K(G,n) spațiu

$K(G,n)$ spațiile (sau spațiile Eilenberg-MacLane) sunt spații topologice cu un grup de homotopie unic non-trivial în dimensiune . $G$ $n$

Numit după Samuel Eilenberg și Saunders McLane , care au considerat aceste spații la sfârșitul anilor 1940.

Definiție

Fie un grup și un număr întreg pozitiv. Un spațiu topologic conectat la cale se numește spațiu dacă are un --lea grup de homotopie izomorf la , iar toate celelalte grupuri de homotopie sunt triviale. $G$ $n$ $X$ $K(G,n)$ $n$ $\pi _{n}(X)$ $G$ $X$

Dacă , atunci trebuie să presupunem că este comutativă. $n>1$ $G$

Existenta si unicitatea

Dat și , un spațiu exemplu poate fi construit în etape, ca un complex CW , începând cu o grămadă de sfere dimensionale , câte una pentru fiecare generator al grupului , și apoi adăugând celule (posibil un număr infinit) de dimensiuni mai mari pentru a ucide toate grupurile de homotopie inutile, începând cu dimensiunea . $G$ $n$ $K(G,n)$ $n$ $G$ $n+1$

Exemple

Cercul este spațiu. $\mathbb {S} ^{1}$ $K(\mathbb {Z} ,1)$

Un spațiu proiectiv real cu dimensiuni infinite este un spațiu. $\mathbb {RP} ^{\infty }$ $K(\mathbb {Z} _{2},1)$

Suma unui buchet de k cercuri este pentru un grup liber cu k generatoare. $\textstyle \bigvee _{i=1}^{k}\mathbb {S} ^{1)$ $K(G,1)$ $G$

Complementul oricărui nod dintr-o sferă tridimensională este un spațiu; aceasta rezultă din asfericitatea nodurilor - teorema lui Christos Papakiriakopoulos demonstrată de el în 1957. $\mathbb {S} ^{3}$ $K(G,1)$

Orice varietate compactă conectată M de curbură secțională nepozitivă este , unde este grupul fundamental al lui M. $K(\Gamma ,1)$ $\Gamma =\pi _{1}(M)$
- Același lucru este valabil și pentru spațiile CAT(0) local .

Un spațiu proiectiv complex cu dimensiuni infinite este un spațiu. Inelul său de coomologie este un inel liber de polinoame cu un generator în dimensiunea 2. Acest generator poate fi reprezentat în coomologia de Rham prin forma 2 Fubini-Study . $\mathbb {CP} ^{\infty }$ $K(\mathbb {Z} ,2)$ $\mathbb {Z} [x]$ $X$

Proprietăți

$K(G,n)$ spațiul este unic până la o echivalență slabă de homotopie .

Produsul și spații este un spațiu. $K(G,n)$ $K(H,n)$ $K(G\times H,n)$

Să presupunem că este un spațiu și este un complex CW arbitrar. Apoi, pentru setul de clase de cartografiere homotopie, există o bijecție naturală cu grup de coomologie . Această afirmație este analogă cu lema lui Yoneda în teoria categoriilor . $X$ $K(G,n)$ $K$ $K\la X$ $H^{n}(K,G)$

Spațiul buclelor spațiului spațiului este spațiul. $K(G,n)$ $K(G,n-1)$

Vezi și

Un spațiu asferic este un spațiu K(G,1).
Sfera omologică

Literatură

Fuchs D. B., Fomenko A. T., Gutenmakher V. L. Topologie de homotopie. - M. : MGU, 1969.

Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1945), Relations between homology and homotopy groups of spaces , Annals of Mathematics , (Seria a doua) vol. 46 (3): 480–509 , DOI 10.2307/1969165

Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1950), Relații între omologie și grupurile de homotopie ale spațiilor. II , Analele matematicii , (Seria a doua) vol. 51 (3): 514–533 , DOI 10.2307/1969365

Morita, Kiiti. Coomologie Čech și dimensiunea de acoperire pentru spații topologice (engleză) // Fundamenta Mathematicae : journal. - 1975. - Vol. 87 . - P. 31-52 . - doi : 10.4064/fm-87-1-31-52 .

Papakyriakopoulos, CD Despre lema lui Dehn și asfericitatea nodurilor (engleză) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. - 1957. - Vol. 43 , nr. 1 . - P. 169-172 . - doi : 10.1073/pnas.43.1.169 . — PMID 16589993 .

Papakyriakopoulos, CD Despre lema lui Dehn și asfericitatea nodurilor (engleză) // Ann. Matematică. : jurnal. - 1957. - Vol. 66 , nr. 1 . - P. 1-26 . - doi : 10.2307/1970113 .