Teorema limitei centrale

Teoremele limită centrale (CLT) sunt o clasă de teoreme în teoria probabilității , care afirmă că suma unui număr suficient de mare de variabile aleatoare slab dependente având aproximativ aceeași scară (niciunul dintre termeni nu domină, nu aduce o contribuție definitorie la sumă). ), are o distribuție apropiată de normală .

Deoarece multe variabile aleatoare din aplicații se formează sub influența mai multor factori aleatori slab dependenți, distribuția lor este considerată normală. În acest caz, trebuie observată condiția ca niciunul dintre factori să nu fie dominant. Teoremele limită centrale în aceste cazuri justifică aplicarea distribuției normale.

CLT clasic

Să existe o succesiune infinită de variabile aleatoare independente distribuite identic cu o așteptare și varianță matematică finită . Lasa si $X_{1},\ldots, X_{n},\ldots$ $\mu$ $\sigma ^{2}$

S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}

Apoi

{\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt n))}\la N(0,1)

prin distribuție la ,

n\la\infty

unde este o distribuție normală cu medie zero și abatere standard egală cu unu. Definirea mediei eșantionului a primelor valori ca $N(0,1)$ $n$

{\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}

putem rescrie rezultatul teoremei limitei centrale în următoarea formă:

{\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}\la N(0,1)

prin distributie la .

n\la\infty

Rata de convergență poate fi estimată folosind inegalitatea Berry-Esseen .

Note

Informal vorbind, teorema clasică a limitei centrale afirmă că suma variabilelor aleatoare independente distribuite identic are o distribuție apropiată de . În mod echivalent, are o distribuție apropiată de . $n$ $N(n\mu ,n\sigma ^{2})$ ${\bar {X}}_{n}$ $N(\mu ,\sigma ^{2}/n)$
Deoarece funcția de distribuție a distribuției normale standard este continuă , convergența către această distribuție este echivalentă cu convergența punctuală a funcțiilor de distribuție la funcția de distribuție a distribuției normale standard. Setând , obținem , unde este funcția de distribuție a distribuției normale standard. $Z_{n}={\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n))))$ $F_{{Z_{n}}}(x)\la \Phi (x),\;\forall x\in {\mathbb {R}}$ $\Phi (x)$
Teorema limită centrală în formularea clasică este dovedită prin metoda funcțiilor caracteristice ( teorema de continuitate a lui Levy ).
În general, convergența densităților nu rezultă din convergența funcțiilor de distribuție . Cu toate acestea, în acest caz clasic, acesta este cazul.

CLT local

Sub ipotezele formulării clasice, să presupunem în plus că distribuția variabilelor aleatoare este absolut continuă, adică are o densitate. Atunci distribuția este , de asemenea, absolut continuă și, în plus, $\{X_{i}\}_{{i=1}}^{{\infty }}$ $Z_{n}$

f_{{Z_{n}}}(x)\la {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{{-{\frac {x^{2}}{ 2}}}}

la ,

n\la\infty

unde este densitatea variabilei aleatoare , iar în partea dreaptă este densitatea distribuției normale standard. $f_{{Z_{n}}}(x)$ $Z_{n}$

Generalizări

Rezultatul teoremei limitei centrale clasice este valabil pentru situații mult mai generale decât independența completă și distribuția egală.

CPT Lindeberg

Fie ca variabile aleatoare independente să fie definite pe același spațiu de probabilitate și să aibă așteptări și varianțe matematice finite : . $X_{1},\ldots, X_{n},\ldots$ ${\mathbb {E}}[X_{i}]=\mu _{i},\;{\mathrm {D}}[X_{i}]=\sigma _{i}^{2}$

Lasă . $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

Apoi . ${\mathbb {E}}[S_{n}]=m_{n}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\mu _{i},\;{\mathrm {D} }[S_{n}]=s_{n}^{2}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\sigma _{i}^{2}$

Și să fie îndeplinită condiția Lindeberg :

\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{{n\to \infty }}\sum \limits _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[{ \frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}\,{\mathbf {1}}_{{\{|X_{i }-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}\right]=0,

unde funcția este un indicator. ${\mathbf {1}}_{{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}$

Apoi

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\la N(0,1)

prin distributie la .

n\la\infty

TsPT Lyapunov

Să fie satisfăcute ipotezele de bază ale CLT-ului lui Lindeberg. Fie ca variabilele aleatoare să aibă un al treilea moment finit . Apoi secvența $\{X_{i}\}$

r_{n}^{3}=\sum _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[|X_{i}-\mu _{i}|^{3} \dreapta]

Dacă limită

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {r_{n}}{s_{n}}}=0

( condiția Lyapunov ),

apoi

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\la N(0,1)

prin distributie la .

n\la\infty

CLT pentru martingale

Lăsați procesul să fie o martingală cu incremente mărginite. În special, să presupunem că $(X_{n})_{{n\in {\mathbb {N))))$

{\mathbb {E}}\left[X_{{n+1}}-X_{n}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]=0,\;n\in {\ mathbb {N}},\;X_{0}\equiv 0,

iar incrementele sunt mărginite uniform, adică

\exists C>0\,\forall n\in {\mathbb {N}}\;|X_{{n+1}}-X_{n}|\leq C

b.s.

Introducem procese aleatorii și după cum urmează: $\sigma _{n}^{2}$ $\tau_n$

\sigma _{n}^{2}={\mathbb {E}}\left[(X_{{n+1}}-X_{n})^{2}\mid X_{1},\ldots , X_{n}\dreapta]

și

\tau _{n}=\min \left\{k\left\vert \;\sum _{{i=1}}^{k}\sigma _{i}^{2}\geq n\right. \dreapta\}

Apoi

{\frac {X_{{\tau _{n}}}}{{\sqrt {n}}}}\la N(0,1)

prin distributie la .

n\la\infty

CLT pentru vectori aleatori

Fie o succesiune de vectori aleatori independenți și distribuiți egal, fiecare dintre acestea având o matrice de covarianță medie și nesingulară . Se notează prin vectorul sumelor parțiale. Atunci, pentru , există o convergență slabă a distribuțiilor vectorilor ${\vec {X_{1}}},\ldots ,{\vec {X_{n}}},\ldots$ $E{\vec {X_{1}}}={\vec {a}}$ $\Sigma$ $S_{n}={\vec {X_{1}}}+\ldots +{\vec {X_{n})}$ $n\la\infty$

${\vec {\eta _{n)}}={\frac {S_{n}-na}{\sqrt {n)}}\xrightarrow {slab} {\vec {\eta )}$ , unde are distribuție . ${\vec {\eta ))$ $N({{\vec {0)),\Sigma })$

Vezi și

Note

↑ Rouaud, Mathieu. Probabilitate, Statistică și Estimare (nedefinită) . - 2013. - S. 10.

Link -uri

Teoreme limită ale teoriei probabilităților. Exemple de utilizare

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 122653738 GND : 4067618-3 J9U : 987007284968305171 LCCN : sh85021905