Secvența Euler exactă

Secvența exactă a lui Euler este o anumită secvență exactă de snopi pe un spațiu proiectiv n - dimensional peste un inel . Acesta arată că mănunchiul cotangent al unui spațiu proiectiv este stabil izomorf la ( n + 1) sumă de ori a fasciculelor tautologice (vezi Serre twist sheaf ). ${\mathcal {O}}(-1)$

Formulare

Pentru un inel comutativ A , există o succesiune exactă de snopi

0\la \Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}\la {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A} ^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\la {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}\la 0.

Pentru a dovedi, este suficient să definim un homomorfism , unde și la puterea lui 1, surjectiv în puteri și să verificăm că local pe ( n + 1)-lea diagramă afine standard, nucleul său este izomorf la modulul diferențialelor relative . [unu] $S(-1)^{\oplus n+1}\la S,e_{i}\mapsto x_{i)$ $S=A[x_{0},\ldots,x_{n}]$ $e_i = 1$ $\geq 1$

Interpretare geometrică

Presupunem că inelul A este un câmp k .

Secvența exactă de mai sus este echivalentă cu secvența

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to { \mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\la 0

unde ultimul termen diferit de zero este creionul tangent.

Luați în considerare un spațiu vectorial V - ( n + 1)-dimensional peste k și explicați succesiunea exactă

0\la {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}\la {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}(1)\otimes V \la {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} (V)}\la 0

Această secvență este cel mai ușor de înțeles prin interpretarea termenului mijlociu ca un snop de câmpuri vectoriale omogene 1 pe un spațiu vectorial V . Există o secțiune remarcabilă a acestui mănunchi - câmpul vectorial Euler - definit tautologic prin compararea unui punct din spațiul vectorial cu vectorul corespunzător acestui punct, transferat în spațiul tangent în acest punct.

Acest câmp vectorial este radial în sensul că dispare pe funcții omogene 0, adică funcții care sunt invariante sub omoteția centrată la zero.

O funcție (definită pe o mulțime deschisă) pe induce o funcție 0-omogenă pe V (din nou parțial definită). Obținem câmpuri vectoriale 1-omogene prin înmulțirea câmpului vectorial Euler cu astfel de funcții. Aceasta definește primul afișaj. $\mathbb {P} (V)$

A doua mapare este legată de conceptul de derivații, care este echivalent cu conceptul de câmpuri vectoriale. Reamintim că un câmp vectorial pe o submulțime deschisă U a unui spațiu proiectiv poate fi definit ca o derivație a funcțiilor definite pe această mulțime deschisă. Luând în considerare preimaginea din V , aceasta este echivalentă cu derivarea pe preimaginea U păstrând funcții 0-omogene. Orice câmp vectorial pe poate fi obținut în acest fel, iar nucleul mapării rezultate constă exact din câmpuri vectoriale radiale. $\mathbb {P} (V)$ $\mathbb {P} (V)$

Pachetul de linii canonice a unui spațiu proiectiv

Trecând la puteri exterioare superioare , aflăm că snopiul canonic al unui spațiu proiectiv are forma

\omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}\cong {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(- (n+1))

În special, spațiile proiective sunt varietăți Fano , deoarece pachetul de linii canonice este anti- amplu .

Note

↑ Hartshorne, 1981 , Teorema II.8.13.

Literatură

Hartshorne R. Geometrie algebrică / transl. din engleza. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.