Centru de similitudine

Dacă cercurile au aceeași rază (dar centre diferite), nu există un centru extern de similitudine în planul afin - în geometria analitică aceasta duce la împărțirea la zero, iar în geometria clasică liniile de centre sunt drepte și paralele (ambele pentru drepte secante și pentru tangente) și, prin urmare, nu se pot intersecta. Centrul exterior de similitudine poate fi definit în plan proiectiv ca un punct la infinit corespunzător intersecției dreptelor.

Dacă cercurile au același centru, dar raze diferite, centrele de similitudine exterior și interior coincid cu centrul comun al cercurilor. Acest lucru poate fi văzut din formula analitică și, de asemenea, ca limita a doi centre de similitudine atunci când centrele se deplasează unul spre celălalt menținând razele până când centrele coincid.

Dacă o rază este egală cu zero, iar cealaltă nu este egală cu zero (punct și cerc), ambele centre de similitudine exterior și interior coincid cu punctul (centrul unui cerc de rază zero).

Dacă două cercuri sunt identice (au același centru și aceleași raze), centrul de similitudine interior este centrul lor comun, dar nu există un centru exterior bine definit. În limită, când două cercuri de rază egală se deplasează unul spre celălalt până când centrele coincid, centrul de similitudine extern este la infinit și, prin urmare, poate fi oriunde și, prin urmare, nu există un centru de similitudine extern pentru astfel de cercuri.

Dacă ambele raze sunt zero (două puncte), dar punctele sunt diferite, centrul exterior de similitudine poate fi definit ca punctul de la infinit corespunzător liniei care trece prin linia de centre, dar în acest caz nu există un centru interior.

Puncte omoloage și antiomoloage

În cazul general, raza care emană din centrul de similitudine intersectează fiecare cerc în două locuri. Dintre aceste patru puncte, două sunt omoloage dacă razele trase din ele formează același unghi cu linia de centre, adică. punctele A 1 și A 2 din figura 3. Punctele care se află pe aceeași linie cu centrul de similitudine, dar nu sunt omoloage, sunt numite antiomolog , [1] ca, de exemplu, punctele Q și P′ din figura 4.

Perechi de puncte antiomoloage situate pe un cerc

Dacă două raze din același centru de similitudine intersectează cercuri, orice set de puncte antiomolog se află pe cerc.

Să fie date triunghiuri EQS și EQ′S′ (Figura 4).
Ele sunt similare deoarece au un unghi comun ∠QES=∠Q′ES′ și , deoarece E este centrul asemănării. Din această asemănare rezultă că ∠ESQ=∠ES′Q′=α . Datorită teoremei unghiului înscris , ∠EP′R′=∠ES′Q′ . ∠QSR′=180°-α deoarece acesta este unghiul complementar pentru ∠ESQ . În patrulaterul QSR′P′ ∠QSR′+∠QP′R′=180°-α+α=180° , ceea ce înseamnă că patrulaterul este înscris . Din teorema secantei rezultă că EQ•EP′=ES•ER′.

În același mod se poate arăta că PRS′Q′ poate fi înscris într-un cerc și EP•EQ′=ER•ES′.

Dovada este similară cu demonstrația pentru centrul intern de similitudine I .
PIR~P′IR′ , prin urmare, ∠RPI=∠IP′R′=α . ∠RS′Q′=∠PP′R′=α (teorema unghiului înscris). Segmentul RQ′ este văzut la același unghi față de P și S′, ceea ce înseamnă că R, P, S′ și Q′ se află pe cerc. Apoi din teorema acordurilor care se intersectează IP•IQ′=IR•IS′. În mod similar, se poate demonstra că QSP′R′ poate fi înscris într-un cerc și IQ•IP′=IS•IR′.

Legătura cu axele radicale

Două cercuri au axe radicale , drepte formate din puncte, dintre care segmentele de linie de la punctul la punctul tangent al ambelor cercuri sunt de aceeași lungime. Mai general, orice punct de pe axa radicală are proprietatea că gradele sale în raport cu cercuri sunt egale. Axa radicalilor este întotdeauna perpendiculară pe linia centrelor, iar dacă două cercuri se intersectează, axa lor radicală trece prin punctele de intersecție ale cercurilor. Pentru trei cercuri se pot defini trei axe radicale, pentru fiecare pereche de cercuri ( C 1 / C 2 , C 1 / C 3 și C 2 / C 3 ). Faptul remarcabil este că aceste trei axe radicale se intersectează într-un punct, centrul radicalului . Segmentele tangente trase din centrul radicalului la toate cele trei cercuri vor avea aceeași lungime.

Orice două perechi de puncte antiomolog pot fi folosite pentru a găsi un punct pe axa radicalilor. Să fie trase două raze din centrul exterior de similitudine E ca în Figura 4. Aceste raze intersectează două cercuri date (verde și albastru în Figura 4) la două perechi de puncte antiomolog, Q și P′ pentru primul fascicul și S și R′ pentru al doilea fascicul. Aceste patru puncte se află pe același cerc care intersectează ambele cercuri date. Prin definiție, linia QS este axa radicală pentru noul cerc și cercul verde, în timp ce linia P′R′ este axa radicală pentru noul cerc și cercul albastru. Aceste două drepte se intersectează în punctul G , care este centrul radical al trei cercuri - noul cerc și cele două originale. Astfel, punctul G se află și pe axa radicală a celor două cercuri inițiale.

Cercuri tangente și puncte antiomologii

Pentru orice pereche de puncte antiomolog a două cercuri, există un al treilea cerc care este tangent la cercurile inițiale la punctele antiomolog.
Este adevărat și invers - orice cerc care atinge alte două cercuri le atinge în puncte antiomolog.

Fie că cele două cercuri ale noastre au centrele O 1 și O 2 (Figura 5). Fie E centrul lor exterior de similitudine. Construim o rază arbitrară din punctul E care intersectează două cercuri în punctele P, Q, P′ și Q′ . Să extindem O 1 Q și O 2 P′ până la intersecție (în punctul T 1 ). Este ușor de arătat că triunghiurile O 1 PQ și O 2 P′Q′ sunt similare. Aceste triunghiuri sunt isoscele deoarece O 1 P=O 1 Q ( raza ), deci ∠O 1 PQ=∠O 1 QP=∠O 2 P′Q′=∠O 2 Q′P′=∠T 1 QP′=∠ T 1 P Q . Dar atunci T 1 P′Q va fi și isoscel și se poate construi un cerc centrat pe T 1 și cu raza T 1 P′=T 1 Q . Acest cerc este tangent la cele două cercuri inițiale în punctele Q și P′ .

Afirmația este dovedită în mod similar pentru o altă pereche de puncte antiomoloage ( P și Q′ ), precum și pentru cazul unui centru intern de similitudine.

Dacă construim cercuri tangente pentru fiecare pereche posibilă de puncte antiomoloage, obținem două familii de cercuri - pentru fiecare centru de similitudine. Familia de cercuri pentru centrul exterior de similitudine este astfel încât cercurile acestei familii fie conțin ambele cercuri originale în interiorul lor, fie niciunul (Figura 6). Pe de altă parte, cercurile din familia pentru centrul interior conțin întotdeauna unul dintre cercurile originale (Figura 7).

Toate cercurile din familia cercurilor tangente au un centru radical comun și coincide cu centrul de similitudine.

Pentru a arăta acest lucru, să ne imaginăm două raze din centrul de similitudine care intersectează cercurile date (Figura 8). Există două cercuri tangente T 1 și T 2 care sunt tangente la cercurile originale în puncte antiomolog. După cum am arătat deja, aceste puncte se află pe cercul C și, prin urmare, aceste două raze sunt axele radicale pentru C / T 1 și C / T 2 . Punctul de intersecție al acestor axe radicale trebuie să se afle și pe axa radicală T 1 / T 2 . Acest punct de intersecție este centrul de similitudine E .

Dacă două cercuri tangente se ating în puncte antiomoloage situate pe o linie dreaptă printr-un punct de similaritate, ca în Figura 5, atunci din cauza asemănării . Dar atunci gradele punctului E față de cele două cercuri tangente sunt egale, ceea ce înseamnă că E aparține axei radicalilor.

Centru de asemănare a trei cercuri

Orice pereche de cercuri are două centre de similitudine, deci trei cercuri vor avea șase centre de asemănare, câte două pentru fiecare pereche de cercuri (diferite). Interesant este că toate aceste șase puncte se află pe patru linii, trei puncte pe fiecare linie. Iată o modalitate de a o arăta.

Imaginează-ți trei cercuri pe plan (Figura 9). Să adăugăm pentru fiecare centru al cercurilor un punct pe perpendiculară pe plan, distanțat de centrul original cu o distanță egală cu raza corespunzătoare. Punctele pot fi adăugate din orice parte a avionului. Cele trei puncte obținute definesc planul. În acest plan, vom construi trei linii prin fiecare pereche de puncte. Aceste drepte intersectează planul cercurilor în punctele H AB , H BC și H AC . Deoarece locul punctelor care aparțin ambelor plane neparalele este o linie dreaptă, aceste trei puncte se vor afla pe aceeași linie dreaptă. Din asemănarea triunghiurilor H AB AA′ și H AB BB′ vedem că (aici r A,B sunt raze), și deci H AB este centrul de similitudine al celor două cercuri corespondente. Putem face același lucru pentru H BC și H AC .

Repetând procesul pentru diferite combinații de centre de similitudine (în metoda noastră, acestea sunt determinate de laturile din care selectăm punctele relativ la plan), obținem patru linii - trei centre de similitudine pe fiecare linie (Figura 10).

Există o altă metodă de probă.

Fie C 1 și C 2 o pereche de cercuri conjugate la toate cele trei cercuri originale (Figura 11). Prin conjugație aici înțelegem că cercurile aparțin aceleiași familii pentru unul dintre perechile de cercuri originale. După cum am văzut deja, axa radicală a oricăror două cercuri tangente din aceeași clasă trece prin centrul de similitudine al celor două cercuri originale. Deoarece cercurile tangente sunt comune tuturor celor trei perechi de cercuri originale, centrele lor de similitudine se află pe axele radicale C 1 și C 2 , adică. pe o singură linie dreaptă.

Această proprietate este utilizată în soluția generală a lui Joseph Diaz Gergonne la problema lui Apollonius . Având în vedere trei cercuri, se pot găsi centrele de similitudine și apoi axele radicale ale perechilor de cercuri dorite. Desigur, există infinit de cercuri cu aceleași axe radicale, așa că este nevoie de mai multă muncă pentru a determina exact care pereche de cercuri este soluția.

Vezi și

• Similitudine
• Omotezia
• Axa radicală a două cercuri , Centru radical
• problema lui Apollonius

Note

1. ↑ Weisstein .

Literatură

• Johnson R.A. Geometrie euclidiană avansată: un tratat elementar despre geometria triunghiului și a cercului. — New York: Dover Publications, 1960.
• Paul Kunkel. Problema tangenței lui Apollonius: trei priviri. - 2007. - T. 22 , nr. 1 . — S. 34–46 . - doi : 10.1080/17498430601148911 .
• Eric W. Weisstein. Puncte antiomolog . MathWorld --O resursă web Wolfram. (nedefinit)