Coardă (geometrie)
Coardă (din greacă χορδή - șir) în planimetrie - un segment care leagă două puncte ale unei curbe date (de exemplu, un cerc , elipsă , parabolă , hiperbolă ).
Coarda este pe o linie secantă - o linie dreaptă care intersectează curba în două sau mai multe puncte. O figură plată cuprinsă între o curbă și coarda acesteia se numește segment , iar partea curbei situată între cele două puncte extreme ale coardei se numește arc . În cazul curbelor închise (de exemplu , cerc , elipsă ), coarda formează o pereche de arce cu aceleași puncte extreme pe părțile opuse ale coardei. Coarda care trece prin centrul cercului este diametrul acestuia . Diametrul este cea mai lungă coardă a unui cerc.
Proprietățile acordurilor unui cerc
Coarda și distanța până la centrul cercului
- Dacă distanțele de la centrul cercului la coarde sunt egale, atunci aceste coarde sunt egale.
- Dacă acordurile sunt egale, atunci distanțele de la centrul cercului la aceste acorduri sunt egale.
- Dacă coarda este mai mare, atunci distanța de la centrul cercului la această coardă este mai mică. Dacă coarda este mai mică, atunci distanța de la centrul cercului la această coardă este mai mare.
- Dacă distanța de la centrul cercului la coardă este mai mică, atunci această coardă este mai mare. Dacă distanța de la centrul cercului la coardă este mai mare, atunci această coardă este mai mică.
- Cel mai mare coard posibil este diametrul.
- Cel mai mic acord posibil este un punct.
- Dacă o coardă trece prin centrul unui cerc, atunci acea coardă este diametrul.
- Dacă distanța de la centrul cercului la o coardă este egală cu raza, atunci acea coardă este un punct.
- Bisectoarea perpendiculară a coardei trece prin centrul cercului.
Coardă și diametru
- Dacă un diametru traversează o coardă fără diametru, atunci acel diametru este perpendicular pe acel coard.
- Dacă un diametru este perpendicular pe o coardă, atunci acel diametru disectează coarda respectivă.
- Dacă un diametru traversează o coardă care nu este un diametru, atunci acel diametru traversează arcele scăzute de acea coardă.
- Dacă un diametru traversează un arc, atunci acest diametru traversează coarda care subtinde acest arc.
- Dacă diametrul este perpendicular pe o coardă, atunci acest diametru traversează arcurile subtinute de această coardă.
Coardă și raza
- Dacă o rază traversează o coardă care nu este un diametru, atunci acea rază este perpendiculară pe acea coardă.
- Dacă o rază este perpendiculară pe o coardă, atunci acea rază traversează coarda respectivă.
- Dacă o rază traversează o coardă care nu este un diametru, atunci acea rază traversează arcul subtins de acea coardă.
- Dacă o rază traversează un arc, atunci această rază traversează coarda care subtind acest arc.
- Dacă raza este perpendiculară pe o coardă, atunci această rază traversează arcul subtins de această coardă.
- Dacă o rază traversează un arc, atunci această rază este perpendiculară pe coarda care subtinde acest arc.
Coarda și unghiul înscris
- Dacă unghiurile înscrise se bazează pe aceeași coardă și vârfurile acestor unghiuri se află pe aceeași parte a acestei coarde, atunci aceste unghiuri sunt egale.
- Dacă o pereche de unghiuri înscrise se sprijină pe aceeași coardă și vârfurile acestor unghiuri se află pe părțile opuse ale acestei coarde, atunci suma acestor unghiuri este de 180°.
- Dacă unghiurile înscrise și central se află pe aceeași coardă și vârfurile acestor unghiuri se află pe aceeași parte a acestei coarde, atunci unghiul înscris este egal cu jumătate din unghiul central.
- Dacă un unghi înscris intersectează un diametru, atunci acel unghi este un unghi drept.
Coarda și unghiul central
- Dacă acordurile subtind unghiuri centrale egale , atunci aceste acorduri sunt egale.
- Dacă acordurile sunt egale, atunci aceste acorduri subtind unghiuri centrale egale.
- O coardă mare scade un unghi central mai mare, o coardă mai mică scade un unghi central mai mic.
- Un unghi central mai mare este scăzut de o coardă mai mare, un unghi central mai mic este scăzut de o coardă mai mică.
Acordă și arc
- Dacă acordurile subtind arcuri egale, atunci aceste acorduri sunt egale.
- Dacă acordurile sunt egale, atunci aceste acorduri subtind arcuri egale.
- Dintre arcurile mai mici decât semicercul, arcul mai mare este scăzut de coarda mai mare, arcul mai mic este scăzut de coarda mai mică.
- Dintre arcurile mai mici decât semicercul, coarda mai mare scade arcul mai mare, coarda mai mică scade arcul mai mic.
- Dintre arcurile mai mari decât semicercul, arcul mai mic este scăzut de coarda mai mare, arcul mai mare este scăzut de coarda mai mică.
- Din arce mai mari decât un semicerc, o coardă mai mare subtinde un arc mai mic, o coardă mai mică scade un arc mai mare.
- Coarda care subtinde semicercul este diametrul.
- Dacă acordurile sunt paralele, atunci arcurile cuprinse între aceste acorduri (a nu se confunda cu arcele scăzute de acorduri) sunt egale.
Alte proprietăți
- Când două coarde AB și CD se intersectează în punctul E, se obțin segmente, produsul lungimii cărora pentru o coardă este egal cu produsul corespunzător pentru celălalt (vezi Fig. 1 ) :.
- Dacă o coardă este împărțită în jumătate cu orice punct, atunci lungimea sa este cea mai mică în comparație cu lungimile acordurilor trase prin acest punct.
Proprietățile acordurilor unei elipse
Formule de bază
- Lungimea coardei este , unde este raza cercului, este unghiul central bazat pe coarda dată ( Fig. 2 ).
- Formula derivată direct din teorema lui Pitagora ( Fig. 3 ): , unde este lungimea coardei, este raza cercului, este distanța de la centrul cercului la coardă.
- Dacă toate cele patru lungimi ale segmentelor a două coarde care se intersectează sunt cunoscute, de exemplu, (vezi Fig. 1), atunci raza cercului este determinată de formula:
