Grup abelian gratuit

În matematică , un grup abelian liber ( un modul Z liber ) este un grup abelian care are o bază , adică o astfel de submulțime de elemente ale grupului încât pentru oricare dintre elementele sale există o reprezentare unică sub forma unei combinație liniară a elementelor de bază cu coeficienți întregi , dintre care doar un număr finit este diferit de zero. Elementele unui grup abelian liber cu baza B sunt numite și sume formale peste B . Grupurile abeliene libere și sumele formale sunt folosite în topologia algebrică în definirea grupurilor de lanțuri și în geometria algebrică în definirea divizorilor .

Ca și spațiile vectoriale , grupurile abeliene libere sunt clasificate după cardinalitatea bazei; această cardinalitate este independentă de alegerea bazei și se numește rangul grupului . [1] [2]

Exemplu și contraexemplu

Grupul , suma directă a două copii ale unui grup ciclic infinit , este un grup abelian liber de rang 2, deoarece are o bază , unde și . Un element arbitrar al unui grup este reprezentat în mod unic ca o combinație liniară a acestora: . Mai general, un grup abelian liber este orice rețea din [3] $G=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \simeq \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2)$ $\mathbb {Z}$ $B=\lbrace e_{1},e_{2}\rbrace$ $e_{1}=(1,0)$ $e_{2}=(0,1)$ $(n,m)$ $G$ $(n,m)=ne_{1}+me_{2)$ ${\mathbb R}^{n}.$
Niciun grup abelian finit , în afară de cel trivial , nu este liber (deoarece un grup abelian liber nu are torsiune ).

Sume formale

Pentru orice mulțime , puteți defini un grup ale cărui elemente sunt funcții de la mulțimea de numere întregi, iar parantezele indică faptul că toate funcțiile iau valori diferite de zero pe cel mult o mulțime finită. Adunarea funcțiilor este definită punctual: cu privire la această adunare , formează un grup abelian liber, a cărui bază se află în corespondența la-unu -unu cu mulțimea combinație liniară finită a funcțiilor de bază: $B$ ${\mathbb Z}^{{(B))),$ $B$ ${\mathbb Z},$ $(f+g)(x)=f(x)+g(x),$ ${\mathbb Z}^{{(B)))$ $b.$ $X$ $B$ $e_{x},$ $e_{x}(x)=1,$ $e_{x}(y)=0$ $y$ $b,$ $y\neq x.$ $f$ ${\mathbb Z}^{{(B)))$

f=\sum _{{\{x\mid f(x)\neq 0\))}f(x)e_{x}

Un grup cu o bază este unic până la izomorfism; elementele sale se numesc sume formale de elemente ${\mathbb Z}^{{(B)))$ $\{e_{x}\}_{x\in B}$ $b.$

Proprietăți

Proprietate generică

Grupurile libere pot fi caracterizate prin următoarea proprietate universală : o funcție dintr-o mulțime B într-un grup abelian F este o încorporare a unei baze în acest grup dacă pentru orice funcție din B într-un grup abelian arbitrar A există un homomorfism unic de grup, cum ar fi Ca pentru orice proprietate universală, care satisface această proprietate, obiectul este automat unic până la izomorfism, deci această proprietate universală poate fi folosită pentru a demonstra că toate celelalte definiții ale unui grup liber cu baza B sunt echivalente. $b$ $g$ $G:F\la A,$ $g=G\circ b.$

Subgrupuri

Teoremă : Fie un grup abelian liber și fie subgrupul său . Apoi este, de asemenea, un grup abelian liber $F$ $G\subset F$ $G$ .

Demonstrarea acestei teoreme necesită axioma alegerii [4] . Algebra lui Serge Leng oferă o demonstrație folosind Lema lui Zorn [5] , în timp ce Solomon Lefschetz și Irving Kaplansky au susținut că utilizarea principiului de bine ordonare în loc de Lema lui Zorn oferă o demonstrație mai intuitivă [6] .

În cazul grupurilor generate finit, demonstrația este mai simplă și ne permite să obținem un rezultat mai precis:

Teorema : Fie un subgrup al unui grup liber generat finit . Atunci este liber, există o bază a grupului și a numerelor naturale (adică fiecare dintre numere îl împarte pe următorul), astfel încât acestea să formeze o bază . În plus, succesiunea depinde doar de și , dar nu de alegerea bazei $G$ $F$ $G$ $(e_{1},\ldots, e_{n})$ $F$ $d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}$ $(d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})$ $G.$ $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}$ $F$ $G$ . [unu]

Torsiunea și divizibilitatea

Toate grupurile abeliene libere sunt fără torsiune , adică nu există niciun element de grup x și un număr diferit de n , astfel încât nx = 0. În schimb, orice grup abelian fără torsiune generat finit este liber [7] . Afirmații similare sunt adevărate dacă înlocuim cuvintele „grup fără torsiune” cu „ grup plat ”: pentru grupurile abeliene, planeitatea este echivalentă cu absența torsiunii.

Grupul de numere raționale este un exemplu de grup abelian fără torsiune care nu este liber. Pentru a demonstra ultima afirmație, este suficient să observăm că grupul numerelor raționale este divizibil , în timp ce într-un grup liber, niciunul dintre elementele bazei nu poate fi multiplu al altui element [1] . $\mathbb {Q}$

Sume și produse directe

Orice grup abelian liber poate fi descris ca o sumă directă a unui set de copii (echivalent cu rangul său). Suma directă a oricărui număr de grupuri abeliene libere este, de asemenea, gratuită; ca bază, putem lua unirea bazelor termenilor. [unu] $\mathbb {Z}$

Produsul direct al unui număr finit de grupuri abeliene libere este, de asemenea, liber și este izomorf cu suma lor directă. Totuși, acest lucru nu este valabil pentru produsul unui număr infinit de grupuri; de exemplu, grupul Baer-Specker, un produs direct al unui număr numărabil de copii , nu este abelian liber [8] [9] . În același timp, oricare dintre subgrupurile sale numărabile este abelian liber [10] . ${\mathbb Z}^{{{\mathbb N}}},$ ${\mathbb Z},$

Note

↑ 1 2 3 4 Hungerford, Thomas W. II.1 Grupuri abeliene libere // Algebră . - Springer, 1974. - Vol. 73.—P. 70–75. — (Texte de absolvire în matematică). Arhivat pe 9 august 2014 la Wayback Machine
↑ Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. Structura grupurilor compacte: un manual pentru studenți - un manual pentru expert . - Walter de Gruyter, 2006. - Vol. 25. - P. 640. - (De Gruyter Studies in Mathematics). — ISBN 9783110199772 . Arhivat pe 9 august 2014 la Wayback Machine
↑ Mollin, Richard A. Teoria numerelor avansată cu aplicații . - CRC Press, 2011. - P. 182. - ISBN 9781420083293 . Arhivat pe 11 august 2014 la Wayback MachineTeoria avansată a numerelor cu aplicații]. - CRC Press, 2011. - P. 182. - ISBN 9781420083293 .
↑ Blass, Andreas. Injectivitate, proiectivitate și axioma alegerii // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică. - 1979. - Vol. 255.—P. 31–59. - doi : 10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6 . . Exemplul 7.1 oferă un model de teorie a mulțimilor și un grup abelian proiectiv neliber în acel model, care este un subgrup al unui grup abelian liber unde A este o mulțime de atomi. $\left({\mathbb {Z}}^{{(A)))\right)^{n},$
↑ Lang, Serge. Algebră. - Springer-Verlag, 2002. - Vol. 211. - P. 880. - (Texte de licență de matematică). - ISBN 978-0-387-95385-4 .
↑ Kaplansky, Irving. Teoria multimilor si spatii metrice . - AMS, 2001. - Vol. 298.—P. 124–125. - (Seria AMS Chelsea Publishing). — ISBN 9780821826942 . Arhivat pe 3 ianuarie 2014 la Wayback Machine
↑ Lee, John M. Grupuri Abeliene Libere // Introducere în Varietăți Topologice . — Springer. - P. 244-248. — (Texte de absolvire în matematică). — ISBN 9781441979407 . Arhivat pe 11 august 2014 la Wayback Machine
↑ Griffith, Phillip A. Teoria grupurilor abeliene infinite . — University of Chicago Press, 1970. — P. 1 , 111–112. — (Prelegeri de matematică Chicago). — ISBN 0-226-30870-7 .
↑ Baer, Reinhold. Grupuri abeliene fără elemente de ordin finit // Duke Mathematical Journal. - 1937. - Vol. 3, nr. 1 . — P. 68–122. - doi : 10.1215/S0012-7094-37-00308-9 .
↑ Specker, Ernst. Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen // Portugaliae Math. - 1950. - Vol. 9. - P. 131-140.