Algebră peste inel

O algebră peste un inel este un sistem algebric care este atât un modul peste acest inel, cât și inelul însuși, iar aceste două structuri sunt interconectate. Conceptul de algebră peste un inel este o generalizare a conceptului de algebră peste un câmp , la fel cum conceptul de modul generalizează conceptul de spațiu vectorial .

Definiții

Fie un inel comutativ arbitrar cu identitate. Un modul peste un inel , în care pentru o mapare biliniară dată (bilinear nu peste un câmp, ci peste un inel ) , un produs este definit conform egalității , se numește algebră peste sau -algebră . $K$ $A$ $K$ $K$ $f\colon A\times A\rightarrow A$ $ab=f(a,b)$ $K$ $K$

Conform definiției, pentru toți și relațiile sunt valabile: $k,\;l\în K$ $a,\;b,\;c\in A$

$a(b+c)=ab+ac$
$(a+b)c=ac+bc$
$(k+l)a=ka+la$
$k(a+b)=ka+kb$
$k(la)=(kl)a$
$k(ab)=(ka)b=a(kb)$
$1a=a$ , unde este unitatea inelului $unu$ $K$

În ceea ce privește operațiile de adunare și înmulțire, o algebră este un inel.

Pentru , comutatorul este definit de egalitatea . -algebra se numeste comutativa daca . $A$ $b\în A$ $[a,b]=ab-ba$ $K$ $[a,b]=0$

Pentru asociatul este definit de egalitatea . -algebra se numeste asociativa daca . $a,b,c\în A$ $(a,b,c)=(ab)ca(bc)$ $K$ $(a,b,c)=0$

Dacă există un element astfel încât pentru toți , atunci se numește unitatea algebrei , iar algebra însăși se numește algebră cu unitate . $e\în A$ $ea=ae=a$ $a\în A$ $e$ $A$

Uneori, o algebră este definită și peste inele necomutative; în acest caz, în locul condiției, este necesară o condiție mai slabă: . $k(ab)=(ka)b=a(kb)$ $k(ab)=(ka)b$

Orice inel poate fi considerat o algebră peste inelul numerelor întregi , dacă înțelegem produsul (unde este un întreg) de obicei, adică ca o sumă de copii . Prin urmare, inelele pot fi considerate ca un caz special de algebre. $N / A$ $n$ $n$ $A$

Dacă, în loc de o mapare biliniară , alegem o mapare multiliniară și definim produsul conform regulii: , atunci structura algebrică rezultată se numește -algebră. $f$ $g:A^{n}\rightarrow A$ $a_{1}\dots a_{n}=g(a_{1},\dots ,a_{n})$ $n$

Algebră liberă

Dacă o algebră peste un inel comutativ este un modul liber , atunci se numește algebră liberă și are o bază peste un inel . Dacă o algebră are o bază finită, atunci se spune că algebra este de dimensiune finită. $A$ $K$ $K$ $A$ $A$

Dacă este un câmp , atunci, prin definiție, -algebra este un spațiu vectorial peste și, prin urmare, are o bază . $K$ $K$ $K$

Baza unei algebre cu dimensiuni finite este de obicei notată cu . Dacă algebra are o unitate , atunci de obicei unitatea este inclusă în bază și se presupune că este . Dacă algebra are o bază finită, atunci produsul din algebră poate fi restabilit cu ușurință pe baza tabelelor de înmulțire: $e_{1},\dots ,e_{n}$ $e$ $e_{0}=e$

e_{i}e_{j}=C_{{ij}}^{k}e_{k}

Și anume, dacă , , atunci produsul poate fi reprezentat ca: $a=a^{k}e_{k}$ $b=b^{k}e_{k}$

ab=C_{{ij}}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}

Mărimile se numesc constante de structură ale algebrei . $C_{{ij}}^{k}\în K$ $A$

Dacă algebra este comutativă, atunci:

C_{{ij}}^{k}=C_{{ji}}^{k}

Dacă algebra este asociativă, atunci:

C_{{ij}}^{k}C_{{ml}}^{j}=C_{{im}}^{j}C_{{jl}}^{k}

Proprietăți

Din algebra polinoamelor (într-un număr suficient de mare de variabile) peste un câmp , ca imagine omomorfă, se poate obține orice algebră asociativ-comutativă peste . $K$ $K$

Mapping Algebra

Este posibil să se considere o algebră peste un inel comutativ ca un modul peste un inel comutativ . O mapare de la o algebră peste un inel comutativ la o algebră peste un inel se spune că este liniară dacă: $A$ $K$ $A$ $K$ $f:A\rightarrow B$ $A$ $K$ $B$ $K$

f(a+b)=f(a)+f(b)

f(ka)=kf(a)

pentru orice , , . Setul de mapări liniare de la o algebră la o algebră este notat cu simbolul . $A$ $b\în A$ $k\în K$ $A$ $B$ ${\mathcal L}(A;B)$

O mapare liniară a unei algebre într-o algebră se numește homomorfism dacă pentru orice , iar condiția este de asemenea îndeplinită: dacă algebrele și au o unitate, atunci: $f:A\rightarrow B$ $A$ $B$ $f(ab)=f(a)f(b)$ $a,b\în A$ $A$ $B$

f(e_{A})=e_{B}

Setul de homomorfisme ale unei algebre într-o algebră este notat cu simbolul . $A$ $B$ $H(A;B)$

Este evident că . $H(A;B)\subseteq {\mathcal L}(A;B)$

Exemple

General:

Algebre asupra câmpului numerelor reale :

Literatură

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Capitolul III. Inele și module // Algebră generală / Ed. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 p. — (Bibliotecă matematică de referință). — 30.000 de exemplare. — ISBN 5-02-014426-6 .

Algebră peste inel
Dimensiune - Puterea lui 2	Numere complexe (mărimea 2) $\mathbb {C}$ Cuaternioane (mărimea 4) $\mathbb {H}$ Numere Cayley/Octonii/Octave (Mărimea 8) $\mathbb O$ Sedenions (mărimea 16) $\mathbb S$
Vezi si	Teorema Frobenius Număr hipercomplex Algebră Corp unitate imaginară