Teorema de conservare a volumului de fază a lui Liouville

Teorema lui Liouville , numită după matematicianul francez Joseph Liouville , este o teoremă cheie în fizica matematică , fizica statistică și mecanica hamiltoniană . Teorema afirmă conservarea în timp a volumului fazei sau densitatea de probabilitate în spațiul fazelor.

Formulare

Funcția de distribuție a unui sistem hamiltonian este constantă pe orice traiectorie în spațiul fazelor .

Ecuația lui Liouville

Ecuația Liouville descrie evoluția în timp a funcției de distribuție ( densitatea de probabilitate ) a unui sistem hamiltonian în spațiul de fază - dimensional ( este numărul de particule din sistem). Se consideră un sistem hamiltonian cu coordonate și momente conjugate , unde . Apoi distribuția în spațiul fazelor determină probabilitatea ca sistemul să se afle în elementul de volum al spațiului său de fază. $6N$ $N$ $q_{i}$ $p_{i}$ $i=1,\dots ,d,$ $d=3N$ $\rho (p_{i},q_{i})$ $\rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$ $\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$

Ecuația Liouville descrie evoluția în timp conform regulii de găsire a derivatei totale a unei funcții , ținând cont de incompresibilitatea fluxului în spațiul fazelor: $\rho (p_{i},q_{i};t)$ $t$

{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\sum _{i=1}^ {d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\mathrm {d} t))+{\ frac {\partial \rho }{\partial p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right)=0.

Derivatele temporale ale coordonatelor de fază pentru sistemele hamiltoniene sunt descrise conform ecuațiilor lui Hamilton :

{\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\ p_{i}}} parțial,

{\dot {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{ \partial q_{i}}}.

O simplă demonstrație a teoremei este observația că evoluția este determinată de ecuația de continuitate (continuitate) : $\rho$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\ rho \operatorname {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operatorname {grad} \rho =0,

unde este viteza de mișcare a volumului studiat al spațiului fazelor: $\mathbf{v}$

\nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q))_{ i})}{\partial q_{i))}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p))_{i})}{\partial p_{i))}\right)

și observația că diferența dintre această expresie și ecuația Liouville este determinată doar de termenul care descrie divergența, și anume absența ei, ceea ce înseamnă absența surselor sau chiuvetelor densității de probabilitate:

\rho \operatorname {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left ({\frac {\partial {\dot {q))_{i} }{\partial q_{i))}+{\frac {\partial {\dot {p))_{i)){\partial p_{i))}\right)=\rho \sum _{i= 1}^{d}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i))}-{\frac {\partial ^{2}H }{\partial p_{i}\,\partial q_{i}}}\right)=0,

unde este Hamiltonianul și au fost utilizate ecuațiile lui Hamilton . Aceasta poate fi reprezentată ca mișcarea prin spațiul de fază a „curgerii de fluid” a punctelor sistemului. Teorema înseamnă că derivata Lagrange sau derivata substanțială a densității este egală cu zero. Aceasta rezultă din ecuația de continuitate , deoarece câmpul de viteză în spațiul fazelor este lipsit de divergențe, ceea ce, la rândul său, rezultă din ecuațiile hamiltoniene pentru sistemele conservatoare. $H$ $d\rho /dt$ $({\dot {p)),{\dot {q)}}$

Interpretare geometrică

Luați în considerare traiectoria unui punct mic (un set de puncte) în spațiul fazelor. Deplasându-se de-a lungul unui set de traiectorii, punctul este întins într-o coordonată, să zicem - - dar comprimat într-o altă coordonată , astfel încât produsul să rămână constant. Zona spotului (volumul fazei) nu se modifică. $p_{i}$ $q_i$ $\Delta p_{i}\,\Delta q_{i)$

Mai precis, volumul de fază este conservat în timpul decalărilor. În cazul în care un $\Gamma$

\int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,

și este mulțimea de puncte din spațiul fazelor în care mulțimea poate evolua în momentul , atunci $\Gamma (t)$ $\Gamma$ $t$

\int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C

pentru toate timpurile . Volumul spațiului de fază al unui sistem hamiltonian este conservat deoarece evoluția în timp în mecanica hamiltoniană este o transformare canonică , iar toate transformările canonice au o unitate jacobiană . $t$

Prin forma simplectică

Să fie o varietate simplectică și să fie o funcție lină. Să existe un gradient simplectic , adică un câmp vectorial care satisface relația $(M,\omega )$ $H\colon M\la \mathbb {R}$ $V$ $H$

dH(X)=\omega (V,X)

pentru orice câmp vectorial . Apoi $X$

{\mathcal {L}}_{V}\omega =0,

unde denotă derivata Lie . $\mathcal{L}$

Din această afirmație rezultă teorema Liouville. Într-adevăr, din identitatea de mai sus rezultă că

{\mathcal {L}}_{V}\omega ^{\wedge n}=0,

iar dacă este -dimensional, atunci este forma de volum pe . $M$ $2n$ $\omega ^{{\wedge n}}$ $M$

Interpretare fizică

Numărul total așteptat de particule este integrala pe întreg spațiul de fază al funcției de distribuție:

N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)

(factor de normalizare omis). În cel mai simplu caz, când o particulă se mișcă în spațiul euclidian într-un câmp de forțe potențiale cu coordonate și momente , teorema lui Liouville poate fi scrisă ca $\mathbf {F}$ $\mathbf {x}$ ${\mathbf {p}}$

{\frac {\partial \rho }{\partial t)}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{ m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,

unde este viteza. În fizica plasmei, această expresie se numește ecuația Vlasov sau ecuația Boltzmann fără coliziune și este folosită pentru a descrie un număr mare de particule fără coliziune care se mișcă într-un câmp de forță autonom . $\mathbf {v} = {\dot {\mathbf {x} ))$ $\mathbf {F}$

În mecanica statistică clasică, numărul de particule este mare, de ordinul numărului Avogadro . În cazul staționar , se poate găsi densitatea microstărilor disponibile într-un ansamblu statistic dat . Pentru stările staționare , funcția de distribuție este egală cu orice funcție a Hamiltonianului , de exemplu, în distribuția Maxwell-Boltzmann , unde este temperatura , este constanta Boltzmann . $N$ $\partial\rho/\partial t = 0$ $\rho$ $H$ $\rho \sim e^{-H/kT}$ $T$ $k$

Notarea prin paranteza Poisson

Folosind paranteza Poisson , care în coordonate canonice este $(q^{i},p_{j})$

\{A,B\}=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i)}}{\frac {\ parțial B}{\partial p_{i))}+{\frac {\partial A}{\partial p_{i))}{\frac {\partial B}{\partial q^{i))}\right ),

ecuația Liouville pentru sistemele hamiltoniene ia forma

{\frac {\partial \rho }{\partial t))=-\{\rho, H\}.

Notare folosind operatorul Liouville

Folosind operatorul Liouville

i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i)}}{\frac {\partial }{\partial q_{i))}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}{\frac {\partial }{\partial p_{i))}\right]

ecuația pentru sistemele hamiltoniene ia forma

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+i{\hat {L)}\rho =0.

Note

Cuantizarea canonică oferă o versiune mecanică cuantică a teoremei.

Această procedură, adesea folosită pentru a obține analogi cuantici ai sistemelor clasice, implică descrierea sistemului clasic folosind mecanica hamiltoniană. Variabilele clasice sunt apoi reinterpretate, și anume ca operatori cuantici, în timp ce parantezele Poisson sunt înlocuite cu comutatoare . În acest caz, obținem ecuația

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],

unde ρ este matricea densității . Această ecuație se numește ecuația von Neumann și descrie evoluția stărilor cuantice ale sistemelor hamiltoniene.

Ecuația Liouville este adevărată pentru sistemele de echilibru și neechilibru. Aceasta este ecuația fundamentală a mecanicii statistice de neechilibru.

Asumarea incompresibilității fluxului de fază, adică îndeplinirea condiției

\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial q_{i)}}{\frac {\mathrm {d} q_{i)}{\ mathrm {d} t))+{\frac {\partial }{\partial p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right) =0,

este semnificativă. În cazul general al unui sistem dinamic arbitrar

{\dot {q}}_{i}=Q_{i}(\mathbf {p},\mathbf {q},t),\quad {\dot {p}}_{i}=P_ {i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)

ecuația pentru evoluția în timp a densității de distribuție a particulelor în spațiul fazelor se obține din ecuația de echilibru $\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$

\rho (\mathbf {p} ',\mathbf {q} ',t')\,d\Lambda '=\rho (\mathbf {p},\mathbf {q},t)\,d \Lambda ,

t'=t+dt,\quad p_{i}'=p_{i}+P_{i}\,dt,\quad q_{i}'=q_{i}+Q_{i}\, dt,\quad d\Lambda '=d\Lambda \left[1+dt\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial Q_{i)){\partial q_{i ))}+{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{i}}}\right)\right]

(ultima relație este scalarea elementului de volum de fază cu o deplasare infinitezimală de-a lungul traiectoriei fazei). Ecuația finală are forma

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho Q_{i})}{ \partial q_{i))}+{\frac {\partial (\rho P_{i})}{\partial p_{i))}\right)=0

(vezi, de asemenea , ecuația Fokker-Planck ) și în cazul în care coincide cu ecuația Liouville. $Q_{i}=\partial H/\partial p_{i},\P_{i}=-\partial H/\partial q_{i)$

Vezi și

Poincaré-Cartan integral