Problema a douăzeci și unu a lui Hilbert

Problema a douăzeci și unu a lui Hilbert ( problema Riemann-Hilbert ) este una dintre cele 23 de probleme pe care David Hilbert le-a propus la 8 august 1900 la al II-lea Congres Internațional al Matematicienilor , care a constat în confirmarea sau infirmarea ipotezei existenței unui sistem de ecuații diferențiale liniare pentru un sistem dat arbitrar de puncte singulare și o matrice de monodromie .

Rezolvată prin construirea unui contraexemplu în 1989 de către Andrei Bolibrukh [1] . În același timp, mult timp a fost considerat rezolvat în 1908 de către Josip Plemel , cu toate acestea, în soluția sa pozitivă din anii 1970, Yuli Ilyashenko a descoperit o eroare - construcția lui Plemel a făcut posibilă construirea sistemului necesar numai dacă cel puţin una dintre matricele de monodromie a fost diagonalizabilă) [ 2] .

Formulare originală:

21. Dovada existenței ecuațiilor diferențiale liniare cu un grup de monodrom dat. <...> Există întotdeauna o ecuație diferențială fuchsiană liniară cu puncte singulare date și un grup monodrom dat. <…> [3]

Text original  (germană)[ arataascunde] 21. Beweis der Existenz linearr Differentialgleichungen mit vorgeschriebener Monodromiegruppe. Problem hinweisen, welches wohl bereits Riemann im Sinne gehabt hat, und welches darin besteht, zu zeigen, daß es stets einetellechung der Fuchsen Schen einer gegebenen Monodromiegruppe giebt. Die Aufgabe verlangt, de asemenea, die Auffindung von n Functionen der Variabeln z, die sich überall in der complexen z-Ebene regulär verhalten, außer etwa in den gegebenen singulären Stellen: in diesen dürfen sie nur von endlich hoher unendlich Hoher Diesel Bearnung erfahren sie die gegebenen linearen Substitutionen. Die Existenz solcher Differentialgleichungen ist durch Constantenzählung wahrscheinlich gemacht worden, doch gelang der strenge Beweis bisher nur in dem besonderen Falle, wo die Wurzeln der Fundamentalgleichungen der gegebenen Substitutionen sämtlich vom absoluted 1 sind. Diesen Beweis hat L. Schlesinger {Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Bd. 2, Teil 2 Nr. 366} auf Grund der Poincaréschen Theorie der Fuchsschen zeta-Functionen erbracht. Es würde offenbar die Theorie der linearen Diferentialgleichungen ein wesentlich abgeschlosseneres Bild zeigen, wenn die allgemeine Erledigung des bezeichneten Problems gelänge. [4] .


Note

  1. ↑ A. A. Bolibrukh, „Problema Riemann-Hilbert pe linia proiectivă complexă” , Mat. note, 46:3 (1989), 118-120
  2. ↑ Yu. S. Ilyashenko, „ Problema neliniară Riemann-Hilbert ”, Ecuații diferențiale cu timp real și complex, Colecția de articole, Tr. MIAN, 213, Nauka, M., 1997, p. 10-34.
  3. ↑ Traducerea raportului lui Hilbert din germană - M. G. Shestopal și A. V. Dorofeev , publicat în cartea Problemele lui Hilbert / ed. P. S. Alexandrova . - M. : Nauka, 1969. - S. 39. - 240 p. — 10.700 de exemplare. Copie arhivată (link indisponibil) . Consultat la 30 decembrie 2009. Arhivat din original la 17 octombrie 2011. 
  4. ↑ David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (germană) . — Textul raportului citit de Hilbert la 8 august 1900 la al II-lea Congres Internaţional al Matematicienilor de la Paris. Consultat la 27 august 2009. Arhivat din original la 8 aprilie 2012.

Literatură

 Probleme Hilbert