Filtru de răspuns la impuls infinit

Filtru de răspuns la impuls infinit ( filtru recursiv , filtru IIR ) sau filtru IIR (IIR prescurtare pentru răspuns la impuls infinit - răspuns la impuls infinit) - filtru electronic liniar care utilizează una sau mai multe dintre ieșirile sale ca intrare, adică formând un feedback . Proprietatea principală a unor astfel de filtre este că răspunsul lor la impuls are o lungime infinită în domeniul timpului, iar funcția de transfer are o formă rațională fracțională. Astfel de filtre pot fi fie analogice , fie digitale .

Exemple de filtre IIR sunt filtrul Chebyshev , filtrul Butterworth , filtrul Kalman și filtrul Bessel .

Descriere

Performanță dinamică

Ecuația diferențelor care descrie filtrul IIR discret stabilește relația dintre semnalele de intrare și de ieșire în domeniul temporal:

y(n)=b_{{0}}x(n)+b_{{1}}x(n-1)+\cdots +b_{{P}}x(nP)-a_{{1}}y (n-1)-a_{{2}}y(n-2)-\cdots -a_{{Q}}y(nQ)

unde este ordinea semnalului de intrare, sunt coeficienții semnalului de intrare, este ordinea de feedback, sunt coeficienții de feedback , este semnalul de intrare și este semnalul de ieșire. $P$ $b_{{i}}$ $Q$ $a_{{i}}$ $x(n)$ $y(n)$

O notație mai compactă pentru ecuația diferențelor:

y(n)=\sum _{{i=0}}^{P}b_{{i}}x(ni)-\sum _{{k=1}}^{Q}a_{{k}} da(nk)

Pentru a găsi nucleul de filtru , am stabilit

x(n)=\delta(n)

unde este funcția delta . $\delta(n)$

Apoi funcția de tranziție de impuls (nucleul de filtru) este scrisă ca

h(n)=\sum _{{i=0}}^{P}b_{{i}}\delta (ni)-\sum _{{k=1}}^{Q}a_{{k} }h(nk)

Transformarea z a răspunsului la impuls oferă funcția de transfer a filtrului IIR:

H(z)={\frac {\sum _{{i=0}}^{P}b_{{i}}z^{{-i}}}{1+\sum _{{k=1} }^{Q}a_{{k}}z^{{-k}}}}

Sustenabilitate

Stabilitatea unui filtru de răspuns la impuls infinit este judecată după funcția sa de transfer . Pentru un filtru discret, este necesar și suficient ca toți polii funcției de transfer modulo să fie mai mici de unu (adică să se afle în interiorul cercului unitar pe planul z ). Toate criteriile de stabilitate aplicabile în teoria sistemelor liniare staționare , cum ar fi criteriul de stabilitate Nyquist sau criteriul de stabilitate Routh, sunt de asemenea aplicabile în cazul filtrelor IIR.

Spre deosebire de filtrele FIR, filtrele IIR nu sunt întotdeauna robuste.

Implementarea unui filtru IIR

Dacă se consideră o funcție de transfer a formei:

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{{k=0}}^{{M}}b_{{k}}z^ {{-k}}}{1+\sum _{{k=1}}^{{N}}a_{{k}}z^{{-k}}}}={\frac {B(z )}{A(z)}},

atunci raportul dintre intrarea și ieșirea unui astfel de sistem trebuie să satisfacă ecuația diferenței:

y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(nk)+\sum _{k=0}^{M}b(k)x(nk)

Această ecuație poate fi scrisă direct din expresia funcției de transfer, deci forma de construire a circuitului corespunzătoare acestei ecuații se numește forma directă 1.

Când construim un filtru IIR, pentru simplitate, putem presupune că M=N. Filtrele IIR pot fi implementate folosind trei elemente sau operații de bază: un multiplicator, un adunator și un bloc de întârziere. Aceste elemente sunt suficiente pentru toate filtrele digitale posibile. Opțiunea prezentată în figură este o implementare directă a filtrelor IIR de tip 1.

Deoarece seturile de coeficienți b(k) și a(k) corespund polinoamelor numărătorului B(z) și numitorului A(z) ale funcției de transfer H(z), forma directă a filtrului IIR prezentată în figura poate fi interpretată ca o conexiune în cascadă a două circuite. Primul dintre ele implementează zerouri și are o funcție de transfer B(z), iar al doilea implementează poli și are o funcție de transfer 1/A(z). Indicând semnalul de ieșire al primului sistem w(n), ecuația diferenței poate fi înlocuită cu sistemul de ecuații:

y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(nk)+w(n),

w(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)x(nk)

care este implementat de structura prezentată în figură.

În sistemele discrete cu parametri constanți, raportul dintre intrare și ieșire nu depinde de ordinea conexiunii în cascadă a blocurilor. Din această proprietate rezultă a doua formă directă de construire a unui filtru IIR. Dacă realizăm mai întâi polii H(z) corespunzători laturii drepte a diagramei bloc a figurii de sus, care are funcția de transfer 1/A(z), și apoi zerourile funcției de transfer B(z), atunci obținem structura prezentată în Figura 2, care corespunde ecuațiilor sistemului:

w(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)w(nk)+x(n),

y(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)w(nk).

Combinând liniile de întârziere în structura prezentată în figura de sus, obținem forma canonică directă a filtrului IIR:

În unele cazuri, în ceea ce privește performanța la zgomot, un filtru implementat în formă directă este mai bun decât în formă canonică.

Vezi și

Link -uri

Al cincilea modul al cursului BORES Signal Processing DSP - Introducere în DSP Arhivat 6 iulie 2012 la Wayback Machine