Invariant adiabatic

Un invariant adiabatic este o mărime fizică care nu se modifică cu o modificare lină a unor parametri ai unui sistem fizic , astfel încât timpul caracteristic acestei modificări este mult mai mare decât timpul caracteristic al proceselor care au loc în sistemul însuși [1] .

Originea termenului

Procesul adiabatic a însemnat inițial un proces fără schimb de căldură cu mediul. Numele a apărut de la termenul „cochilie adiabatică” ( altă greacă ἀδιάβατος – „impenetrabil”) – o coajă care nu permite căldurii să treacă.

Dar la mijlocul secolului al XX-lea, unii oameni de știință (în special, L. D. Landau ) au început să numească acest proces un proces care trece practic prin stări de echilibru, adică destul de încet și fără probleme. Acum un astfel de proces se numește cvasi-static sau echilibru. Din punct de vedere istoric, denumirea de „invariant adiabatic” a apărut prin analogie cu un astfel de proces termodinamic.

În prezent, cuvântul „adiabatic” este din nou folosit în sensul său original („proces fără schimb de căldură cu mediul”), dar termenul „invariant adiabatic” a devenit deja stabilit.

Mecanica clasică

Într -un sistem mecanic clasic care realizează mișcare periodică cu o perioadă și depinde de parametru , adiabaticitatea modificării parametrului este determinată de condiția $T$ $\lambda$

T{\frac {d\lambda {dt}}\ll \lambda

Funcția Hamilton a sistemului depinde de variabilele sale interne și de parametru

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t,\lambda )

Variabile interne și se modifică rapid în timp, cu o perioadă de . Dar energia sistemului este integrala de mișcare cu parametrul constant . Când parametrul se modifică în timp $q$ $p$ $T$ $E$ $\lambda$

{\frac {dE}{dt)}={\frac {\partial {\mathcal {H)}}{\partial \lambda }} {\frac {d\lambda {dt}}

Când această expresie este mediată în timp pe o perioadă, putem presupune că parametrul este neschimbat. $\lambda$

{\overline {\frac {dE}{dt)}} = {\frac {d\lambda {dt}} {\overline {\frac {\partial {\mathcal {H}}} {\partial \lambda }}}

unde media este definită ca

{\overline {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda })}={\frac {1}{T)}\int \limits _{0}^{T }{\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda ))\,dt

Este convenabil să treceți de la integrarea în timp la integrarea unei variabile : $q$

dt={\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}

În acest caz, perioada este $T$

T=\oint {\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p))

unde integrarea se realizează înainte și înapoi în cadrul schimbării coordonatei în timpul perioadei de mișcare.

Scriind impulsul în funcție de energie , coordonate și parametru, după unele transformări se pot obține $E$ $q$

\oint \left({\frac {\partial p}{\partial E)}{\overline {\frac {\partial E}{\partial t)}}+{\frac {\partial p} \partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}\right)\,dq=0

În sfârșit, poți scrie

{\overline {\frac {dI}{dt)}}=0

unde valoarea

I={\frac {1}{2\pi }}\oint p\,dq

și va fi un invariant adiabatic.

Integrala inclusă în expresia rezultată capătă un sens geometric simplu dacă ne întoarcem la conceptul de spațiu de fază și traiectoria de fază a sistemului din acesta. În cazul în cauză, sistemul are un grad de libertate , deci spațiul de fază este un plan de fază format dintr-un set de puncte cu coordonatele și . Deoarece sistemul efectuează mișcare periodică , traiectoria sa de fază [2] este o curbă închisă pe acest plan, respectiv, integrala este luată de-a lungul acestei curbe închise. Ca rezultat, rezultă că integrala este egală cu aria figurii delimitată de traiectoria de fază a sistemului. $p$ $q$ $\oint p\,dq$

Aria poate fi exprimată și ca o integrală bidimensională, apoi pentru invariantul adiabatic,

I={\frac {1}{2\pi }}\int dp\,dq

Exemplu. Oscilator armonic

Luați în considerare, ca exemplu, un oscilator armonic unidimensional . Funcția Hamilton a unui astfel de oscilator are forma

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}

unde este frecvența naturală (ciclică) a oscilatorului. Ecuația traiectoriei fazei în acest caz este determinată de legea conservării energiei și, prin urmare, are forma $\omega$ $H(p,q)=E$

{\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}=E

Din ecuație se poate observa că traiectoria este o elipsă cu semiaxe și , în consecință, aria sa, împărțită la , este egală cu . Astfel, mărimea este un invariant adiabatic pentru un oscilator armonic. Rezultă că în cazurile în care parametrii oscilatorului se modifică lent, energia acestuia se modifică proporțional cu frecvența. ${\sqrt {2mE}}$ ${\sqrt {2E/m\omega ^{2}})$ $2\pi$ ${\frac {E}{\omega ))$ $I={\frac {E}{\omega ))$

Proprietăți ale invariantului adiabatic

Derivata energetică a invariantului adiabatic este egală cu perioada împărțită la . $2\pi$

2\pi {\frac {\partial I}{\partial E}}=T

{\frac {\partial E}{\partial I}}=\omega

unde este frecvența ciclică. $\omega$

Cu ajutorul transformărilor canonice , se poate face un invariant adiabatic al unei noi variabile, care se numește variabilă de acțiune. În noul sistem de variabile, acesta joacă rolul de impuls . Variabila conjugată canonic cu aceasta se numește variabilă unghiulară .

Note

↑ Dykhne A. M. Invarianți adiabatici // Enciclopedia fizică / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1988. - T. 1. Efectul Aharonov-Bohm - Rânduri lungi. - S. 26. - 704 p. — 100.000 de exemplare.
↑ Traiectoria fazei - un set de puncte cu coordonate egale cu valorile care preiau valorile și în procesul de mișcare a sistemului. $p$ $q$

Literatură

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mecanica. - Ediția a IV-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988 . - S. 199-202. — 215 p. — („Fizica teoretică”, volumul I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Prelegeri Kotelnikov IA despre fizica plasmei. Volumul 1: Fundamentele Fizicii Plasmei. - Ed. a 3-a. - Sankt Petersburg. : Lan , 2021. - 400 p. - ISBN 978-5-8114-6958-1 .