Varietate torica

O varietate toric este o varietate algebrică care conține torul algebric ca submulțime densă deschisă, astfel încât acțiunea torusului asupra lui însuși prin înmulțire din stânga se extinde la acțiunea asupra întregii varietăți. Dacă varietatea este complexă , atunci torul algebric este . De obicei, soiurile torice sunt considerate a fi normale . Există, de asemenea, o teorie paralelă care folosește varietăți simplectice în loc de varietăți algebrice . $(\mathbb {C} ^{*})^{n)$

Un soi toric poate fi construit dintr-un evantai și toate soiurile torice normale sunt obținute în acest fel. Această construcţie nu este elementară în sensul pe care îl cere conceptul de spectru al unui inel . O altă construcție este construcția unei varietăți torice proiective având în vedere un politop convex adecvat, care poate fi formulat fără a recurge la conceptele de geometrie algebrică a schemei .

Design ventilator

Caz afin

Fie torusul -dimensional , $T$ $n$

N={\textrm {Hom}}(\mathbb {C} ,T)\cong \mathbb {Z} ^{n}

este un grup abelian liber numit rețeaua subgrupurilor cu un singur parametru și

M={\textrm {Hom}}(T,\mathbb {C} )\cong {\textrm {Hom}}(N,\mathbb {Z} )\cong Z^{n}

este grupul dual abelian, numit rețea monomială . Să presupunem că un con este dat într-un spațiu vectorial , care este strict convex (adică nu conține simultan vectori nenuli și ) și este generat de un număr finit de vectori raționali (vectori din ) ca un con convex . Luați conul dublu care se află în spațiul dual și intersectați-l cu rețeaua . Elementele acestei reţele pot fi considerate monomii din algebră , obţinându - se astfel o subalgebră . Varietatea torica afina corespunzatoare conului este spectrul acestei algebre. $N_{\mathbb {R} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ $\sigma$ $v$ $(-v)$ $N_{\mathbb {Q} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ $\sigma ^{*}$ $M_{\mathbb {R} }$ $M={\textrm {Hom}}(T,\mathbb {C} )$ $\mathbb {C} [T]$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$ $X_{\sigma }$ $\sigma$

Mai mult, acțiunea torului asupra lui însuși prin multiplicare continuă datorită faptului că algebra este generată de monomii. Datorită convexității stricte a conului , maparea duală față de încorporare este o încorporare deschisă. Deoarece conul este generat de un număr finit de vectori raționali, Lema lui Gordan afirmă că o algebră este generată finit, adică spectrul său este o varietate. $T$ $X_{\sigma }$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$ $T\la X_{\sigma }$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]\la \mathbb {C} [T]$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$

Lipirea

Necesitatea trecerii la conul dublu se explică prin faptul că atunci devine posibilă lipirea conurilor într-un ventilator.

Construcție pe un poliedru

Literatură

David A. Cox, John B. Little, Hal Schenck. Soiuri torice (neopr.) . - American Mathematical Soc., 2011. - P. 841. - (Studii universitare de matematică). — ISBN 9780821848197 . Arhivat pe 12 noiembrie 2014 la Wayback Machine
Michèle Audin, Ana Cannas da Silva, Eugene Lerman. Geometria simplectică a sistemelor hamiltoniene integrabile . — Birkhauser, 2012. - P. 226. - ISBN 9783034880718 .
G. Yu. Panina. Soiuri torice. Introducere în Geometria Algebrică .