Tensor de inerție

Tensorul de inerție - în mecanica unui corp absolut rigid - este o mărime tensorală care leagă momentul unghiular al corpului și energia cinetică a rotației acestuia cu viteza unghiulară :

\ {\vec {L}}=J{\vec {\omega }}

unde este tensorul de inerție, este viteza unghiulară, este momentul unghiular $\J$ $\ {\vec {\omega ))$ ${\vec {L}}$

\ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\ {\vec {\omega }}^{\,T}\cdot J\cdot {\vec {\omega }}

\ E_{{kin}}=E_{{kin\ rot}}+{p^{2} \over 2m}

in componente arata asa:

\ L_{i}=\sum _{j}J_{{ij}}\omega _{j}

\ E_{{kin\ rot}}={1 \over 2}\sum _{{ij}}\omega _{i}J_{{ij}}\omega _{j}

Folosind definiția momentului unghiular al unui sistem de N puncte materiale (renumerotate în formulele de mai jos cu indicele k ):

\ {\vec {L}}=\sum _{k=1}^{N}[\ {\vec {r}}_{k}\times (\ m_{k}\ {\vec { v}}_{k}\ )\ ]

și expresia cinematică a vitezei în termeni de viteză unghiulară:

\ {\vec {v}}=[\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]

și comparând cu formula care exprimă momentul unghiular în termeni de tensor de inerție și viteza unghiulară (prima din acest articol), nu este dificil să se obțină o expresie explicită pentru tensorul de inerție:

\ J_{ij}=\sum _{k}\m_{k}\ (\delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k} })\

sau în formă continuă:

\ J_{ij}=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j})\ dm=\int (\delta _{ij}r^{2} -r_{i}r_{j})\ \rho dV

unde r sunt distanțele de la puncte la centru, în raport cu care se calculează tensorul de inerție, iar r i sunt componentele de coordonate ale segmentelor corespunzătoare, i și j sunt numerele de coordonate (de la 1 la 3), în timp ce indicele k (de la 1 la N) în formula discretă enumerează punctele sistemului sau părțile mici care îl alcătuiesc.

Deja din aceste formule se vede clar că tensorul de inerție al oricărui corp depinde de punctul relativ la care este calculat. De obicei, rolul selectat este jucat de tensorul de inerție relativ la centrul de masă al corpului (atunci p în a treia formulă este doar impulsul corpului). De asemenea, poate fi convenabil să se utilizeze momentul de inerție calculat relativ la un punct fix (fix) al corpului sau un punct situat pe o axă fixă de rotație. Recalcularea tensorului de inerție pentru noul centru, cunoscându-l în raport cu cel vechi, face ușoară implementarea teoremei Steiner (de asemenea, vă permite să faceți acest lucru sub formă de recalculare, de exemplu, formula energiei cinetice, permițând astfel tu să operezi numai cu tensorul de inerție relativ la centrul de masă).

Din aceleași formule se poate observa că acesta este un tensor simetric, adică J ij =J ji .

În formă continuă, formula poate fi derivată după cum urmează:

{\vec {L}}=\int \limits _{(m)}[\ {\vec {r}}\times (\ {\vec {v}}dm\ )\ ]=\rho \ int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]\ ]dV

De unde, conform formulei Lagrange, obținem

{\vec {L}}=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {\omega }}\cdot r^{2}-{\vec {r}}({ \vec {\omega )),\ {\vec {r)))\ ]dV

Scriem descompunerea vectorilor și pe o bază ortonormală: $\ {\vec {v)}$ $\ {\vec {r)}$

\ {\vec {r}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}

\ {\vec {\omega }}=\omega _{x}{\vec {i}}+\omega _{y}{\vec {j}}+\omega _{z}{\vec {k}}

După proprietățile produsului scalar ,

\ ({\vec {\omega )),\ {\vec {r)})=x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z)

Ținând cont de faptul că putem scrie proiecțiile vectorului moment unghiular pe axă: $\ r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x (x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z})\right)dV

Sau, aducând condiții similare

L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy -\omega _{z}xz\right)dV

În mod similar

L_{y}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{y}(x^{2}+z^{2})-\omega _{x}yx -\omega _{z}yz\right)dV

L_{z}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{z}(x^{2}+y^{2})-\omega _{x}zx -\omega _{y}zy\right)dV

Să introducem notația:

J_{xx}=\rho \int \limits _{(V)}(y^{2}+z^{2})dV

J_{yy}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+z^{2})dV

J_{zz}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+y^{2})dV

J_{xy}=J_{yx}=-\rho \int \limits _{(V)}xydV

J_{xz}=J_{zx}=-\rho \int \limits _{(V)}xzdV

J_{yz}=J_{zy}=-\rho \int \limits _{(V)}yzdV

Din ele, putem compune tensorul de inerție sub formă de matrice:

J={\begin{vmatrix}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz }\\\end{vmatrix}}

Este ușor de verificat că, conform notației noastre, conexiunea tensorală este adevărată:

\left\{{\begin{aligned}L_{x}=J_{xx}\omega _{x}+J_{xy}\omega _{y}+J_{xz}\omega _{z} \\L_{y}=J_{yx}\omega _{x}+J_{yy}\omega _{y}+J_{yz}\omega _{z}\\L_{z}=J_{zx} \omega _{x}+J_{zy}\omega _{y}+J_{zz}\omega _{z}\\\end{aligned}}\right.

Ca orice tensor simetric, tensorul de inerție poate fi diagonalizat, adică se pot găsi trei axe de coordonate ortogonale (axele proprii , ale căror orturi sunt vectori proprii și formează baza proprie a tensorului de inerție ) - conectate rigid, desigur, cu un corp rigid - în care matricea tensorului de inerție este diagonală , iar valorile sale proprii (valorile proprii ale tensorului de inerție) determină principalele momente de inerție ale corpului [1] .

Este ușor de observat că momentele principale de inerție coincid cu momentele axiale de inerție în jurul axelor principale:

\ J_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})dm=\int r_{{yz}}^{2}dm

\ J_{{yy}}=\int (x^{2}+z^{2})dm=\int r_{{xz}}^{2}dm

\ J_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})dm=\int r_{{xy}}^{2}dm

(Notă: x, y și z în aceste formule înseamnă exact axele principale, dacă vrem să coincidă cu punctele principale).

Toate formulele din acest articol presupun utilizarea unei baze ortonormale , deci sunt utilizați numai indici tensori inferiori, deoarece în acest caz nu există nicio diferență între indicii superiori și inferiori.
Tensorul de inerție poate fi considerat o generalizare a conceptului de moment de inerție în jurul axei ; conexiunea acestor mărimi - vezi articolul Moment de inerție (acolo valorile proprii ale tensorului de inerție sunt indicate ca ). Când citiți articolul prin referință, ar trebui să aveți în vedere o diferență de notație, astfel încât, în articolul respectiv , nu sunt indicate componentele corespunzătoare ale tensorului de inerție, ci momentele de inerție centrifuge, care coincid în valoare absolută cu componentele corespunzătoare. a tensorului, dar au semnul opus. $J_{X}, J_{Y}, J_{Z)$ $J_{xy}, J_{yz}, J_{zx)$

Alte utilizări ale termenului

Uneori, termenul de tensor de inerție este aplicat structurilor similare din punct de vedere matematic, care nu au o semnificație mecanică directă, de exemplu, dacă ρ în formule nu este densitatea masei, ci densitatea altor mărimi, de exemplu, densitatea statisticilor. distributie ; iar spațiul în care are loc calculul poate fi, în principiu, oricare, deși cazul de aceeași natură a tuturor axelor (adică aceleași unități de măsură de-a lungul acestora) este cel mai semnificativ. Această utilizare a termenului este o analogie geometrică directă, la fel ca și utilizarea unor termeni precum centru de masă sau centru de greutate într-un context similar.

În cazul aplicării termenului de tensor de inerție la densitățile de distribuție, mai ales dacă este considerat relativ la „centrul de greutate”, vorbim în esență de matricea de covarianță , iar problema găsirii vectorilor și valorilor proprii ale acestuia poate, de asemenea, poate fi discutat în termeni de „axe principale” și „momente principale”, ceea ce corespunde nu numai analogiei cu momentul de inerție, ci și terminologiei destul de stricte a momentelor secunde ale unei distribuții multidimensionale (variabilă aleatoare multivariată) în statistică. (atât esența, cât și terminologia de aici pot fi foarte apropiate). În același timp, în cazul bidimensional , tensorul de inerție și matricea de covarianță în axele proprii coincid complet - până la o permutare a axelor , iar în cazurile de dimensiuni mai mari , nu vorbim de coincidență, ci doar despre matrici strâns legate formal și în sens, diagonalizându-se în acest caz pe una și aceeași bază (având aceleași axe proprii).

Vezi și

Note

↑ Shakhoval S. N., Melnikov G. I.// IDENTIFICAREA PARAMETRICĂ A TENSOLOR DE INERTIE AI CORPURILOR PE MIȘCĂRI SFERICE CU ROTARE PROPRIĂ LENTĂ Copie de arhivă din 19 septembrie 2015 la Wayback Machine .- Articolul. - Buletinul științific și tehnic al ITMO. - ianuarie-februarie 2012. - Numărul 1 (77). - UDC 681,5 + 531