Ecuația funcțională Cauchy

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 14 ianuarie 2014; verificările necesită 20 de modificări .

Ecuația funcțională Cauchy pentru o funcție are forma $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

f(x+y)=f(x)+f(y)

O funcție care satisface această ecuație se numește aditivă . Acest termen se aplică funcțiilor arbitrare, nu doar celor reale.

Ecuația Cauchy este una dintre cele mai vechi și mai simple ecuații funcționale , cu toate acestea, soluția sa în numere reale este destul de complicată. În numerele raționale , se poate dovedi folosind matematica elementară că există o familie unică de soluții de forma , unde c este o constantă arbitrară. Această familie de soluții este și una dintre soluțiile din mulțimea numerelor reale. Restricțiile suplimentare impuse , pot exclude posibilitatea existenței altor soluții. De exemplu, funcțiile liniare sunt singurele soluții posibile dacă: $f(x)=cx$ $f$ $f(x)=cx$

$f$ este continuă (demonstrată de Cauchy în 1821 ). Această condiție a fost relaxată în 1875 de Darboux , care a arătat că continuitatea unei funcții este necesară doar la un moment dat.
$f$ este monoton pe un anumit interval.
$f$ mărginit de sus sau de jos pe un anumit interval (caz special: păstrează semnul pe un anumit interval). $f$
pentru un anumit interval de valori ale argumentelor, există un interval de valori diferit de zero pe care funcția nu îl ia în acest interval (o versiune mai generală a cazului anterior). $f$
$f$ integrabil (în special, după Lebesgue ) pe un anumit interval.
$f$ măsurabil pe un anumit interval.

Pe de altă parte, dacă nu există restricții suplimentare pentru , atunci există infinite alte funcții care satisfac ecuația (vezi articolul „ Baza lui Hamel ”). Acest lucru a fost dovedit în 1905 de Georg Hamel folosind baza Hamel și, prin urmare , axioma alegerii . O generalizare a celei de-a treia probleme a lui Hilbert la cazul spațiilor multidimensionale folosește această ecuație. $f$

Alte forme ale ecuației funcționale Cauchy

Următoarele ecuații funcționale sunt echivalente cu ecuația Cauchy aditivă : $f\left(x+y\right)=f\left(x\dreapta)+f\left(y\right)$

ecuația Cauchy logaritmică (una dintre familiile de soluții are forma ). $f\left(xy\right)=f\left(x\dreapta)+f\left(y\right)$ $f\left(x\right)=c\ln \left|x\right|=\log _{a}\left|x\right|$
putere ecuația Cauchy (una dintre familiile de soluții are forma ). $f\left(xy\right)=f\left(x\dreapta)f\left(y\right)$ $f\left(x\right)=\left|x\right|^{a)$
ecuația exponențială a lui Cauchy (una dintre familiile de soluții are forma ). $f\left(x+y\right)=f\left(x\dreapta)f\left(y\right)$ $f\left(x\right)=\exp \left(cx\right)=a^{x}$

Soluția degenerată a acestor ecuații este funcția . $f\left(x\right)=0$

Rezolvare în numere raționale

Să demonstrăm că numerele raționale pot fi scoase din semnul funcției. Să luăm : $n\in \mathbb {N}$

f(nx)=f(x+x+\cdots +x)=f(x)+f(x)+\cdots +f(x)=nf(x)

f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {nf(x/n)}{n}}={\frac {f(x)}{n}}

Acum să punem și : $x=y=0$ $y=-x$

f(0)=f(0)+f(0)\Rightarrow f(0)=0

f(0)=f(x)+f(-x)\Rightarrow f(-x)=-f(x)

Punând totul împreună, obținem:

\forall a\in \mathbb {Q} ,x\in \mathbb {R} :f(ax)=af(x)

Setarea și denotarea , avem o familie unică de soluții de peste . $x=1$ $c=f\stanga(1\dreapta)$ $f(x)=cx$ $\mathbb {Q}$

Existența soluțiilor neliniare

Dovada existenței soluțiilor neliniare este neconstructivă și se bazează pe axioma alegerii . Cu ajutorul ei , se dovedește existența bazei Hamel în orice spațiu vectorial , inclusiv în cele infinit-dimensionale.

Considerați ca un spațiu vectorial peste câmp : are o bază Hamel. Să luăm coeficientul în fața unui vector de bază în extinderea numărului în funcție de bază - aceasta va fi valoarea . Funcția rezultată ia valori raționale (ca un coeficient de expansiune peste ) și nu este identic egală cu zero ( ) și, prin urmare, nu poate fi liniară. Este ușor de înțeles că este aditiv, adică satisface ecuația Cauchy. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\alfa$ $X$ $f(x)$ $\mathbb {Q}$ $f(\alpha )=1$

În cazul general, să fie baza Hamel a mulțimii numerelor reale peste câmpul numerelor raționale . Apoi, pentru fiecare real există o expansiune în baza Hamel (unde ), și o astfel de expansiune este unică până la ordinea termenilor de expansiune și a termenilor cu zero factori. Pentru o funcție aditivă trebuie îndeplinită condiția , unde sunt numere reale fixe (factorii raționali pot fi scoși din semnul funcției aditive, vezi secțiunea anterioară). Este evident că funcția dată de această relație satisface ecuația Cauchy aditivă pentru orice alegere de numere auxiliare . Cu toate acestea, numai atunci când , unde este un număr real arbitrar, funcția în cauză se dovedește a fi o funcție liniară a lui . $\{r_{\alpha }\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $X$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\în {\mathbb {Q}}$ $f(x)$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f_{\alpha _{n})$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\equiv c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $c$

Proprietăți ale soluțiilor neliniare

Acum vom demonstra că orice soluție neliniară trebuie să fie o funcție destul de neobișnuită - graficul său trebuie să fie peste tot dens în . Aceasta înseamnă că orice cerc arbitrar mic de pe plan conține cel puțin un punct din acest grafic. Alte proprietăți sunt ușor deduse din aceasta, cum ar fi discontinuitatea în orice punct, nonmonotonitatea și nelimitarea la orice interval. $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$

Putem, împărțind funcția la , să presupunem că . (Dacă , atunci , iar raționamentul dat mai jos rămâne valabil cu modificări minime, presupunând că există un punct pentru care .) Dacă funcția nu este liniară, atunci pentru unii : setăm . Să arătăm acum cum să găsim un punct grafic într-un cerc arbitrar centrat pe un punct de rază , unde . Este clar că acest lucru este suficient pentru densitatea graficului peste tot în . $c=f(1)$ $\forall a\in \mathbb {Q}:f(a)=a$ $f(1)=0$ $\forall a\in \mathbb {Q}:f(a)=0$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f(\alpha )\neq 0$ $f(x)$ $f(\alpha )\neq \alpha$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0$ $(X y)$ $r$ $x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y$ $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$

Să setăm și să alegem un număr rațional apropiat de , astfel încât: $\beta ={\frac {yx}{\delta })$ $b\neq 0$ $\beta$

\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{3\left|\delta \right|}}

Apoi alegeți un număr rațional apropiat de , astfel încât: $A$ $\alfa$

\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{3\left|b\right|}}

Acum să luăm și, folosind ecuația funcțională, obținem: $X=x+b(\alpha -a)$

Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))

=x+bf(\alpha )-bf(a)

=y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)

=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba

=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)

Dar apoi , adică punctul era în interiorul cercului. $(Yy)^{2}+(Xx)^{2}=(b(\alpha -a)-\delta (\beta -b))^{2}+(b(\alpha -a) )^{2}\leqslant \left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3 }}\dreapta)^{2}<r^{2}$ $(X,Y)$

De asemenea, se poate arăta [1] că atunci când o funcție aditivă nu este liniară, va fi discontinuă în orice punct pe axa reală și, de asemenea, nu păstrează semnul, nu este mărginită deasupra sau dedesubt, nu este monotonă , nu este integrabilă , și nu este măsurabil pe niciun interval arbitrar mic, umplând, în conformitate cu afirmația despre densitatea graficului dovedit mai sus, peste tot în plan , pe orice interval arbitrar mic, umplând întreaga axă reală cu valorile sale dens . $f(x)$ $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\left(-\infty ,+\infty \right)$

Note

↑ Universitatea Rutgers . Consultat la 3 noiembrie 2019. Arhivat din original la 3 noiembrie 2019. (nedefinit)

Literatură

N. K. Vereshchagin, A. Shen. Începuturile teoriei mulțimilor . — P. 82. — (Prelegeri despre logica matematică și teoria algoritmilor).
Rezolvarea ecuației funcționale Cauchy - Universitatea Rutgers