Raza de umplere

Raza de simțire este o caracteristică metrică a unei varietăți Riemanniane .

Propus de Gromov în 1983. El a folosit raza de umplere pentru a demonstra inegalitatea sistolică pentru varietăți esențiale .

Curbe în plan

Raza de umplere ( ) a unei curbe închise C în plan este definită ca cea mai mare rază a unui cerc care este cuprinsă în curbă. $\mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})$ $R>0$

Raza de umplere a unei curbe C poate fi definită și ca cea mai mică infimă dintre astfel încât curba C se micșorează până la un punct din vecinătatea ei. $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

Definiție

Notați cu A inelul sau , în funcție de dacă X este orientabil sau nu. $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$

Atunci clasa fundamentală , notată [X] , a unei varietăți compacte n - dimensionale X , este un generator al grupului de omologie și setăm $H_{n}(X;A)\simeq A$

\mathrm {FillRad} (X)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon } X)\dreapta\},

unde denotă încorporarea lui Kuratowski a lui X în spațiul funcțiilor mărginite pe X . $\iota _{\varepsilon }$

Proprietăți

În orice dimensiune există o constantă ca inegalitatea $n$ $c_n$ $(\mathrm {FillRad} \,M)^{n}\leq c_{n}\cdot \mathrm {vol} \,M$

este valabil pentru orice varietate dimensională riemanniana închisă .

n

M

Aceasta este proprietatea principală a razei de umplere, care este folosită de Gromov pentru a demonstra inegalitatea sistolice; o dovadă cu simplificări semnificative și o constantă îmbunătățită este dată de Alexander Nabutovsky. [unu]
Pentru o varietate dată de cel puțin 3 dimensiuni, constanta optimă a inegalității $M$ $c(M)$

(\mathrm {FillRad} \,(M,g))^{n}\leq c(M)\cdot \mathrm {vol} \,(M,g)

invidie doar asupra dimensiunii și orientabilității acesteia. [2]

M

Raza de umplere nu depășește o treime din diametru. [3]
- Egalitatea se realizează pentru un spațiu proiectiv real cu o metrică canonică.
  - În special, raza de umplere a cercului unitar cu metrica Riemanniană indusă este π/3, adică o șesime din lungimea sa.

Sistola unui colector esențial nu depășește șase din razele sale de umplere.
- Această inegalitate devine o egalitate pentru spațiile proiective reale, așa cum am menționat mai sus.

Raza de injectivitate a unei colectoare compacte M oferă o limită inferioară a razei de umplere. Și anume, $\mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{\dim M+1)).$

Note

↑ Alexander Nabutovsky, Limite liniare pentru constante în inegalitatea sistolică a lui Gromov și rezultatele aferente. arXiv : 1909.12225
↑ Brunnbauer, Michael, Inegalitățile de umplere nu depind de topologie. J. Reine Angew. Matematică. 624 (2008), 217–231.
↑ Katz, M.: Raza de umplere a spațiilor omogene în două puncte. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505–511.

Literatură

Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
Katz, M.: Raza de umplere a spațiilor omogene în două puncte. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505-511.
Katz , Mikhail G. (2007), Geometrie și topologie sistolică , voi. 137, Studii matematice și monografii, Providence, RI: Societatea Americană de Matematică , ISBN 978-0-8218-4177-8 , OCLC 77716978