Semne de asemănare ale triunghiurilor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 aprilie 2022; verificările necesită 3 modificări .

Triunghiuri similare în geometria euclidiană sunt triunghiuri ale căror unghiuri sunt, respectiv, egale și ale căror laturi sunt, respectiv, proporționale . Sunt cifre similare .

Acest articol discută proprietățile triunghiurilor similare în geometria euclidiană . Unele afirmații nu sunt adevărate pentru geometriile non-euclidiene .

Semne de similitudine ale triunghiurilor

Criteriile de similaritate pentru triunghiuri sunt caracteristici geometrice care vă permit să stabiliți că două triunghiuri sunt similare fără a utiliza toate elementele definiției.

Primul semn

Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt similare.

acesta este: $\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1 \Leftrightarrow \angle A = \angle A_1,\ \angle B= \angle B_1.$

Având în vedere: și $\triunghi ABC$ $\triunghi A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1.$

Dovedi: $\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.$

Dovada Din teorema unghiurilor triunghiurilor, putem concluziona că toate unghiurile triunghiurilor sunt egale. Aranjați-le astfel încât unghiul să se suprapună cu unghiul . Din teorema generalizată a lui Thales (se poate dovedi fără similitudine, vezi, de exemplu, un manual de geometrie 7-9 de Sharygin sau Pogorelov) . În mod similar, se poate demonstra că rapoartele celorlalte laturi corespunzătoare sunt egale, ceea ce înseamnă că triunghiurile sunt similare prin definiție etc.

\angle BAC

\angle B_{1}A_{1}C_{1)

{\displaystyle AC/A_{1}C_{1}=BC/B_{1}C_{1))

Consecințele primului semn de similitudine

Dacă trei laturi ale triunghiului inițial sunt paralele în perechi (de două ori anti-paralele sau perpendiculare) cu trei laturi ale altui triunghi, atunci aceste două triunghiuri sunt similare . Pentru exemple de aplicare a acestui corolar, vezi secțiunile de mai jos: „Exemple de triunghiuri similare” și „Proprietățile paralelismului (anti-paralelismului) laturilor triunghiurilor înrudite”.
Laturile dublu antiparalele înseamnă următoarele. De exemplu, laturile unui triunghi cu unghi ascuți dat sunt antiparalele cu laturile corespunzătoare ale ortotriunghiului pe care se află. Într-un astfel de caz, laturile corespunzătoare ale ortotriunghiului unui ortotriunghi (dublu ortotriunghi) sunt de două ori antiparalele cu laturile corespunzătoare ale triunghiului original , adică doar paralele. Prin urmare, de exemplu, ortotriunghiul unui ortotriunghi și triunghiul original sunt similare cu triunghiurile cu laturile paralele.

Al doilea semn

Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi și unghiurile incluse între aceste laturi sunt egale, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Având în vedere: și $\triunghi ABC$ $\triangle A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$

Dovedi: $\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.$

Dovada

1) Luați în considerare , în care și $\triunghi ABC_2$ $\angle BAC_2=\unghi A_1$ $\angle ABC_2=\unghi B_1:$

\triangle ABC_2\sim \triangle A_1 B_1 C_1

( primul semn )

\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.

2) După condiție:

\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\Rightarrow AC=AC_2 \Rightarrow \triangle ABC = \triangle ABC_2

( primul semn ) ( primul semn ).

\Rightarrow \angle B=\angle ABC_2 \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1

Al treilea semn

Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, proporționale cu cele trei laturi ale altuia, atunci triunghiurile sunt similare.

Având în vedere : și = = . $\triunghi ABC$ $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}, {\frac {AB}{A_{1}B_{1)))$ $\frac{AC}{A_1C_1}$ $\frac{BC}{B_1C_1}$

Demonstrați : $\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.$

Dovada

1) Luați în considerare , în care și $\triunghi ABC_2$ $\angle BAC_2=\unghi A_1$ $\angle ABC_2=\unghi B_1:$

\triangle ABC_2\sim \triangle A_1 B_1 C_1

( primul semn )

\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.

2) După condiție:

\frac{AB}{A_1B_1}

= = AC=AC 2 , BC=BC 2 => ∆ABC = ∆ABC 2 ( a treia caracteristică ); ∆ABC 2 ∆A 1 B 1 C 1 => .

\frac{AC}{A_1C_1}

{\frac {BC}{B_{1}C_{1)}}\Rightarrow \

\sim

\triunghi ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1)

Semne de similitudine ale triunghiurilor dreptunghiulare

Pe un unghi ascuțit - vezi primul semn ;
Pe două picioare - vezi al doilea semn ;
Pe picior și ipotenuză - vezi al treilea semn .

Proprietățile triunghiurilor similare

Raportul ariilor triunghiurilor similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine
Raportul dintre perimetre și lungimi bisectoare , mediane , înălțimi și perpendiculare medii este egal cu coeficientul de similaritate.

Exemple de triunghiuri similare

Următoarele tipuri de triunghiuri sunt similare:

Triunghiul complementar și triunghiul anticomplementar sunt similare; laturile lor corespunzătoare sunt paralele.
Triunghiul ABC este similar cu triunghiul său complementar ; laturile lor corespunzătoare sunt paralele și sunt legate ca 2:1.
Triunghiul ABC este similar cu triunghiul său anticomplementar ; laturile lor corespunzătoare sunt paralele și legate ca 1:2.
Triunghiul inițial față de ortotriunghi este un triunghi cu trei bisectoare exterioare [1] . $\Delta ABC$
Un ortotriunghi și un triunghi tangențial sunt similare (Zetel, corolar 1, § 66, p. 81).
Ortotriunghiul ortotriunghiului și triunghiul original sunt similare.
Triunghiul a trei bisectoare exterioare a triunghiului a trei bisectoare exterioare și triunghiul original sunt similare.
Punctele de contact ale cercului înscris într-un triunghi dat să fie conectate prin segmente, apoi obținem triunghiul Gergonne , iar înălțimile sunt desenate în triunghiul rezultat. În acest caz, liniile care leagă bazele acestor înălțimi sunt paralele cu laturile triunghiului original. Prin urmare , ortotriunghiul triunghiului Gergonne și triunghiul original sunt similare.
Proprietățile de mai sus de similitudine ale triunghiurilor înrudite sunt o consecință a proprietăților de paralelism ale laturilor triunghiurilor înrudite enumerate mai jos .
Teoremă : un triunghi circumferenţial-cevian este asemănător cu unul subdermic [2] . Definitii folosite aici:
- Un triunghi cu vârfuri în al doilea punct de intersecție al liniilor trasate prin vârfuri și un punct dat, cu un cerc circumscris, se numește triunghi circumferențial-cevian .
- Un triunghi cu vârfuri în proiecțiile unui punct dat pe laturi se numește triunghi subdermic sau pedalier al acestui punct.

Proprietățile paralelismului (antiparalelismului) laturilor triunghiurilor înrudite

Laturile corespunzătoare ale triunghiului complementar , triunghiului anticomplementar și triunghiului original sunt paralele pe perechi.
Laturile unui triunghi unghiular acut dat sunt antiparalele cu laturile corespunzătoare ale ortotriunghiului pe care se află.
Laturile unui triunghi tangențial sunt antiparalele cu laturile opuse corespunzătoare ale triunghiului dat (prin proprietatea de antiparalelism a tangentelor la un cerc).
Laturile unui triunghi tangențial sunt paralele cu laturile corespunzătoare ale unui ortotriunghi .
Punctele de contact ale cercului înscris într-un triunghi dat să fie conectate prin segmente, apoi obținem triunghiul Gergonne , iar înălțimile sunt desenate în triunghiul rezultat. În acest caz, liniile care leagă bazele acestor înălțimi sunt paralele cu laturile triunghiului original. Prin urmare , ortotriunghiul triunghiului Gergonne și triunghiul original sunt similare.

Similaritate într-un triunghi dreptunghic

Triunghiurile în care înălțimea coborâtă din unghiul drept împarte triunghiul dreptunghic sunt similare cu întregul triunghi din primul criteriu , ceea ce înseamnă:

Înălțimea unui triunghi dreptunghic, coborât la ipotenuză, este egală cu media geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză ,
Catonul este egal cu media geometrică a ipotenuzei și proiecția acestui catet pe ipotenuză.

Definiții înrudite

Coeficientul de similitudine este numărul k, egal cu raportul laturilor similare ale triunghiurilor similare.
Laturile similare ale triunghiurilor similare sunt laturile care se află opuse unghiurilor egale.

Vezi și

Note

↑ Starikov V. N. Cercetare în geometrie // Culegere de publicații a revistei științifice Globus pe baza materialelor celei de-a V-a conferințe științifice-practice internaționale „Realizări și probleme ale științei moderne”, Sankt Petersburg: o colecție de articole (nivel standard, nivel academic). S-P.: Revista științifică Globus , 2016. S. 99-100
↑ Sistem de probleme în geometrie de R. K. Gordin. Sarcina 6480 . Consultat la 26 aprilie 2016. Arhivat din original pe 4 martie 2016. (nedefinit)

Literatură

Geometrie 7-9 / L. S. Atanasyan și colab. - ed. a XII-a. - M.: Iluminismul, 2002. - 384 p.:
Zetel S.I. Noua geometrie a triunghiului. Un ghid pentru profesori. editia a 2-a. M.: Uchpedgiz, 1962. 153 p.

Link -uri

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex