Numerele duble

Numerele duale sau numerele (hiper) complexe de tip parabolic sunt numere hipercomplexe de forma , unde și sunt numere reale , și este un element abstract al cărui pătrat este egal cu zero, dar nu este zero în sine. Orice număr dual este determinat în mod unic de o astfel de pereche de numere și . Mulțimea tuturor numerelor duale formează o algebră asociativă comutativă bidimensională cu unitate sub operația multiplicativă pe câmpul numerelor reale . Spre deosebire de câmpul numerelor complexe obișnuite , această algebră conține $a+\varepsilon b$ $A$ $b$ $\varepsilon$ $A$ $b$ $\mathbb {R}$ divizori zero și toți au forma . Planul tuturor numerelor duale este „planul complex alternativ”. Algebrele numerelor complexe și duble sunt construite într-un mod similar. $a\varepsilon$

Cometariu. Uneori numerele duale sunt numite numere duble [1] , deși de obicei un sistem diferit de numere hipercomplexe este înțeles ca numere duble .

Definiție

Definiție algebrică

Numerele duale sunt perechi de numere reale de forma , pentru care operațiile de înmulțire și adunare sunt definite conform regulilor: $(a,\;b)$

\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)

\ (a_{1},\;b_{1})(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2} }+a_{2}b_{1})

În acest caz, numerele formei sunt identificate cu numere reale, iar numărul este notat cu , după care identitățile definitorii vor lua forma: $(a,\;0)$ $(0,\;1)$ $\varepsilon$

\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon

(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),

(a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1).

Mai pe scurt, inelul numerelor duale este inelul factor al inelului polinoamelor reale prin idealul generat de polinomul . $\R[x]/(x^2)$ $x^{2}$

Reprezentare liniară

Numerele duale pot fi reprezentate ca matrici de numere reale, unde adunarea numerelor duale corespunde adunării matriceale, iar înmulțirea numerelor corespunde înmulțirii matriceale. Lasă . Apoi un număr dual arbitrar ia forma $\varepsilon=\begin{pmatrix}0 și 1 \\0 și 0 \end{pmatrix}$

a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}

Forma indicativ

Pentru un exponent cu un exponent dual, următoarea egalitate este adevărată:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x

Această formulă vă permite să reprezentați orice număr dual în formă exponențială și să găsiți logaritmul său într-o bază reală. Poate fi demonstrat prin extinderea exponentului într- o serie Taylor :

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \ cdots

În acest caz, toți termenii de deasupra primului ordin sunt egali cu zero. Prin urmare:

\sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x

\cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1

Operații aritmetice

Plus $(a+b\varepsilon)+(c+d\varepsilon)=(a+c)+(b+d)\varepsilon$
Scădere $(a+b\varepsilon)-(c+d\varepsilon)=(ac)+(bd)\varepsilon$
Multiplicare $(a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon)=(ac)+(bc+ad)\varepsilon$
Divizia $\frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \varepsilon$

Rădăcini

Rădăcina a n- a a unui număr de specie este definită ca $a+\varepsilon b$

{\sqrt[{n}]{a))+{\frac {\varepsilon b}{n{\sqrt[{n}] {a^{n-1)))}}.

Diferențiere

Numerele duale sunt strâns legate de diferențierea funcțiilor. Luați în considerare o funcție analitică al cărei domeniu de definiție poate fi extins în mod natural la inelul numerelor duale. Se poate arăta cu ușurință că $f(x)$

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

De ce este așa

După cum se știe,

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{nk}b^{k},

acesta este

(x+y\varepsilon)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{nk}(y\varepsilon )^{k}, \qquad(1)

dar din moment ce toate puterile mai mari decât unu sunt egale cu zero, atunci $\varepsilon$

(x+y\varepsilon )^{n}=x^{n}+nx^{n-1}y\varepsilon .

Acum luați în considerare extinderea funcției din seria Maclaurin (totul este similar cu extinderea din seria Taylor):

f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {x^{k}}{k!}}.

Luați în considerare aceeași funcție a argumentului dublu:

f(x+y\varepsilon)=\sum _{k=0}^{+\infty}f^{(k)}(0){\frac {(x+y\varepsilon )^{k }}{k!}}.

Prin formula (1) obținem

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}+kx^{k-1} y\varepsilon }{k!}}=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}}{k!)}}+y\ varepsilon \sum _{k=1}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}.

Al doilea termen nu este altceva decât extinderea în serie a derivatei funcției , adică $f$

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

QED

Astfel, făcând calcule nu pe numere reale, ci pe numere duale, se poate obține automat valoarea derivatei unei funcții într-un punct. Este deosebit de convenabil să luați în considerare compozițiile funcțiilor în acest fel.

Se poate face o analogie între numerele duale și numerele de analiză non-standard . Unitatea imaginară ε a inelului de duale este ca numărul infinitezimal al analizei nestandard: orice putere (mai mare decât prima) este exact 0, în timp ce orice putere a unui număr infinitezimal este aproximativ egală cu 0 (este un infinitezimal de ordin superior) . Prin urmare, dacă este un număr infinitezimal, atunci până în inelul numerelor hiperreale de forma este izomorf cu inelul numerelor duale. $\varepsilon$ $\delta$ $o(\delta)$ $\R+\R\delta$

Note

↑ J. Humphrey . Grupuri algebrice liniare. — M .: Nauka , 1980. — S. 121.

Literatură

IM Yaglom Numere complexe și aplicarea lor în geometrie. M.: Fizmatlit, 1963. 192 p.
VV Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024 (engleză)

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion

Calculul infinitezimalelor și infinitezimalelor
Poveste	Notația Leibniz Semn integral Metoda indivizibililor
Destinații înrudite	Analiză personalizată
Formalisme	Diferenţial
Concepte	Parte standard a unui număr Principiul tranziției Hyperinteger Teorema creșterii Monad Set intern Câmpul din Levi-Civita Hyperfinite set Legea continuității preaplin Microcontinuitate Legea transcendentă a omogenității
Oamenii de știință	Arhimede Leibniz Robinson Fermă Cauchy Euler
Literatură	Analiza infinitezimale Calcule elementare Curs de analiză