Funcții de utilitate asupra bunurilor indivizibile

Unele ramuri ale economiei și ale teoriei jocurilor se ocupă de bunuri indivizibile , obiecte discrete care pot fi transferate doar ca întreg. De exemplu, în licitațiile combinatorii există un set finit de obiecte și fiecare agent poate cumpăra un subset de obiecte, dar obiectul nu poate fi împărțit între doi (sau mai mulți) agenți.

De obicei, se presupune că orice agent atribuie o utilitate subiectivă fiecărui subset de obiecte. Aceasta poate fi reprezentată în două moduri

Raportul de utilitate ordinal , de obicei notat ca . Faptul că un agent preferă un set decât un set este scris ca . Dacă agentul preferă doar slab (adică fie preferă, fie nu vede nicio diferență între și ), aceasta este scrisă ca . $\succ$ $A$ $B$ $A\succ B$ $A$ $A$ $A$ $B$ $A\succeq B$
Funcția de utilitate cantitativă se notează ca . Utilitatea agentului, pe care o primește din mulțime , este scrisă ca . Funcția de utilitate cantitativă este adesea normalizată, astfel încât , unde este mulțimea goală de . $u$ $A$ $u(A)$ $u(\emptyset )=0$ $\emptyset$

Din funcţia de utilitate cantitativă rezultă relaţia de preferinţă : din urmează şi din urmează . Funcțiile utilitare pot avea unele proprietăți [1] . $u(A)>u(B)$ $A\succ B$ $u(A)\geqslant u(B)$ $A\succeq B$

Monotonie

Monotonitatea înseamnă că agentul preferă întotdeauna (slab) să aibă obiecte suplimentare. Oficial:

Pentru relațiile de preferință: urmează din . $A\supseteq B$ $A\succeq B$
Pentru o funcție de utilitate: rezultă din (adică u este o funcție monotonă a lui ). $A\supseteq B$ $u(A)\geqslant u(B)$

Monotonitatea este echivalentă cu ipoteza de eliminare liberă - dacă un agent poate întotdeauna să arunce un obiect nedorit, atunci obiectele suplimentare nu vor reduce niciodată utilitatea .

Aditivitate

Utilitate aditivă

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Măr	5
pălărie	7
măr și pălărie	12

Aditivitatea (numită și liniaritate sau modularitate ) înseamnă că „întregul este egal cu suma părților sale”. Adică, utilitatea unui set de obiecte este egală cu suma utilităților fiecărui obiect separat. Această proprietate se aplică numai funcțiilor de utilitate cantitativă. Aceasta înseamnă că pentru orice set de obiecte, $A$

u(A)=\sum _{x\in A}u({x})

sub presupunerea că . Cu alte cuvinte, este o funcție aditivă . Definiție echivalentă: pentru orice set de obiecte și , $u(\emptyset )=0$ $u$ $A$ $B$

u(A)+u(B)=u(A\cup B)+u(A\cap B).

O funcție de utilitate aditivă este o caracteristică a bunurilor independente . De exemplu, un măr și o pălărie sunt considerate independente: utilitatea pentru o persoană primită de la un măr va fi aceeași indiferent dacă are sau nu pălărie și invers. O funcție de utilitate tipică pentru acest caz este dată în dreapta.

Submodularitatea și supermodularitatea

Utilitate submodulară

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Măr	5
pâine	7
măr și pâine	9

Submodularitatea înseamnă că „întregul nu este altceva decât suma părților sale (dar poate fi mai puțin).” Formal, pentru toate seturile și , $A$ $B$

u(A)+u(B)\geqslant u(A\cup B)+u(A\cap B)

Cu alte cuvinte, este o funcție set submodulară . $u$

Proprietatea echivalentă este utilitatea marginală descrescătoare , ceea ce înseamnă că pentru orice mulțimi și cu , și orice : [2] $A$ $B$ $A\subseteq B$ $x\notă B$

u(A\cup \{x\})-u(A)\geqslant u(B\cup \{x\})-u(B)

O funcție de utilitate submodulară este o caracteristică a bunurilor fungibile . De exemplu, un măr și o felie de pâine pot fi considerate interschimbabile - utilitatea pe care o primește o persoană din consumul unui măr este mai mică dacă a mâncat deja pâine (și invers), deoarece în acest caz îi va fi mai puțin foame. O funcție de utilitate tipică pentru acest caz este afișată în dreapta.

utilitate supermodulară

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Măr	5
cuţit	7
măr și cuțit	cincisprezece

Supermodularitatea este opusul submodularității, ceea ce înseamnă că „întregul nu este mai mic decât suma părților sale (dar poate fi mai mult)”. Formal, pentru toate seturile și , $A$ $B$

u(A)+u(B)\leqslant u(A\cup B)+u(A\cap B)

Cu alte cuvinte, este o funcție set supermodulară . $u$

Proprietatea echivalentă este utilitatea marginală în creștere , ceea ce înseamnă că pentru toate mulțimile și cu și orice : $A$ $B$ $A\subseteq B$ $x\notă B$

u(B\cup \{x\})-u(B)\geqslant u(A\cup \{x\})-u(A)

Funcția de utilitate supermodulară este o caracteristică a bunurilor complementare . De exemplu, un măr și un cuțit pot fi considerate complementare - satisfacția pe care o primește o persoană de la un măr va fi mai mare dacă primește și un cuțit în plus, deoarece va fi mai ușor să mănânci un măr tăind bucăți din el. O posibilă funcție de utilitate pentru acest caz este afișată în dreapta.

Funcția de utilitate este este aditivă dacă și numai dacă este atât submodulară, cât și supermodulară.

Subaditivitate și supraaditivitate

Subaditiv dar nu submodular

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
X, Y sau Z	2
X,Y sau Y,Z sau Z,X	3
X,Y,Z	5

Subaditivitatea înseamnă că pentru orice pereche de mulțimi disjunse $A,B$

u(A\cup B)\leqslant u(A)+u(B)

Cu alte cuvinte, este o funcție set subaditiv . $u$

În ipoteza că nu este negativă, orice funcție submodulară este subaditivă. Cu toate acestea, există funcții subaditive nenegative care nu sunt submodulare. De exemplu, să ne imaginăm că există 3 obiecte identice, și , iar utilitatea depinde doar de numărul lor. Tabelul din dreapta descrie o funcție de utilitate , care este subaditivă, dar nu submodulară deoarece $u(\emptyset )$ $X Y$ $Z$

u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X ,Y\}\cap \{Y,Z\}).

Superaditiv, dar nu supermodular

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
X sau Y sau Z	unu
X,Y sau Y,Z sau Z,X	3
X,Y,Z	patru

Superaditivitatea înseamnă că pentru orice pereche de mulțimi disjunse $A,B$

u(A\cup B)\geqslant u(A)+u(B)

Cu alte cuvinte, este o funcție set superaditivă . $u$

Presupunând că nu este pozitiv, orice funcție supermodulară este superaditivă. Cu toate acestea, există funcții superaditive nenegative care nu sunt supermodulare. De exemplu, să presupunem că există 3 obiecte identice și Z, iar utilitatea depinde doar de numărul lor. Tabelul din dreapta descrie o funcție de utilitate care este nenegativă și superaditivă, dar nu supermodulară, deoarece $u(\emptyset )$ $X Y$

u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X ,Y\}\cap \{Y,Z\}).

O funcție de utilitate c este aditivă dacă și numai dacă este atât supraaditivă, cât și subaditivă. $u(\emptyset )=0$

În ipoteza tipică că , orice funcție submodulară este subaditivă și orice funcție supermodulară este superaditivă. Fără a impune o astfel de restricție asupra mulțimii goale, aceste relații nu sunt adevărate. $u(\emptyset )=0$

În special, dacă o funcție submodulară nu este subaditivă, atunci trebuie să fie negativă. De exemplu, să presupunem că există două obiecte, , cu , și . Această funcție de utilitate este submodulară și supermodulară și nenegativă, cu excepția setului gol, dar nu subaditivă deoarece $u(\emptyset )$ $X Y$ $u(\emptyset )=-1$ $u(\{X\})=u(\{Y\})=1$ $u(\{X,Y\})=3$

u(\{X,Y\})>u(\{X\})+u(\{Y\}).

De asemenea, dacă funcția supermodulară nu este superaditivă, atunci trebuie să fie pozitivă. Să ne imaginăm în schimb că . Această funcție de utilitate este nenegativă, supermodulară și submodulară, dar nu este superaditivă, deoarece $u(\emptyset )$ $u(\emptyset )=u(\{X\})=u(\{Y\})=u(\{X,Y\})=1$

u(\{X,Y\})<u(\{X\})+u(\{Y\}).

Cerere unică

utilitatea unității

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Măr	5
pară	7
măr și pere	7

O cerere de unitate (EZ, ing. Cererea de unitate , UD) înseamnă că agentul dorește un singur obiect. Dacă agentul primește două sau mai multe obiecte, el folosește unul dintre ele, ceea ce oferă mai multă utilitate, iar al doilea obiect este aruncat. Oficial:

Pentru relația de preferință: pentru orice mulțime există o submulțime cu dimensiunea , astfel încât . $B$ $A\subseteq B$ $|A|=1$ $A\succeq B$
Pentru funcția de utilitate: pentru orice set : [3] $A$

u(A)=\max _{x\in A}u({x})

Funcția de solicitare a unității este o versiune extremă a funcției submodulare. Funcția este o caracteristică a binelui care este complet interschimbabilă. De exemplu, dacă există un măr și o peră, iar agentul dorește să mănânce un singur fruct, atunci această funcție de utilitate este o singură cerere, așa cum se arată în tabelul din dreapta.

Înlocuire completă

Substituții bruti ( GS ) înseamnă că agenții consideră obiectele ca bunuri interschimbabile sau bunuri independente , dar nu bunuri complementare . Există multe definiții formale ale acestei proprietăți, toate fiind echivalente.

Orice estimare E3 este PP, dar invers nu este adevărat.
Orice estimator PP este submodular, dar invers nu este adevărat.

Consultați articolul Substituție completă pentru o discuție detaliată.

Prin urmare, există următoarele relații între clase:

Subaditiv submodular EZ PP

\subsetneq

\subsetneq

\subsetneq

Vezi poza din dreapta.

Agregarea funcției utilitare

Funcția de utilitate descrie preferințele individuale. Adesea avem nevoie de o funcție care descrie satisfacția întregii comunități. O astfel de funcție se numește funcție de bunăstare publică și este de obicei o funcție agregată a două sau mai multe funcții de utilitate. Dacă funcțiile de utilitate individuale sunt aditive , atunci următoarele sunt valabile pentru funcțiile agregate:

functie de agregat	Proprietate	Exemplu de valori ale funcției de la {a}, {b} și {a,b }
functie de agregat	Proprietate	f	g	h	agregat(f,g,h)
Sumă	Aditiv	1,3; patru	3.1; patru		4,4; opt
In medie	Aditiv	1,3; patru	3.1; patru		2,2; patru
Minim	supraaditiv	1,3; patru	3.1; patru		1,1; patru
Maxim	Subaditiv	1,3; patru	3.1; patru		3,3; patru
Median	nici una dintre proprietăți	1,3; patru	3.1; patru	1,1; 2	1,1; patru
Median	nici una dintre proprietăți	1,3; patru	3.1; patru	3,3; 6	3,3; patru

Vezi și

Funcții utilitare bune divizibile

Note

↑ Gul, Stacchetti, 1999 , p. 95–124.
↑ Moulin, 1991 .
↑ Koopmans, Beckmann, 1957 , p. 53–76.

Literatură

Gul F., Stacchetti E. Walrasian Equilibrium with Gross Substitutes // Journal of Economic Theory. - 1999. - T. 87 . - doi : 10.1006/jeth.1999.2531 .
Herve Moulin. Axiomele luării deciziilor prin cooperare. - Cambridge England New York: Cambridge University Press, 1991. - ISBN 9780521424585 .
Koopmans TC, Beckmann M. Assignment Problems and the Location of Economic Activities // Econometrica. - 1957. - T. 25 , nr. 1 . - doi : 10.2307/1907742 . — .