Endomorfismul

Endomorfismul este un morfism al unui obiect de categorie în sine; în contextul algebrei universale , este un homomorfism care mapează un sistem algebric în sine.

În orice categorie , compoziția a două endomorfisme este, de asemenea, un endomorfism, compoziția este asociativă și există un endomorfism identic. Rezultă că toate endomorfismele pentru un obiect formează un monoid , care este notat (sau pentru a sublinia categoria ). $X$ $X$ $\operatorname {End}(X)$ $\operatorname {End}_{C}(X)$ $C$

Un endomorfism reversibil (care are proprietățile unui izomorfism ) se numește automorfism . Mulțimea automorfismelor este o submulțime cu o structură de grup naturală și se notează cu . $\operatorname {End}(X)$ $\operatorname {Aut}(X)$

Orice două endomorfisme ale unui grup abelian pot fi adăugate conform regulii . Cu adăugarea definită în acest fel, endomorfismele oricărui grup abelian formează un inel numit inel de endomorfism . De exemplu, endomorfismele unui grup abelian liber sunt inelul tuturor matricelor cu coeficienți întregi. Endomorfismele unui spațiu vectorial sau modul formează, de asemenea, un inel, la fel ca endomorfismele oricărui obiect dintr-o categorie preaditivă . Endomorfismele unui monoid comutativ formează un semi -inel , în timp ce endomorfismele unui grup necomutativ formează o structură cunoscută ca un inel apropiat . $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$ ${\mathbb Z}^{n}$ $n\ ori n$

Literatură

Nathan Jacobson . Algebră de bază (nedefinită) . — al 2-lea. - Dover, 2009. - Vol. 1. - ISBN 978-0-486-47189-1 .
McLane S. Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .