Celulele Benard

Celulele Benard sau Rayleigh-Benard - apariția ordinii sub formă de celule convective sub formă de arbori cilindric sau structuri hexagonale regulate într-un strat de lichid vâscos cu un gradient de temperatură vertical , adică încălzit uniform de jos.

Celulele Benard pot explica originea formațiunilor vulcanice sub forma unui fascicul de coloane verticale - cum ar fi monumentele naturale „ Turnul Diavolului ” (SUA) și „ Podul Giganților ” (Irlanda de Nord).

Parametrul de control al auto-organizării este gradientul de temperatură. Ca urmare a încălzirii, difuzia începe în stratul lichid inițial omogen datorită neomogenității densității rezultate. La depășirea unei anumite valori critice a gradientului, difuzia nu are timp să conducă la o distribuție uniformă a temperaturii pe volum. Apar arbori cilindrici care se rotesc unul spre celălalt (ca roți dințate cuplate) [1] . Pe măsură ce gradientul de temperatură crește, are loc o a doua tranziție critică. Pentru a accelera difuzia, fiecare rolă se împarte în două role mai mici. Odată cu o creștere suplimentară a parametrului de control, rulourile se rup și în limită apare haosul turbulent , ceea ce se vede clar în diagrama de bifurcație sau arborele Feigenbaum .

Într-un strat subțire , la încălzirea de jos, se formează celule de formă hexagonală regulată, în interiorul cărora lichidul urcă în centru și coboară de-a lungul marginilor celulei [2] . Un astfel de experiment a fost primul din punct de vedere istoric, dar aici, de fapt, se observă convecția Marangoni , care are loc datorită acțiunii forțelor de tensiune superficială și dependenței acestora de temperatura lichidului.

Rezolvarea analitică a problemei (problema Rayleigh)

Important în problema convecției într-un strat plat este faptul că pentru a o scrie în aproximarea Boussinesq , este posibil să se obțină o soluție analitică exactă a ecuațiilor hidrodinamicii. Adevărat, o soluție exactă simplă poate fi găsită doar într-un cadru abstract cu două limite libere de straturi nedeformabile (atât deasupra, cât și dedesubt), versiuni mai realiste ale unor astfel de soluții nu au (dar metodele analitice aproximative funcționează bine pentru ele, de exemplu , metoda Galerkin ).

Prezentăm aici soluția problemei [3] [4] . Să presupunem că axa z este îndreptată în sus, perpendiculară pe strat, iar axele x și y sunt paralele cu granița. Este convenabil să alegeți originea coordonatelor pe limita inferioară a stratului. Ecuații inițiale de convecție :

${\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec v}\cdot \nabla ){\vec v}=-{\frac {1}{\rho _{ 0}}}\nabla p+\nu \Delta {\vec v}-\beta T{\vec g},$

${\frac {\partial T}{\partial t))+{\vec v}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,$

$\operatorname {div}{\vec v}=0.$

Forma adimensională a ecuațiilor de convecție pentru mici perturbații de echilibru, presupunând o creștere exponențială a perturbațiilor în timp (așa-numitele perturbații „normale” ) - : ${\vec v},\theta \sim e^{{\lambda t))$

${\frac {\lambda }{Pr)){\vec v}=-\nabla p+\Delta {\vec v}+Ra\theta {\vec e}_{z},$

$\lambda \theta =\Delta \theta +{\vec v}\cdot {\vec e}_{z},$

$\operatorname {div}{\vec v}=0,$

unde este vectorul unitar al axei z, sunt numărul Prandtl și , respectiv , numărul Rayleigh și este incrementul (rata de creștere) a perturbațiilor. După nedimensionalizare, variabila z se modifică de la 0 la 1. T. n. Perturbațiile „normale” sunt soluții particulare ale unui sistem liniar de ecuații diferențiale și, prin urmare, sunt utilizate pe scară largă în studiul problemelor din diferite domenii. ${\vec e}_{z}$ $Pr, Ra$ $\lambda$

Condițiile la limită sunt stabilite în ipoteza că ambele limite sunt nedeformabile, dar libere și nu există solicitări de forfecare în fluid. Condiții la frontieră:

${\vec v}\cdot {\vec e}_{z}=0$ , este nedeformabilitatea limitelor.

$\sigma _{{xz}}=\sigma _{{yz}}=0$ , este absența tensiunilor de forfecare. Deoarece credem că lucrăm cu un fluid pentru care ecuația Navier-Stokes este valabilă , putem scrie în mod explicit forma tensorului tensiunii vâscoase și putem obține condiții la limită pentru componentele vitezei.

$\sigma _{{ij}}=\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_ {i}}}\dreapta)$ - Legea lui Navier ,

Luând notația pentru componentele vitezei: , rescriem condiția la limită pentru tensiunile tăietoare în termeni de viteză: ${\vec v}=\left\{u,v,w\right\}$

${\frac {\partial u}{\partial z}}=0,$

${\frac {\partial v}{\partial z}}=0$ .

Pentru perturbații de temperatură la limită, se ia o valoare zero. Ca urmare, sistemul de condiții la limită al problemei este următorul:

$z=0,1:$

$w=0;{\frac {\partial u}{\partial z))={\frac {\partial v}{\partial z))=0;\theta =0$

Acum, presupunând că perturbațiile sunt normale în spațiu — (aici — vectorul de undă al perturbației paralel cu planul ) și înlocuind operatorii de diferențiere — , putem rescrie sistemul de ecuații de convecție sub forma unui sistem de EDO : ${\vec v},p,\theta \sim e^{{\lambda t}}e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}$ ${\vec k}$ $X y$ $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-k^{2},\nabla =\left\{i{\vec k};{\frac {\ parțial }{\partial z}}\right\}$

${\frac {\lambda }{Pr)){\vec v}=-\nabla p+\Delta {\vec v}+Ra\theta {\vec e}_{z},$

$\lambda \theta =\Delta \theta +w,$

$\operatorname {div}{\vec v}=0.$

Luând rotorul dublu din prima ecuație și proiectându-l pe axa z, obținem sistemul final de ecuații pentru perturbații:

${\frac {\lambda }{Pr))\Delta w=\Delta ^{2}w+k^{2}Ra\theta ,$

$\lambda \theta =\Delta \theta +w.$

Pe baza condițiilor la limită, precum și a faptului că toate derivatele din sistem sunt de ordine uniformă, este convenabil să se reprezinte soluția sub formă de funcții trigonometrice:

$w=a\sin n\pi z,$

$\theta=b\sin n\pi z,$

unde n este un număr întreg. Soluția sub formă de sinus satisface toate condițiile la limită simultan.

Mai mult, notând și substituind forma așteptată a soluției în ecuații, obținem un sistem algebric liniar omogen pentru a, b. Dependența poate fi exprimată din determinantul său : $D=n^{2}\pi ^{2}+k^{2}$ $Ra(\lambda )$

$Ra(\lambda )={\frac {1}{Prk^{2}}}\left(D\lambda ^{2}+D^{2}(1+Pr)\lambda +PrD^{3}\ dreapta)$

Presupunând aici — limita stabilității monotone, necreșterea perturbațiilor normale — obținem o formulă pentru determinarea numărului critic Rayleigh al n-lea mod de perturbare: $\lambda=0$

$Ra^{*}={\frac {(k^{2}+n^{2}\pi ^{2})^{3}}{k^{2}}}.$

Cel mai mic număr Rayleigh se obține la . Dependența minimă, după cum puteți vedea cu ușurință, cade pe , iar numărul minim Rayleigh în sine este egal cu . În conformitate cu numărul de undă critic, structurile apar în strat sub formă de role de lățime (în unități adimensionale). $n=1$ $k={\frac {\pi }{{\sqrt {2))))$ $Ra^{*}={\frac {27}{4}}\pi ^{4}\aproximativ 657$ ${\sqrt {2}}$

Pentru probleme cu alte variante de granițe, numărul critic Rayleigh se dovedește a fi mai mare. De exemplu, pentru un strat cu două limite solide este 1708 [5] , pentru un strat cu limite superioare solide și inferioare libere este 1156, iar numerele de unde critice se modifică și ele. Cu toate acestea, imaginea rolelor convective nu se schimbă calitativ.

Vezi și

Note

↑ Van Dyke M. Albumul fluxurilor de lichid și gaz, M .: Mir, 1986 - p. 84, fig. 139-140
↑ Van Dyke M. Albumul fluxurilor de lichid și gaz, M .: Mir, 1986 - p. 85, fig. 140-141
↑ Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M. Stabilitatea convectivă a unui fluid incompresibil. // M.: Nauka, 1972 - § 5
↑ Frick P. G. Turbulență: metode și abordări. Curs de prelegeri, partea 1 // Perm: Perm State. tehnologie. un-t., 1998 - p. 33-37
↑ Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M., ibid., § 6

Literatură

LEScriven & CVSternling „Efecte Marangoni”

Celulele Benard

Rezolvarea analitică a problemei (problema Rayleigh)

Vezi și

Note

Literatură

Link -uri