}.

Dacă este orice vector, este orice plan care conține acest vector, este un vector unitar situat în plan și ortogonal cu , este un vector unitar ortogonal planului și direcționat astfel încât triplul vectorilor să fie corect, atunci pentru orice vector situat în plan formula este valabilă ${\vec {c}}$ $\pi$ $\vec{e}$ $\pi$ ${\vec {c}}$ ${\vec {g}}$ $\pi$ ${\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}$ $\pi$ ${\vec {a}}$

[{\vec {a)],\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec { c}}|\cdot {\vec {g}}.

Când utilizați produse vectoriale și scalare, puteți calcula volumul unui paralelipiped construit pe vectorii a , b și c redus la o origine comună (vezi Figura 2). Un astfel de produs de trei vectori se numește mixt .

V=|\langle {\vec {a)],\;[{\vec {b)],\;{\vec {c))]\rangle |.

Figura arată că acest volum poate fi găsit în două moduri: rezultatul geometric este păstrat chiar și atunci când produsele „scalare” și „vectorale” sunt interschimbate:

V=\langle [{\vec {a)],\;{\vec {b))],\;{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\ ;[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]\rangle .

Valoarea produsului încrucișat depinde de sinusul unghiului dintre vectorii originali, astfel încât produsul încrucișat poate fi gândit ca gradul de „perpendicularitate” al vectorilor, la fel cum produsul punctual poate fi considerat ca gradul de "paralelism". Produsul încrucișat a doi vectori unitari este egal cu 1 (un vector unitar) dacă vectorii inițiali sunt perpendiculari și egal cu 0 (vector zero) dacă vectorii sunt paraleli sau antiparaleli.

Proprietăți algebrice ale produsului încrucișat

Mai departe , și , respectiv, se notează vectorul și produsul scalar al vectorilor și . $[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$ $\langle {\vec {a)],\;{\vec {b}}\rangle$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Performanţă	Descriere
$[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]$	Anticomutativitatea .
$[\alpha \cdot {\vec {a)],\;{\vec {b))]=[{\vec {a)],\;\alpha \cdot {\vec {b))] =\alpha \cdot [{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$	Asociativitatea înmulțirii cu un scalar.
$[{\vec {a}}+{\vec {b)],\;{\vec {c}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {c}}] +[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]$	Distributivitatea în raport cu adunarea.
$[[{\vec {a)],\;{\vec {b))],\;{\vec {c}}]+[[{\vec {b)],\;{\vec {c}}],\;{\vec {a}}]+[[{\vec {c}},{\vec {a}}],\;{\vec {b}}]={\vec {0}}$	Identitatea Jacobi .
$[{\vec {a)],\;{\vec {a}}]={\vec {0}}$
$[{\vec {a)],\;[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]]={\vec {b}}\cdot \langle {\vec { a)),\;{\vec {c}}\rangle -{\vec {c}}\cdot \langle {\vec {a)],\;{\vec {b}}\rangle$	Formula „BAC minus CAB”, identitatea lui Lagrange .
$\|[{\vec {a)],\,{\vec {b))]\|^{2}+\langle {\vec {a)),\,{\vec {b))\rangle ^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}\cdot \|{\vec {b}}\|^{2}$	Un caz special al multiplicativității normei cuaternioane .
$\langle [{\vec {a)],\,{\vec {b))],\,{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\,[ {\vec {b)],\,{\vec {c}}]\rangle$	Valoarea acestei expresii se numește produsul mixt al vectorilor , , . $A$ $b$ $c$

Exprimarea în coordonate

Într-o bază corectă ortonormală

Dacă doi vectori și sunt reprezentați în baza ortonormală dreaptă prin coordonate $\vec a$ ${\vec {b)}$

{\vec {a}}=(a_{x},\;a_{y},\;a_{z}),

{\vec {b}}=(b_{x},\;b_{y},\;b_{z}),

atunci produsul lor vectorial are coordonate

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{ x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).

Pentru a reține această formulă, este convenabil să folosiți determinantul mnemonic :

[{\vec {a)],\;{\vec {b)}]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{ x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},

unde , , , sau $\mathbf {i} =(1,0,0)$ $\mathbf {j} =(0,1,0)$ $\mathbf {k} =(0,0,1)$

[{\vec {a)],\;{\vec {b)}]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j }b_{k},

unde este simbolul Levi-Civita . $\varepsilon_{{ijk}}$

Într-o bază ortonormală stângă

Dacă baza este lăsată ortonormală, atunci produsul vectorial în coordonate are forma

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{ z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).

De reținut, în mod similar:

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_ {x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},

[{\vec {a)],\;{\vec {b)}]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\cdot a_{j}\cdot b_{k}.

Formulele pentru sistemul de coordonate din stânga pot fi obținute din formulele pentru sistemul de coordonate din dreapta scriind aceiași vectori în sistemul de coordonate auxiliar din dreapta ( ): $\vec a$ ${\vec {b)}$ ${\mathbf i}'={\mathbf i},{\mathbf j}'={\mathbf j},{\mathbf k}'=-{\mathbf k}$

[{\vec {a)],\;{\vec {b)}]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} „&\mathbf {j} „&\mathbf {k} „\ \a'_{x}&a'_{y}&a'_{z}\\b'_{x}&b'_{y}&b'_{z}\end{vmatrix}}={\begin{ vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &-\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&-a_{z}\\b_{x}&b_{y}&-b_{ z}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_ {x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.

Într-un sistem de coordonate afine arbitrar

Produsul vectorial într-un sistem de coordonate afine arbitrar are coordonate $O{\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}$

$[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}[{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e} }_{3}]&[{\vec {e}}_{3},\;{\vec {e}}_{1}]&[{\vec {e}}_{1},\; {\vec {e}}_{2}]\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.$

Variații și generalizări

Quaternioni

Coordonatele unui produs vectorial într-o bază ortonormală dreaptă pot fi scrise, de asemenea , sub formă de cuaternion , deci literele , , sunt notația standard pentru ortele în : sunt tratate ca cuaternioni imaginari. ${\mathbf i}$ ${\mathbf j}$ ${\mathbf k}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Rețineți că relațiile de produse încrucișate dintre și corespund regulilor de multiplicare pentru cuaternioni și . Dacă reprezentăm un vector ca un cuaternion , atunci produsul vectorial al doi vectori se obține prin luarea părții vectoriale a produsului cuaternionilor corespunzători. Produsul scalar al acestor vectori este opusul produsului scalar al acestor cuaternioni. ${\mathbf i}$ ${\mathbf j}$ ${\mathbf k}$ $i$ $j$ $k$ $(a_{1},\;a_{2},\;a_{3})$ $a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$

Transformare în formă de matrice

Produsul vectorial al doi vectori în coordonate în baza ortonormală dreaptă poate fi scris ca produsul unei matrice simetrice oblice și al unui vector:

[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=[{\vec {a}}]_{\times }{\vec {b}}={\begin{bmatrix }\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\, a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}},

[{\vec {b)],\;{\vec {a}}]={\vec {b}}^{T}[{\vec {a}}]_{\times }={ \begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2} \\\,\,\,a_{3}&\,0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}},

Unde

[{\vec {a}}]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}& \,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\ ,\,0\end{bmatrix}}.

Fie egal cu produsul vectorial: ${\vec {a}}$

{\vec {a}}=[{\vec {c}},\;{\vec {d}}],

apoi

[{\vec {a}}]_{\times }=({\vec {c}}{\vec {d}}^{T})^{T}-{\vec {c}} {\vec {d}}^{T}.

Această formă de notație face posibilă generalizarea produsului vectorial la dimensiuni mai mari, reprezentând pseudovectori ( viteză unghiulară , inducție etc.) ca atare matrici oblice-simetrice. Este clar că astfel de mărimi fizice vor avea componente independente în spațiul -dimensional. În spațiul tridimensional se obțin trei componente independente, astfel încât astfel de mărimi pot fi reprezentate ca vectori ai acestui spațiu. $n(n-1)/2$ $n$

Această formă de notație este adesea mai ușor de lucrat (de exemplu, în geometria epipolară ).

Din proprietățile generale ale produsului vectorial rezultă că

[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {a}}={\vec {0}}

și

{\vec {a}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }={\vec {0}},

și, din moment ce este simetrică oblică, atunci $[{\vec {a}}]_{\times }$

{\vec {b}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {b}}=0.

În această formă de notație, identitatea Lagrange este ușor de demonstrat (regula „BAC minus CAB”).

Extensie la matrice

În cazul tridimensional, se poate defini în coordonate în mod arbitrar produsul vectorial al matricelor și produsul unei matrice cu un vector. Acest lucru face ca izomorfismul de mai sus să fie evident și ne permite să simplificăm multe calcule. Să reprezentăm matricea ca o coloană de vectori, atunci $A$

{\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix }}\times {\vec {b}}={\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2 }\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\times {\vec {b}}\end{bmatrix}},

{\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix }}\cdot {\vec {b}}={\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2 }\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\cdot {\vec {b}}\end{bmatrix}}.

Înmulțirea matrice-vector din stânga este definită în mod similar atunci când este reprezentată ca un șir de vectori. Transpunerea unei matrice, respectiv, traduce un rând de vectori într-o coloană de vectori și invers. Este ușor să generalizați multe relații pentru vectori la relații pentru vectori și matrice, de exemplu ( este o matrice, , sunt vectori): $A$ $A$ ${\vec x}$ ${\vec {y}}$

A\cdot ({\vec {x))\times {\vec {y))}=(A\times {\vec {x)))\cdot {\vec {y)),

A\times ({\vec {x}}\times {\vec {y}})={\vec {x}}(A\cdot {\vec {y}})-{\vec {y }} }}(A\cdot {\vec {x}}).

După aceea, puteți modifica notația pentru produsul vectorial:

{\vec {x}}\times {\vec {y}}=E\cdot ({\vec {x}}\times {\vec {y}})=(E\times {\vec { x)))\cdot {\vec {y)),

$E$ este matricea identitară. Din aceasta, existența și forma matricei corespunzătoare înmulțirii vectorului cu un vector din stânga sunt evidente. În mod similar, se poate obține o expresie pentru matricea de înmulțire prin vectorul din dreapta. Prin extinderea operațiilor pe vectori la matrice componentă cu componentă, reprezentându-le ca „vectori de vectori”, relațiile standard pentru vectori sunt ușor generalizate la matrice. De exemplu, teorema Stokes ia forma: $\mathbb {R} ^{3}$

\int \limits _{{\Sigma }}\operatorname {rot}\,{\mathbf {A^{T}}}\,{\mathbf {d\Sigma }}=\int \limits _{{\partial \Sigma }}{\mathbf {A}}\cdot \,d{\mathbf {r}},

unde curba matricei este calculată ca produs vectorial al matricei și operatorul Hamilton din stânga (se presupune că baza este ortonormală dreapta). În această notație, este foarte ușor să demonstrezi, de exemplu, următoarele forme ale teoremei lui Stokes: $A$ $A$

\int \limits _{{\Sigma }}\operatorname {grad}\,u\times \,{\mathbf {d\Sigma }}=\int \limits _({\partial \Sigma }}u\,d {\mathbf {r}),

\int \limits _{{\Sigma }}\left[{\mathbf {d\Sigma }};\left[\nabla ;{\mathbf a}\right]\right]=\int \limits _{{\ parțial \Sigma }}{\mathbf a}\times d{\mathbf {r}}.

Dimensiunile nu sunt egale cu trei

Fie dimensiunea spațiului . $n$

Un produs vectorial care are toate proprietățile unui produs vectorial tridimensional obișnuit, adică o mapare biliniară antisimetrică nedegenerată , poate fi introdus doar pentru dimensiunile 3 și 7 . ${\mathbb {R}}^{n}\times {\mathbb {R}}^{n}\la {\mathbb {R}}^{n}$

Există însă o simplă generalizare la alte dimensiuni naturale, începând de la 3, și, dacă este cazul, la dimensiunea 2 (aceasta din urmă, însă, într-un mod relativ specific). Atunci această generalizare, spre deosebire de cea imposibilă descrisă mai sus, este introdusă nu pentru o pereche de vectori, ci doar pentru un set de vectori factori. Este destul de analog cu produsul mixt , care este în mod natural generalizat în spațiu dimensional la operația cu factori. Folosind simbolul Levi-Civita cu indici, se poate scrie în mod explicit un astfel de produs încrucișat -valent ca $(n-1)$ $n$ $n$ $\varepsilon _{{i_{1}i_{2}i_{3}\ldots i_{n}}}$ $n$ $(n-1)$

P_{i}(\mathbf {a},\mathbf {b},\mathbf {c},\dotsc)=\sum _{j,k,m,\dotsc =1}^{n}\ varepsilon _{ijk\ldots }a_{j}b_{k}c_{m}\ldots =\det \left({\begin{pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf { e_{n}} \end{pmatrix}},\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\ldots \right)\cdot \mathbf {e_{i}} ,

$\mathbf {P} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n-1}} )=\det \left({\begin {pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf {e_{n}} \end{pmatrix}},\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} , \ldots ,\mathbf {a_{n-1}} \right)={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\cdots &\mathbf {e_{n }} \\a_{1_{1}}&a_{1_{2}}&\cdots &a_{1_{n}}\\a_{2_{1}}&a_{2_{2}}&\cdots &a_{2_ {n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1_{1}}&a_{n-1_{2}}&\cdots &a_{n-1_{n}}\ sfârșit{vmatrix}}.$

O astfel de generalizare produce o hiperzonă de dimensiune . $n-1$

Dacă trebuie să introduceți o operație pentru doar doi factori, care are o semnificație geometrică extrem de apropiată de semnificația unui produs vectorial (adică reprezentând o zonă orientată), atunci rezultatul nu va mai fi un vector, deoarece la factori. Se poate introduce un bivector ale cărui componente sunt egale cu proiecțiile ariei orientate a paralelogramului acoperite de o pereche de vectori pe planurile de coordonate: $n\neq 3$

\ P_{{ij))({\mathbf {a,b))=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}

Această construcție se numește produsul exterior .

Pentru cazul bidimensional, operația

\ P({\mathbf {a,b}})=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}

se numește produs pseudoscalar deoarece spațiul rezultat este unidimensional și rezultatul este un pseudoscalar . (Produsul exterior cu doi indici descris mai sus poate fi introdus și pentru un spațiu bidimensional, dar este evident destul de banal legat de produsul pseudoscalar, și anume, produsul exterior în acest caz este reprezentat de o matrice cu zerouri pe diagonală. , iar celelalte două elemente în afara diagonalei sunt egale cu produsul pseudoscalar și minus produsul pseudoscalar.)

Lie algebra vectorilor

Produsul vectorial introduce structura algebrei Lie (deoarece satisface ambele axiome - antisimetrie si identitatea Jacobi ). Această structură corespunde identificării cu algebra Lie tangentă la grupul Lie de transformări liniare ortogonale ale spațiului tridimensional. ${\mathbb {R}}^{{3}}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $deci (3)$ $SO(3)$

Vezi și

Produse ale vectorilor

Produs pseudoscalar (numai în avion!)
Produsul punctual al vectorilor
Produs mixt (scalar-vector) al vectorilor (numai în ) ${\mathbb {R}}^{{3}}$
Produs dublu (vector-vector) al vectorilor (numai în ) ${\mathbb {R}}^{{3}}$
Produs vectorial în spațiul șapte-dimensional

Alte

Note

↑ Crowe MJ O istorie a analizei vectoriale - Evoluția ideii unui sistem vectorial . - Publicaţiile Courier Dover, 1994. - S. 32. - 270 p. — ISBN 0486679101 .
↑ Hamilton WR Despre Quaternions; sau asupra unui nou sistem de imaginari în algebră // Revista filosofică. Seria a 3-a. - Londra, 1846. - T. 29 . - S. 30 .

Literatură

1. Kochin N.E. Calculul vectorial și începuturile calculului tensor. Academia de Științe a URSS: Editura „NAUKA”, M. 1965.

Link -uri

Artă vectorială multidimensională Arhivată pe 5 septembrie 2015 la Wayback Machine
Produs vectorial și proprietățile sale. Exemple de rezolvare a problemelor Arhivat 23 februarie 2011 la Wayback Machine
V. I. Gervids. Rotire dreapta si stanga . NRNU MEPhI (10.03.2011). - Demonstrații fizice. Preluat la 3 mai 2011. Arhivat din original la 23 decembrie 2015. (nedefinit)

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte