Teoria sistemelor liniare staţionare

Teoria sistemelor liniare staționare este o ramură a teoriei sistemelor dinamice care studiază comportamentul și proprietățile dinamice ale sistemelor liniare staționare (LSS). Este folosit pentru studierea proceselor de control ale sistemelor tehnice, pentru procesarea semnalelor digitale și în alte domenii ale științei și tehnologiei.

Prezentare generală

Proprietățile definitorii pentru orice sistem liniar staționar sunt liniaritatea și staționaritatea :

Liniaritatea înseamnă o relație liniară între intrarea și ieșirea sistemului.

Formal, un sistem se numește liniar dacă are următoarea proprietate:

dacă semnalul de la intrarea sistemului poate fi reprezentat printr-o sumă ponderată de influențe (de exemplu, două) - x ( t ) = A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) atunci semnalul de la ieșirea sistemului este, de asemenea, o sumă ponderată a reacțiilor la fiecare dintre influențe - y ( t ) = A y 1 ( t ) + B y 2 ( t ) pentru orice constante A și B .

Staționaritatea înseamnă că semnalul de ieșire al sistemului ca reacție la orice semnal de intrare dat este același pentru orice moment de aplicare a semnalului de intrare (până la timpul de întârziere al momentului de aplicare a semnalului de intrare). Într-un sens mai restrâns, dacă semnalul de intrare este întârziat în timp cu o anumită sumă, semnalul de ieșire va fi întârziat cu aceeași cantitate.

Dinamica sistemelor cu proprietățile de mai sus poate fi descrisă printr-o funcție simplă, de exemplu, funcția tranzitorie de impuls . Ieșirea sistemului poate fi calculată ca o convoluție a semnalului de intrare cu funcția de tranziție a impulsului a sistemului. Această metodă de analiză este uneori numită analiză în domeniul timpului . Cele de mai sus sunt valabile și pentru sistemele discrete.

În plus, orice LSS poate fi descris în domeniul frecvenței prin funcția sa de transfer , care este transformata Laplace a funcției de răspuns la impuls (sau transformarea Z în cazul sistemelor discrete). Datorită proprietăților acestor transformări, ieșirea sistemului în domeniul frecvenței va fi egală cu produsul funcției de transfer și transformarea corespunzătoare a semnalului de intrare. Cu alte cuvinte, convoluția în domeniul timpului corespunde înmulțirii în domeniul frecvenței.

Pentru toate funcțiile proprii LSS sunt exponenți complecși . Adică, dacă intrarea sistemului este un semnal complex cu o amplitudine și o frecvență complexe , atunci ieșirea va fi egală cu un semnal cu o amplitudine complexă . Raportul va fi funcția de transfer a sistemului la frecvență . $A\exp({st})$ $A$ $s$ $B\exp({st})$ $B$ $B/A$ $s$

Deoarece sinusoidele sunt suma exponenților complecși cu frecvențe complexe conjugate, dacă intrarea sistemului este o sinusoidă, atunci și ieșirea sistemului va fi și o sinusoidă, în cazul general cu o amplitudine și fază diferite, dar cu aceeași frecventa .

Teoria LSS este potrivită pentru descrierea multor sisteme. Majoritatea LSS-urilor sunt mult mai ușor de analizat decât sistemele non-staționare și neliniare. Orice sistem a cărui dinamică este descrisă printr-o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți este un sistem liniar staționar. Exemple de astfel de sisteme sunt circuitele electrice asamblate din rezistențe , condensatoare și inductori (circuite RLC). O greutate pe un arc poate fi, de asemenea, considerată LSS.

Majoritatea conceptelor generale ale LSS sunt similare în cazul sistemelor continue, precum și în cazul sistemelor discrete.

Staționaritate și transformări liniare

Să considerăm un sistem non-staționar al cărui răspuns la impuls este o funcție a două variabile. Să vedem cum proprietatea staționarității ne ajută să scăpăm de o dimensiune. De exemplu, să fie semnalul de intrare , unde argumentul este numerele axei reale, adică . Operatorul de linie arată modul în care sistemul gestionează această intrare. Operatorul corespunzător pentru un set de argumente este o funcție a două variabile: $x(t)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\mathcal {H}}$

h(t_1, t_2) \mbox{, } t_1, t_2 \in \mathbb{R}.

Pentru un sistem discret:

h[n_1, n_2] \mbox{, } n_1, n_2 \in \mathbb{Z}.

Deoarece este un operator liniar, efectul sistemului asupra semnalului de intrare este reprezentat de o transformare liniară descrisă de următoarea integrală (integrala de suprapunere) ${\mathcal {H}}$ $x(t)$

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2.

Dacă operatorul liniar este și staționar, atunci ${\mathcal {H}}$

h(t_1, t_2) = h(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \qquad \forall \, \tau \in \mathbb{R}.

Punând

\tau =-t_{2},

primim:

h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}-t_{2},0).

Pentru concizie, al doilea argument din este de obicei omis, iar integrala de suprapunere devine integrala de convoluție: $h(t_1, t_2)$

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1).

Astfel, integrala de convoluție arată modul în care un sistem liniar staționar procesează orice semnal de intrare. Relația rezultată pentru sisteme discrete:

y[n_1] = \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} h[n_1 - n_2] \, x[n_2] = (h * x) [n_1].

Funcție tranzitorie de impuls

Dacă la intrarea sistemului este aplicat un semnal de intrare sub forma funcției delta Dirac , semnalul de ieșire rezultat al LSS va fi funcția tranzitorie de impuls a sistemului. Înregistrare:

(h * \delta) (t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t),

Pentru un sistem discret:

x[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty x[m] \delta[nm].

(datorită proprietății de deplasare a funcției delta).

Observa asta:

h(t) = h(t, 0) \ (\mbox{cu } t = t_1 - t_2)

adică funcția de tranziție de impuls a sistemului $h(t)$

Funcția tranzitorie de impuls este utilizată pentru a găsi semnalul de ieșire al sistemului ca răspuns la orice semnal de intrare. În plus, orice intrare poate fi reprezentată ca o suprapunere a funcțiilor delta:

x(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

Aplicând la intrarea sistemului, obținem:

\mathcal{H} x(t) = \mathcal{H} \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal{H} x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

(pentru ca este liniar)

{\mathcal {H}}

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \mathcal{H} \delta(t-\tau) \,d\tau

(pentru că este constantă în t și liniară)

x(\tau )

{\mathcal {H}}

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau

(prin definiția lui )

h(t)

Funcția de tranziție a impulsurilor conține toate informațiile despre dinamica LSS. $h(t)$

Funcții proprii

O funcție proprie este o funcție pentru care ieșirea operatorului este aceeași funcție, în cazul general până la un factor constant. Înregistrare:

\mathcal{H}f = \lambda f

unde f este o funcție proprie și este o valoare proprie , o constantă. $\lambda$

Exponenții , unde sunt funcțiile proprii ale operatorului liniar staționar. Dovada simpla: $e^{st}$ $s \in \mathbb{C}$

Fie semnalul de intrare al sistemului . Atunci rezultatul sistemului este: $x(t) = e^{st}$ $h(t)$

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{s \tau} d \tau

care este echivalentă cu următoarea expresie datorită comutativității convoluției:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{s (t - \tau)} \, d \tau

\quad = e^{st} \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, d \tau

\quad = e^{st} H(s)

Unde

H(s) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-st} dt

depinde numai de s .

Astfel, este funcția proprie a LSS. $e^{st}$

Transformările Laplace și Fourier

Transformarea Laplace

H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-st} dt

este o modalitate exactă de a obține valorile proprii din funcția de răspuns la impuls. De un interes deosebit sunt sinusoidele pure, adică exponenții formei unde și este unitatea imaginară . Aceștia sunt de obicei numiți exponenți complecși chiar dacă argumentul nu are o parte reală. Transformarea Fourier oferă valori proprii pentru sinusoide pur complexe. se numește funcția de transfer a sistemului , uneori în literatură se aplică și acest termen . $\exp({j \omega t})$ $\omega \in \mathbb{R}$ $j$ $H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}$ $H(e)$ $H(j\omega)$

Transformarea Laplace este de obicei folosită pentru semnale unilaterale, adică cu condiții inițiale zero. Momentul inițial de timp este luat ca zero fără pierdere de generalitate, iar transformarea este luată de la zero la infinit (transformarea care se obține prin integrarea și la minus infinit se numește transformată Laplace cu două fețe ).

Transformata Fourier este folosită pentru a analiza sistemele prin care trec semnale periodice și, în multe alte cazuri - de exemplu, pentru a analiza stabilitatea unui sistem .

Datorită proprietăților convoluției , următoarele relații sunt valabile pentru ambele transformări:

y(t) = (h*x)(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau

\quad = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Pentru sisteme discrete:

y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[nm] x[m]

\quad = \mathcal{Z}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Unele proprietăți

Unele dintre proprietățile importante ale oricărui sistem sunt cauzalitatea și stabilitatea. Pentru ca sistemul să existe în lumea reală, trebuie îndeplinit principiul cauzalității. Sistemele nesustenabile pot fi construite și uneori chiar utile.

Cauzalitate

Un sistem este numit cauzal dacă ieșirea sa depinde numai de acțiunea aplicată curentă sau anterioară. Condiție necesară și suficientă pentru cauzalitate:

h(t) = 0 \quad \forall t < 0,

Pentru sisteme discrete:

h[n] = 0 \ \forall n < 0,

unde este funcția de tranziție a impulsului. Într-o formă explicită, este imposibil să se determine sistemul cauzal sau nu din transformarea lui Laplace în cazul general, deoarece transformarea Laplace inversă nu este unică. Cauzalitatea poate fi determinată atunci când este dată regiunea de convergență . $h(t)$

Sustenabilitate

Sistemul este stabil în intrare delimitată, ieșire mărginită ( în engleză intrare delimitată, ieșire mărginită stabil, BIBO stabil ) dacă pentru fiecare intrare delimitată semnalul de ieșire este finit. Înregistrare: Dacă

||x(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^p dt \right)^{ 1/p} < \infty

și

||y(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |y(t)|^p dt \right)^{ 1/p} < \infty

(adică maximele valorilor absolute și sunt finite), atunci sistemul este stabil. Condiție necesară și suficientă pentru stabilitate: răspunsul la impuls al sistemului, , trebuie să satisfacă expresia $x(t)$ $YT)$ $h(t)$

||h(t)||_1 = \int\limits_{-\infty}^\infty |h(t)| dt < \infty.

Pentru sisteme discrete:

||h[n]||_1 = \sum_{n = -\infty}^\infty |h[n]| < \infty.

În domeniul frecvenței, regiunea de convergență trebuie să conțină axa imaginară . $s=j\omega$

Vezi și

Link -uri

P. P. Vaidyanathan și T. Chen. Rolul inverselor anticuzuale în băncile de filtre multirate -- Partea I: fundamente teoretice ale sistemului // IEEE Trans. SignalProc. : jurnal. - 1995. - Mai.
P. P. Vaidyanathan și T. Chen. Rolul inverselor anticuzuale în bancurile de filtre cu mai multe rate -- Partea a II-a: cazul FIR, factorizări și transformări lapate biortogonale // IEEE Trans. SignalProc. : jurnal. - 1995. - Mai.
IN SI. Dintii. Teoria ecuațiilor mișcării controlate (nedefinite) . - L .: LSU, 1980.