Triunghi cu trei bisectoare exterioare

Un triunghi cu trei bisectoare externe ( un triunghi al centrelor excercurilor ) este un triunghi format din punctele de intersecție ale bisectoarelor exterioare între ele la centrele excercurilor triunghiului original [1] . (vezi poza.) $\Delta J_{A}J_{B}J_{C)$

Proprietăți

Centrul cercului care trece prin centrele excercurilor este punctul Bevan . ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$
Triunghiul original este ortotriunghiul pentru triunghiul bisectoarelor exterioare . $\Delta ABC$
Cercul circumscris triunghiului original este cercul Euler pentru triunghiul bisectoarelor externe .
Cercul circumscris triunghiului original non-isoscel (în general) intersectează laturile triunghiului bisectoarelor externe în șase puncte diferite. Trei dintre acestea sunt vârfurile triunghiului original, iar celelalte trei bisectează laturile bisectoarelor exterioare ale triunghiului (vezi proprietățile cercului Euler ).
Punctul de intersecție al simmetricelor triunghiului celor trei bisectoare exterioare este centrul elipsei Mandara a triunghiului de referință original.

Toate cele trei baze D , E și F ale celor trei bisectoare externe, respectiv AD , CE și BF ale unghiurilor externe ale ortotriunghiului pentru un triunghi cu trei bisectoare externe , se află pe o singură dreaptă, numită axa bisectoarelor externe sau axa antiortică DEF (axa antiortică) a ortotriunghiului (vezi Fig.). Această axă este, de asemenea, polara triliniară a centrului cercului ( incentrul ). $ABC$ ${\displaystyle J_{1},J_{2},J_{3))$ $ABC$

Proprietăți de similaritate ale triunghiurilor înrudite

Triunghiul inițial față de ortotriunghi este un triunghi cu trei bisectoare exterioare [1] . $\Delta ABC$
Ortotriunghiul unui triunghi cu trei bisectoare externe , precum și triunghiul cu trei bisectoare externe ale unui ortotriunghi coincid unul cu celălalt și coincid cu triunghiul original .
Un ortotriunghi și un triunghi tangențial sunt similare [2] .
Ortotriunghiul ortotriunghiului și triunghiul original sunt similare.
Triunghiul a trei bisectoare exterioare a triunghiului a trei bisectoare exterioare și triunghiul original sunt similare.
Ortotriunghiul triunghiului Gergonne și triunghiul original sunt similare.
Proprietățile de mai sus de similitudine ale triunghiurilor înrudite sunt o consecință a proprietăților de paralelism (anti-paralelism) ale laturilor triunghiurilor înrudite enumerate mai jos .

Proprietățile paralelismului (antiparalelismului) laturilor triunghiurilor înrudite

Laturile unui triunghi unghiular acut dat sunt antiparalele cu laturile corespunzătoare ale ortotriunghiului pe care se află.
Laturile unui triunghi tangențial sunt antiparalele cu laturile opuse corespunzătoare ale triunghiului dat (prin proprietatea de antiparalelism a tangentelor la un cerc).
Laturile unui triunghi tangențial sunt paralele cu laturile corespunzătoare ale unui ortotriunghi .
Punctele de contact ale cercului înscris în triunghiul dat să fie conectate prin segmente, apoi obținem triunghiul Gergonne , iar înălțimile sunt trasate în triunghiul rezultat. În acest caz, liniile care leagă bazele acestor înălțimi sunt paralele cu laturile triunghiului original. Prin urmare , ortotriunghiul triunghiului Gergonne și triunghiul original sunt similare.

Note

↑ 1 2 Starikov V. N. Cercetare în geometrie // Culegere de publicații a revistei științifice Globus pe baza materialelor celei de-a V-a conferințe științifice-practice internaționale „Realizări și probleme ale științei moderne”, Sankt Petersburg: o colecție de articole (standard nivel, nivel academic). Sankt Petersburg: revista științifică Globus , 2016, pp. 99-100
↑ Zetel S. I. Noua geometrie a unui triunghi. Un ghid pentru profesori. editia a 2-a. Moscova: Uchpedgiz, 1962. Corolarul 1, § 66, p. 81