Funcția de distribuție (fizică statistică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 28 mai 2019; verificările necesită 2 modificări .

Funcția de distribuție statistică (funcția de distribuție în fizica statistică) este densitatea de probabilitate în spațiul fazelor . Unul dintre conceptele fundamentale ale fizicii statistice . Cunoașterea funcției de distribuție determină complet proprietățile probabilistice ale sistemului luat în considerare.

Starea mecanică a oricărui sistem este determinată în mod unic de coordonatele și momentele particulelor sale ( i=1,2,..., d ; d este numărul de grade de libertate ale sistemului). Mulțimea mărimilor și formează spațiul fazelor . $q_{i}$ $p_{i)$ $q\equiv \left\{q_{i}\right\)$ $p\equiv \left\{p_{i}\right\)$

Funcția completă de distribuție statistică

Probabilitatea de a găsi un sistem într-un element al spațiului fazelor , cu un punct (q, p) în interior, este dată de formula: $\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\equiv \prod \limits _{i}\mathrm {d} q_{i}\,\mathrm {d} p_{i)$

\mathrm {d} \omega =\rho \!\left(t,q,p\right)\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\qquad (1)

Funcția se numește funcția de distribuție statistică completă (sau pur și simplu funcția de distribuție). De fapt, reprezintă densitatea punctelor de reprezentare în spațiul fazelor. Funcția satisface condiția de normalizare : $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$

\int {\rho \!\left(t,q,p\right)\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}=1,\qquad (2)

iar integrala este preluată pe întreg spațiul fazelor. În cazul corespunzător mecanicii , sistemul este într-o anumită stare microscopică, adică a dat și , și apoi ${q}^{(0)}\equiv \left\{{q_{i}}^{(0)}\right\}$ ${p}^{(0)}\equiv \left\{{p_{i}}^{(0)}\right\}$

\rho \!\left(q,p\right)=\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\,\delta \!\left(pp^{(0)} \dreapta),

unde (δ este funcția Dirac ). În plus față de probabilitățile diferitelor stări microscopice în sine, funcția vă permite să găsiți valoarea statistică medie a oricărei mărimi fizice - o funcție a variabilelor de fază q și p : $\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\delta \!\left(pp^{(0)}\right)\equiv \prod \limits _{i}\delta \ !\left(q_{i}-{q_{i}}^{(0)}\right)\delta \!\left(p_{i}-{p_{i}}^{(0)}\right )$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $F\!\stanga(t,q,p\dreapta)$

\left\langle {\hat {F}}\right\rangle =\int ({\hat {F}}\,{\hat {\rho }}\,\mathrm {d} q\,\ mathrm {d}p},

unde „capul” înseamnă dependența de variabilele de fază, iar paranteza este o medie statistică.

Să împărțim sistemul în subsisteme mici, dar macroscopice. Se poate argumenta că astfel de subsisteme sunt independente din punct de vedere statistic datorită interacțiunii lor slabe cu mediul (numai particulele apropiate de limita subsistemului participă la interacțiunea cu mediul; în cazul unui subsistem macroscopic, numărul lor este mic în comparație cu numărul total al particulelor sale). Independența statistică a subsistemelor conduce la următorul rezultat pentru funcția de distribuție

\rho \!\left(t,q,p\right)=\prod \limits _{n}\rho ^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n) },p^{(n)}\dreapta)\qquad(3)

Indicele n se referă la al n -lea subsistem. Fiecare dintre funcții poate fi considerată normalizată în conformitate cu condiția (2). În acest caz, funcția va fi, de asemenea, normalizată automat . Conceptul de independență statistică este aproximativ. Egalitatea (3), la rândul ei, este și ea aproximativă: nu ia în considerare corelațiile particulelor aparținând diferitelor subsisteme. Este semnificativ, totuși, că în condiții fizice obișnuite, corelațiile slăbesc rapid pe măsură ce particulele (sau grupurile de particule) se îndepărtează unele de altele. Sistemul are un parametru caracteristic, raza de corelație , în afara căruia particulele se comportă statistic independent. În subsistemele de dimensiuni macroscopice, marea majoritate a particulelor unui subsistem se află în afara razei corelațiilor cu particulele altui subsistem și, în ceea ce privește aceste particule, egalitatea (3) este valabilă. $\rho ^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)$ $\rho$

Din punct de vedere matematic, setarea funcției de distribuție totală echivalează cu setarea unui număr infinit de mărimi independente - valorile sale pe un continuum de puncte din spațiul de fază de dimensiunea colosală 2d (pentru sistemele macroscopice d ~ , unde este numărul Avogadro ). $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $N / A$ $N / A$

Descriere incompletă

Într-un caz mai realist de măsurare incompletă, devin cunoscute probabilitățile valorilor sau chiar valorile medii doar ale unor mărimi fizice . Numărul lor este de obicei mult mai mic decât dimensiunea spațiului de fază al sistemului. Funcția de distribuție a probabilității a valorilor este dată de egalitate ${\hat {A}}\equiv \left\{{\hat {A}}_{m}\right\}$ $\rho \!\left(A\right)$ $A$

\rho \!\left(A\right)=\int {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\,\delta \!\left(A-{\hat {A)) \dreapta)\rho \!\left(q,p\right)},

unde . Funcția de distribuție poate fi numită incompletă. Evident, permite găsirea probabilităților valorilor doar ale mărimilor fizice , a căror dependență de variabilele de fază se realizează prin . Pentru aceleași valori, vă permite să găsiți valorile medii: $\delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\equiv \prod \limits _{m}\delta \!\left(A_{m}-{\hat {A} }_{m}\dreapta)$ $\rho \!\left(A\right)$ ${\hat {f}}\equiv f\!\left({\hat {A}}\right)$ ${\hat {A}}$

\left\langle {\hat {f}}\right\rangle =\int {\mathrm {d} A\,f\!\left(A\right)\,\rho \!\left(A \dreapta)},

unde și integrarea se realizează peste toate valorile posibile ale . Desigur, valorile medii ale cantităților ar putea fi găsite folosind funcția de distribuție totală , dacă ar fi cunoscută. Pentru funcția , precum și pentru funcția de distribuție completă, condiția de normalizare este adevărată: $\mathrm {d} A\equiv \prod \limits _{m}\mathrm {d} A_{m)$ $A$ $\left\langle {\hat {f}}\right\rangle$ ${\pălărie {f)}$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $\rho \!\left(A\right)$

\int {\mathrm {d} A\,\rho \!\left(A\right)}=1

Descrierea unui sistem folosind o funcție se numește descriere incompletă. Exemple specifice sunt descrierea folosind funcția de distribuție a coordonatelor și momentelor particulelor individuale ale sistemului sau descrierea folosind valorile medii ale maselor , momentelor și energiilor subsistemelor individuale ale întregului sistem. $\rho \!\left(A\right)$

Evoluția în timp a funcției de distribuție

Evoluția în timp a funcției de distribuție respectă ecuația Liouville :

{\frac {\partial {\hat {\rho })\!\left(t\right)}{\partial t))+i\,L_{t}\,{\hat {\rho } }\!\left(t\right)=0,\qquad(4)

unde este operatorul Liouville care acționează în spațiul funcțiilor de fază: $L_{t)$

L_{t}\,\cdot \equiv -i\left\({\hat {H))_{t},\cdot \right\}\equiv -i\sum \limits _{j}\ stânga({\frac {\partial {\hat {H}}_{t}}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}-{\frac { \partial {\hat {H}}_{t}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}\right)

${\hat {H}}_{t}$ este funcția Hamilton a sistemului. În cazul în care operatorul Liouville nu depinde de timp ( ), soluția ecuației (4) are forma $L_{t}=L$

{\hat {\rho }}\!\left(t\right)=e^{-itL}{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\qquad (5)

Pentru a folosi (5) pentru a construi efectiv o soluție, trebuie să cunoaștem funcțiile proprii și valorile proprii ale operatorului . ${\pălărie {\psi }}^{(n))$ $L^{(n)}$ $L$

Folosind completitatea și ortonormalitatea , scriem: ${\pălărie {\psi }}^{(n))$

{\hat {\rho }}\!\left(0\right)=\sum \limits _{n}c_{n}{\hat {\psi }}^{(n))

unde ( se presupune că spectrul este discret). Drept urmare, obținem $c_{n}=\left({\hat {\psi }}^{(n)},{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\right)$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(t\right)=\sum \limits _{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)))c_{n }\,{\hat {\psi }}^{(n)))

Vezi și

Funcția de distribuție parțială

Literatură

Gibbs J. V. „Principii de bază ale mecanicii statistice” - M. - L., 1946. // Retipărit: Editura „Regular and Chaotic Dynamics”, 2002. - 204 p. ISBN 5-93972-127-3 .
Balescu R. Mecanica statistică de echilibru și de neechilibru. În două volume. — M.: Mir, 1978.
Berezin F. A. Prelegeri de fizică statistică. - Moscova - Izhevsk: Institutul. cercetare informatică, 2002. - 192p. (ed. a II-a, Editura Rev.: MTSNMO, 2008. - 200 p. ISBN 978-5-94057-352-4 )
Bogolyubov NN Probleme de teorie dinamică în fizica statistică. — M. — L.: OGIZ. Gostekhizdat , 1946.
Bogolyubov NN Lucrări alese despre fizica statistică . - M.: Editura Universității de Stat din Moscova, 1979.
Bogolyubov N. N. Culegere de lucrări științifice. În 12 volume. Vol. 5: Nonequilibrium Statistical Mechanics, 1939-1980. — M.: Nauka, 2006. ISBN 5020341428 .
Vlasov AA Mecanica Statistică Nonlocală . — M.: Nauka, 1978.
Zubarev D. N. , Morozov V. G., Repke G. Mecanica statistică a proceselor de neechilibru. Volumul 1. - M .: Fizmatlit , 2002. - 432 p. ISBN 5-9221-0211-7 , ISBN 5-9221-0210-9 .
Prigogine I. Mecanica Statistică de Neechilibru . - Editura: Editorial URSS, 2005. - 312 p. ISBN 5-354-01004-7
Khinchin A. Ya. Fundamentele matematice ale mecanicii statistice. - Editura: Regular and Chaotic Dynamics, 2003. - 128s. ISBN 5-93972-273-3
Ruel D. Mecanica statistică. Rezultate stricte . — M.: Mir, 1971. — 368s.
Krylov NS Lucrări de fundamentare a fizicii statistice . - M.-L .: De la Academia de Științe a URSS, 1950.
Kubo R. Mecanica statistică. — M.: Mir, 1967.
Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fizică statistică. Partea 1. - (" Fizica teoretică ", Volumul V).
Terletsky Ya. P. Fizică statistică. (ed. a II-a). - M .: Liceu, 1973.
Uhlenbeck J. , Ford J. Prelegeri de mecanică statistică. — M.: Mir, 1965.]
Huang K. Mecanica statistică . — M.: Mir, 1966.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online)