Topologia Grothendieck

Topologia Grothendieck este o structură pe o categorie care face obiectele sale să arate ca seturi deschise ale unui spațiu topologic . O categorie împreună cu topologia Grothendieck se numește situs [1] sau sit [2] .

Topologiile lui Grothendieck axiomatizează definiția unui capac deschis , ceea ce face posibilă definirea snopilor în categorii și coomologia lor , ceea ce a fost făcut pentru prima dată de Alexander Grothendieck pentru coomologia étale a schemelor .

Există o modalitate firească de a asocia un spațiu topologic cu topologia Grothendieck, în acest sens poate fi considerată ca o generalizare a topologiilor uzuale . În același timp, pentru o clasă mare de spații topologice este posibil să se restabilească topologia din topologia Grothendieck, dar acest lucru nu este așa pentru un spațiu antidiscret .

Definiție

Motivație

Definiția clasică a unui snop începe cu un spațiu topologic . Este asociat cu categoria , ale cărei obiecte sunt seturi deschise ale topologiei, iar setul de morfisme dintre două obiecte este format dintr-un element dacă primul set este încorporat în al doilea (aceste mapări se numesc înglobări deschise), iar în caz contrar gol. După aceea, un snop este definit ca un functor contravariant în categoria mulțimilor , iar un snop este definit ca un snop care satisface axioma de lipire . Axioma de lipire este formulată în termeni de acoperire punctual, adică acoperă dacă și numai dacă . Topologiile Grothendieck le înlocuiesc pe fiecare cu o întreagă familie de mulțimi deschise; mai precis, este înlocuită cu familia de atașamente deschise . O astfel de familie se numește sită . $X$ $BOU)$ $\{U_{i}\}$ $U$ $\bigcup {_{i}}U_{i}=U$ $U_{i}$ $U_{i}$ $V_{ij}\la U_{i}$

sita

Dacă este un obiect arbitrar al categoriei , atunci rețeaua este un subfunctor al functorului . În cazul categoriei , o sită pe un set deschis este o familie de subseturi deschise , închise sub operațiunea de a lua un submult deschis. O mulțime deschisă arbitrară , atunci este o submulțime de , respectiv, este goală dacă - nu o submulțime de , și altfel poate consta dintr-un element; dacă nu este gol, putem presupune că a fost ales de o sită. Dacă este un submult al lui , atunci există un morfism , deci dacă nu este gol, atunci nu este, de asemenea, gol. $c$ ${\mathcal C}$ $c$ $\mathrm {Hom} (-,c)$ $BOU)$ $S$ $U$ $U$ $V$ $S(V)$ $\mathrm {Hom} (V,U)$ $V$ $U$ $V$ $W$ $V$ $S(V)\la S(W)$ $S(V)$ $S(W)$

Axiome

Topologia Grothendieck de pe categorie este alegerea pentru fiecare obiect al categoriei unui set de grile pe , notat cu . Elementele se numesc grile de acoperire pe . În special, o sită pe un set deschis acoperă dacă și numai dacă unirea tuturor , astfel încât nu este goală, este toate . Această alegere trebuie să satisfacă următoarele axiome: $J$ ${\mathcal C}$ $c$ ${\mathcal C}$ $c$ $J(c)$ $J(c)$ $c$ $S$ $U$ $V$ $S(V)$ $U$

schimbarea bazei: dacă este o sită de acoperire pe și este un morfism, atunci imaginea inversă a sitei sub acțiunea lui ( ) este o sită de acoperire pe . $S$ $X$ $f:Y\la X$ $f$ $f\ast S$ $Y$
caracter local: dacă este o sită de acoperire pe , este o sită de acoperire pe , iar pentru fiecare obiect și fiecare morfism aparținând lui , imaginea inversă a sitei este o sită de acoperire pe , atunci este o sită de acoperire pe . $S$ $X$ $T$ $X$ $Y\in \mathrm {Ob} {\mathcal {C)}$ $f:Y\la X$ $S(Y)$ $f\ast T$ $Y$ $T$ $X$
unitate: — sita de acoperire pentru orice obiect din categoria . $\mathrm {Hom} (-,X)$ $X$ $X$ ${\mathcal C}$

Înlocuirea bazei corespunde ideii că dacă acoperă , atunci acoperă . Caracterul local corespunde faptului că dacă acoperă și acoperă pentru fiecare , atunci toate acoperă . În cele din urmă, unul corespunde faptului că fiecare mulțime poate fi acoperită de unirea tuturor submulților sale. $\{U_{i}\}$ $U$ $\{U_{i}\cap V\}$ $U\cap V$ $\{U_{i}\}$ $U$ $\{V_{ij}\)$ $U_{i}$ $i$ $\{V_{ij}\)$ $U$

Situs și pachete

Într-o categorie , se poate defini un snop folosind axioma de lipire. Se pare că un snop poate fi definit în orice categorie cu topologia Grothendieck: un snop pe un situs este un snop astfel încât pentru orice obiect și sită de acoperire pe harta naturală indusă de încorporarea în Hom(−, X ) este o bijectie. Un morfism între snopi, la fel ca un morfism între snopi, este o transformare naturală a functorilor. Categoria tuturor snopilor de pe un situs se numește toposul Grothendieck . Snopii, grupurile abeliene, inelele, modulele și alte structuri sunt definite în mod similar. $BOU)$ $({\mathcal {C)),J)$ $F$ $X$ $S$ $X$ $\mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,X), F)\la \mathrm {Hom} (S,F)$ $S$

Folosind lema lui Yoneda , se poate demonstra că un snop din categoria astfel definită coincide cu un snop în sens topologic. $BOU)$

Exemple de situs

Topologie discretă și antidiscretă

Topologia discretă pe o categorie arbitrară este dată prin declararea tuturor site-urilor deschise. Pentru a specifica o topologie antidiscretă, numai sitele de formă ar trebui considerate deschise . În topologia antidiscretă, orice snop înainte este un snop. ${\mathcal C}$ $\mathrm {Hom} (-,X)$

Topologie canonică

Topologia canonică pe o categorie arbitrară este cea mai subtilă topologie , astfel încât toate presheaves reprezentabile (functorii formeisunt snopi. O topologie care este mai puțin subțire (adică o topologie astfel încât orice presheaf reprezentabil este un snop) se numește subcanonic. , majoritatea topologiilor întâlnite în practică sunt subcanonice. ${\mathcal C}$ $\mathrm {Hom} (-,X))$

Situații mici și mari asociate spațiului topologic

Pentru a compara spațiul topologic al unui situs mic, în categoria învelișuri sunt declarate astfel de site , încât unirea tuturor celor nevide coincide cu toate . $BOU)$ $S$ $V$ $S(V)$ $U$

O sită din categoria spațiilor topologice se numește sită de acoperire dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: $S$ $\mathbf {Sus}$

pentru toate și morfismele aparținând lui , există un obiect și o săgeată care este o încorporare deschisă, aparține și trece prin ; $Y$ $f:Y\la X$ $S(Y)$ $V$ $g:V\la X$ $g$ $g$ $S(V)$ $f$ $g$
dacă este uniunea , unde trece prin , atunci . $W$ $f(Y)$ $f:Y\la X$ $S(Y)$ $W=X$

Pentru categoria virgulă a spațiilor topologice peste un spațiu topologic fix , topologia este indusă de categorie . Categoria rezultată se numește situsul mare asociat spațiului topologic . $X$ $\mathbf {Sus}$ $X$

Topologii pe categoria circuitelor

Functori între situsuri

Note

↑ R. Goldblatt. Topoi. Analiza categorică a logicii. - M . : Mir, 1983. - 487 p.
↑ P. Johnston. Teoria topoi. — M .: Nauka, 1986. — 440 p.

Literatură

Artin, Michael. Topologii Grothendieck - Universitatea Harvard, Dept. de matematică, 1962.
Demazure Michel, Alexandre Grothendieck. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 1 (Note de curs la matematică 151). — Berlin; New York: Springer-Verlag, 1970. P. xv+564.
Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Note de curs la matematică 269). — Berlin; New York: Springer-Verlag, 1972. P. xix+525.