Distribuție Pareto eficientă fără invidie

Eficiența și echitatea sunt cele două obiective principale ale economiei bunăstării . Având în vedere un set de resurse și un set de agenți, scopul este alocarea resurselor între agenți în așa fel încât să fie Pareto eficient ( PE) și fără invidie ( EF ) . Scopul a fost identificat pentru prima dată de David Schmeidler și Menahem Yaari [1] . Ulterior, existența unor astfel de distribuții a fost dovedită pentru diferite condiții.

Existența distribuției STEP

Vom presupune că fiecare agent are o relație de preferință pe setul tuturor seturi de produse. Preferințele sunt complete, tranzitive și închise. În mod echivalent, fiecare relație de preferință poate fi reprezentată printr-o funcție de utilitate continuă [2] .

Preferințe slab convexe

Teorema 1 (Variană) [3] : Dacă preferințele tuturor agenților sunt convexe și strict monotone , atunci există o distribuție fără invidie (distribuție EPBZ) eficientă Pareto.

Dovada : Dovada se bazează pe existența unui echilibru competitiv cu venituri egale. Să presupunem că toate resursele din economie sunt împărțite în mod egal între agenți. Adică, dacă fondul total al economiei este egal cu , fiecare agent primește un fond inițial de . $E$ $i\în 1,\dots ,n:$ $E_{i}=E/n$

Deoarece preferințele sunt convexe , din modelul Arrow-Debreu rezultă că există un echilibru competitiv. Adică, există un vector de preț și o partiție a mulțimii , pentru care $P$ $X$

(CE) Toți agenții maximizează utilitatea conform bugetului. Adică dacă , atunci . $P\cdot Y\leqslant P\cdot X_{i)$ $Y\preceq _{i}X_{i)$
(EI) Toți agenții au același venit la prețuri de echilibru: pentru toți . $i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j)$

Cu o astfel de distribuție, întotdeauna nu există invidie. Dovada: prin condiție (EI) pentru orice . Prin urmare, prin condiție (CE) . $i,j:P\cdot X_{j}\leqslant P\cdot X_{i)$ $X_{j}\preceq _{i}X_{i)$

Deoarece preferințele sunt monotone , orice astfel de distribuție este și Pareto eficientă, deoarece monotonitatea implică nesaturare locală . Vezi Teoreme fundamentale ale economiei bunăstării .

Exemple

Toate exemplele folosesc două bunuri , x și y, și doi agenți, Alice și Bob . În toate exemplele, utilitățile sunt slab convexe și continue.

A. Multe alocări EHP: Fondul total este (4,4). Alice și Bob au funcții de utilitate liniare reprezentate prin înlocuitori :

u_{A}(x,y)=2x+y

u_{B}(x,y)=x+2y

Rețineți că utilitățile sunt slab convexe și strict monotone. Există mai multe distribuții ESTP. Dacă Alice primește cel puțin 3 unități de produs x, atunci utilitatea ei este 6 și nu este geloasă pe Bob. În mod similar, dacă Bob primește cel puțin 3 unități de produs y, el nu este gelos pe Alice. Astfel, distribuția [(3,0);(1,4)] este un EFSP cu utilități (6,9). De asemenea, distribuțiile [(4,0);(0,4)] și [(4,0.5);(0,3.5)] sunt EFFI. Pe de altă parte, distribuția [(0,0);(4,4)] este Pareto eficientă, dar invidia este prezentă (Alice este geloasă pe Bob). Cu distribuția [(2,2);(2,2)], nu există invidie, dar nu este Pareto eficientă (utilitățile sunt egale cu (6,6), dar pot fi îmbunătățite, de exemplu, la ( 8,8)).

B. În esență, o singură alocare STEP: Fondurile totale sunt egale cu (4.2). Alice și Bob au funcții de utilitate Leontief reprezentând bunuri complementare :

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

Rețineți că utilitățile sunt slab convexe și doar puțin monotone. Există încă o distribuție STEP. Aceeași distribuție [(2,1);(2,1)] este EVAP cu vectorul de utilitate (1,1). Absența invidiei este evidentă (orice distribuție identică duce la absența invidiei). În ceea ce privește eficiența Pareto, rețineți că ambii agenți își doresc doar y, deci singura modalitate prin care un agent poate obține utilitate este să ia ceva de la celălalt agent, dar acest lucru va reduce utilitatea pentru celălalt agent. Deși există și alte distribuții EOPS, cum ar fi [(1.5,1);(2.5,1)], toate au același vector de utilitate (1,1), deci nu există nicio modalitate ca ambii agenți să obțină mai mult de 1 [ 4] .

Condiții topologice asupra spațiului distribuțiilor efective

Distribuțiile EPBZ există chiar dacă preferințele agenților nu sunt convexe. Există câteva condiții suficiente legate de forma setului de distribuții corespunzătoare unor configurații de utilitate particulare. Având în vedere un vector de utilități u, definiți A(u) = mulțimea tuturor alocărilor pentru care utilitățile sunt egale cu u. Mai jos sunt câteva teoreme propuse de diferiți autori:

Teorema 2 (Variană) [5] : Să presupunem că toate preferințele tuturor agenților sunt strict monotone . Dacă, pentru orice configurație de utilitate slab eficientă Pareto u, mulțimea A(u) este singleton (adică nu există două distribuții slab Pareto eficiente astfel încât toți agenții să nu facă distincție între ele), atunci există o distribuție EPBZ.

Dovada folosește lema Knaster-Kuravtosky-Mazurkiewicz .

Notă : Condițiile din teorema 1 și teorema 2 sunt independente - niciuna dintre ele nu rezultă din cealaltă. Cu toate acestea, ambele decurg din stricta convexitate a preferințelor . Este evident că convexitatea slabă decurge din convexitatea strictă (Teorema 1). Pentru a vedea că din aceasta rezultă condiția teoremei 2, să presupunem că există două distribuții diferite x și y cu aceeași configurație de utilitate u. Să definim z = x/2+y/2. Prin convexitate strictă, toți agenții preferă mult z față de x și y. Prin urmare, x și y nu pot fi slab eficiente Pareto.

Teorema 3 (Svensson) [6] : Dacă preferințele tuturor agenților sunt strict monotone și pentru orice utilități Pareto-eficiente u mulțimea A(u) este convexă, atunci există o distribuție EPBZ.

Demonstrarea folosește teorema punctului fix a lui Kakutani .

Notă : Dacă preferințele tuturor agenților sunt convexe (ca în teorema 1), atunci A(u) va fi de asemenea convex. Mai mult, dacă A(u) constă dintr-un element (ca în teorema 2), atunci este evident și convex. Prin urmare, teorema lui Svensson este mai generală decât ambele teoreme ale lui Varian.

Teorema 4 (Diamantaras) [7] : Dacă preferințele tuturor agenților sunt strict monotone și pentru orice vector de utilitate Pareto-eficient u mulțimea A(u) este contractabilă (poate fi contractată continuu la un punct), atunci există o distribuție EPBZ .

Demonstrarea folosește teorema punctului fix a lui Eilenberg și Montgomery [8] .

Notă: Orice mulțime convexă este contractabilă, deci teorema lui Diamantaras este mai generală decât cele trei anterioare.

Sigma-optimalitate

Svensson a dovedit o altă condiție suficientă pentru existența distribuțiilor EPBZ. Să fie din nou reprezentate toate preferințele prin funcții de utilitate continue. Mai mult, toate functiile utilitare sunt continuu diferentiabile in interiorul spatiului de consum.

Conceptul principal este sigma-optimality . Să presupunem că creăm pentru fiecare agent k copii cu aceleași preferințe. Fie X distribuția în economia originală. Fie Xk o distribuție în a-a copie, în care toate copiile aceluiași agent primesc același set de beneficii ca și agentul original X. Distribuția lui X se numește sigma-optimă dacă pentru fiecare k distribuția lui Xk este Pareto optimă.

Lema [9] : O distribuție este sigma-optimă dacă și numai dacă este echilibrată în competiție .

Teorema 5 (Svensson) [10] : Dacă toate distribuțiile Pareto-optime sunt optime sigma, atunci există distribuții EPBZ.

Creșterea veniturilor suplimentare

Distribuțiile STEP pot să nu existe chiar dacă toate preferințele sunt convexe dacă există producție și tehnologia are venituri incrementale în creștere.

Propunerea 6 (Vohra) [11] : Există economii în care toate preferințele sunt continue, strict monotone și convexe, singura sursă de neconvexitate în tehnologie sunt prețurile fixe și nu există o distribuție STEP pentru ele.

Astfel, prezența veniturilor suplimentare în creștere reprezintă un conflict fundamental între eficiență și absența invidiei.

Cu toate acestea, absența invidiei poate fi slăbită în felul următor. O alocare X este definită ca fiind esențial fără invidie ( EEF ) dacă, pentru orice agent i , există o alocare fezabilă Yi cu aceleași utilități (toți agenții nu văd nicio diferență între X și Yi) în care agentul i nu invidiază pe nimeni. Este evident că orice distribuție fără invidie este PBZ, deoarece putem lua X ca Yi pentru orice agent i.

Teorema 7 (Vohra) [11] : Să presupunem că toate preferințele agenților sunt strict monotone și sunt reprezentate de funcții de utilitate continue. Apoi există o distribuție Pareto eficientă, în cea mai mare parte fără invidie.

Inexistența distribuțiilor EPBZ

Preferințe neconvexe

Distribuțiile EPBZ pot să nu existe chiar și fără producție dacă preferințele nu sunt convexe.

Ca exemplu, să presupunem că fondul total este (4,2), Alice și Bob având aceleași funcții de utilitate concave:

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

Cu aceeași distribuție [(2,1);(2,1)] nu există invidie, iar vectorul de utilitate este egal cu (2,2). Mai mult, orice alocare fără invidie trebuie să ofere ambilor agenți aceeași utilitate (deoarece au aceeași funcție de utilitate) și aceste utilități nu ar trebui să depășească 2. Totuși, nicio astfel de alocare nu este Pareto eficientă, deoarece este Pareto dominată de distribuția [( 4). ,0);(0,2)], vectorul de utilitate pentru care este egal cu (4,2).

Nu există distribuție, chiar dacă reducem lipsa invidiei la absența dominației — niciun agent nu primește mai mult din fiecare bun decât celălalt agent.

Propunerea 8 (Manichet) [12] : Există economii cu 2 produse și 3 agenți cu funcții de utilitate strict monotone, continue și chiar diferențiabile în care există o dominație a oricărei distribuții Pareto eficiente.

Găsirea distribuției EPBZ

Pentru doi agenți, procedura „ tuning winner ” este o procedură simplă care găsește o distribuție EPBZ cu două proprietăți suplimentare - este, de asemenea, imparțială și cel mult o resursă este partajată de doi agenți.

Pentru trei sau mai mulți agenți cu funcții de utilitate liniare, orice distribuție optimă Nash este o EPBZ. Distribuția optimă Nash este distribuția care maximizează produsul utilităților agenților sau, echivalent, suma logaritmilor utilităților. Găsirea unor astfel de distribuții este o problemă de optimizare convexă

${\text{maximizare}}\sum _{i=1}^{n}\log(u_{i}(X_{i}))~~~$ , dacă este o distribuție, $(X_{1},\ldots, X_{n})$

și prin urmare poate fi găsit eficient. Faptul că orice distribuție optimă Nash este o EPBZ este adevărat chiar și în condițiile mai generale ale unei tăieturi corecte de tort [13] .

Dovada : Luați în considerare o bucată infinitezimală de tort Z. Pentru fiecare agent i , contribuția infinitezimală a lui Z la este $\log(u_{i}(X_{i}))$

$u_{i}(Z)\cdot {d\log(u_{i}(X_{i})) \over d(u_{i}(X_{i}))}={u_{i} (Z) \over u_{i}(X_{i})}$ .

Astfel, regula optimității Nash dă fiecare astfel de bucată de Z agentului j pentru care această expresie este cea mai mare:

$\forall j\in [n]:Z\subseteq X_{j}\iff \forall i\in [n]:{u_{j}(Z) \over u_{j}(X_{j}) }\geqslant {u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}$

Însumarea tuturor submulților infinitezimale ale mulțimii X j ne dă

$\forall i,j\in [n]:{u_{j}(X_{j}) \over u_{j}(X_{j})}\geqslant {u_{i}(X_{j} ) \over u_{i}(X_{i})}$

De aici rezultă definiția unei distribuții fără invidie:

$\forall i,j\in [n]:{u_{i}(X_{i})}\geqslant {u_{i}(X_{j))))$

Vezi și

Teorema lui Weller privind existența unei distribuții Pareto fără invidie (distribuție EPBZ) pentru tăierea turtei.
Alte teoreme înrudite ale lui Hal Varian pot fi găsite în articolul lui Varian [14] .
Teoremele privind EFSP distribuțional într-o economie cu producție pot fi găsite în lucrarea lui Piketty [15] .

Note

↑ Schmeidler, Yaari, 1971 .
↑ Varian, 1974 , p. 79.
↑ Varian, 1974 , p. 68.
↑ Rețineți că o economie similară a apărut în lucrarea din 1974 ca exemplu în care distribuția STEP nu există. Poate că a fost doar o greșeală de tipar - în loc de „min” ar fi trebuit să fie „max”, ca în exemplul C de mai jos. Vedeți firul de schimb de stive economice
↑ Varian, 1974 , p. 69.
↑ Svensson, 1983 , p. 301–308.
↑ Diamantaras, 1992 , p. 141–157.
↑ Eilenberg, Montgomery, 1946 , p. 214–222.
↑ Svensson, 1994 , p. 528.
↑ Svensson, 1994 , p. 531.
↑ 1 2 Vohra, 1992 , p. 185–202.
↑ Maniquet, 1999 , p. 467–474.
↑ Segal-Halevi, Sziklai, 2018 .
↑ Varian, 1976 , p. 249–260.
↑ Piketty, 1994 , p. 391–405.

Literatură

David Schmeidler, Menahem Yaari. alocări echitabile. — 1971. Articol nepublicat, prezentare orală - CORE (1969), Stanford, 1970
Hal Varian. Echitate, invidie și eficiență // Journal of Economic Theory. - 1974. - T. 9 . - doi : 10.1016/0022-0531(74)90075-1 .
Lars-Gunnar Svensson. Despre existența alocărilor echitabile (engleză) // Zeitschrift für Nationalökonomie. - 1983. - Septembrie ( vol. 43 , is. 3 ). - P. 301-308. — ISSN 0044-3158 . - doi : 10.1007/BF01283577 .
Dimitrios Diamantaras. Despre echitatea cu bunurile publice // Alegerea socială și bunăstarea. - 1992. - Iunie ( vol. 9 , numărul 2 ). — ISSN 0176-1714 . - doi : 10.1007/BF00187239 .
Rajiv Vohra. Echitate și eficiență în economiile neconvexe // Alegerea socială și bunăstarea. - 1992. - iulie ( vol. 9 , numărul 3 ). — S. 185–202 . — ISSN 0176-1714 . - doi : 10.1007/BF00192877 .

Samuel Eilenberg, Deane Montgomery. Teoreme cu punct fix pentru transformări cu valori multiple // American Journal of Mathematics. - 1946. - T. 68 , nr. 2 . - doi : 10.2307/2371832 . — .
Lars-Gunnar Svensson. σ-Optimitate și corectitudine // International Economic Review. - 1994. - T. 35 , nr. 2 . - doi : 10.2307/2527068 . — .
Francois Maniquet. O puternică incompatibilitate între eficiență și echitate în economiile neconvexe // Journal of Mathematical Economics. - 1999. - Decembrie ( vol. 32 , numărul 4 ). — ISSN 0304-4068 . - doi : 10.1016/S0304-4068(98)00067-6 .
Erel Segal-Halevi, Balazs R. Sziklai. Monotonitate și echilibru competitiv în tăierea prăjiturii // Teoria economică. - 2018. - Mai. — ISSN 1432-0479 . - doi : 10.1007/s00199-018-1128-6 . - arXiv : 1510.05229 .
Hal R Varian. Două probleme în teoria echității // Journal of Public Economics. - 1976. - V. 5 , nr. 3–4 . - doi : 10.1016/0047-2727(76)90018-9 .
Thomas Piketty. Existența unor alocări echitabile în economiile cu producție // Journal of Public Economics. - 1994. - Noiembrie ( vol. 55 , numărul 3 ). — ISSN 0047-2727 . - doi : 10.1016/0047-2727(93)01406-Z .