Grup infinit

Un grup infinit  este un grup cu un număr infinit de elemente, spre deosebire de grupuri finite . Primul studiu al grupurilor infinite datează de Iordania (1870).

Grupuri topologice

Grupurile infinite sunt adesea presupuse a fi topologice  , adică prevăzute cu o topologie compatibilă cu operațiile de înmulțire și luarea elementului invers. În acest caz, se pot distinge două subclase opuse de grupuri - grupuri discrete și grupuri conectate. Un exemplu de grup infinit discret este grupul ciclic infinit cu topologie naturală, adică discretă. Un exemplu de grup infinit conectat este ( ) — un spațiu vectorial cu dimensiuni finite pe numere reale (sau complexe).

Mai mult, „partea discretă” a grupului topologic - adică grupul componentelor sale conexe - este un grup discret (nu neapărat infinit), în timp ce „partea sa continuă" - componenta conexă a identității grupului - este un grup conectat (și, de asemenea, nu neapărat infinit). Grupul în sine nu este complet definit de componentele „discrete” și „continue”, și anume nu este neapărat produsul lor direct . De exemplu, grupul de numere raționale este complet deconectat și, prin urmare, „partea sa continuă” este trivială, dar grupul nu este izomorf cu „partea sa discretă” - este numărabil, dar nu discret. Orice grup profinit are o proprietate similară .

Grupuri de minciuni

O clasă folosită în mod obișnuit de grupuri topologice infinite este grupurile Lie de dimensiune mai mare decât 0. Vorbind, acestea sunt grupuri care arată local ca un spațiu vectorial real (sau complex) de dimensiune finită (de dimensiune mai mare de 0). O definiție riguroasă folosește conceptul de varietate netedă sau algebrică : structura unei astfel de varietati trebuie introdusă pe grup, astfel încât operațiile de înmulțire și luare a elementului invers să fie în concordanță cu această structură.

Exemple de grupuri Lie (atât netede, cât și algebrice în același timp) sunt grupul liniar general , adică grupul de matrici reale pe cu un determinant diferit de zero și subgrupul său, grupul ortogonal special , format din matrici ortogonale cu determinantul 1. .

În acest caz, „partea discretă” a unui grup Lie (grupul componentelor sale conectate) este în mod necesar finită, în timp ce „partea continuă” (componenta conexă a unității) a unui grup Lie de dimensiune mai mare decât 0, pe dimpotrivă, este infinit. Cu toate acestea, grupul Lie nu este neapărat produsul lor semidirect [1] .

Din punct de vedere fizic

Elementele multor grupuri infinite întâlnite în fizică sunt numerotate prin parametri reali care se modifică continuu. Fiecare element g al unui grup infinit n-parametric poate fi scris ca: , unde  sunt n numere reale. Nu există nicio masă Cayley pentru grupul infinit . Dacă , atunci n parametri sunt funcții ale parametrilor . Astfel, analogul tabelului Cayley pentru un grup infinit este un set de n funcții reale, fiecare dintre ele depinde de 2n variabile reale . Elementele unui grup infinit trebuie să îndeplinească cele patru condiții uzuale pentru apartenența la un grup:

  1. Produsul oricăror două elemente ale unui grup trebuie să fie un element al grupului.
  2. Înmulțirea elementelor este asociativă: .
  3. Există un element de identitate al grupului g(1), astfel încât pentru toate g(x)
  4. Fiecare element are un invers unic, adică pentru fiecare g(x) există un element unic al grupului astfel încât .

Din cerința (2) exprimată în termenii funcțiilor f(x, y) rezultă că egalitatea este valabilă pentru toate x, y, z.

De exemplu, transformările Lorentz formează un grup infinit. Elementele acestui grup sunt numerotate după un parametru real - viteza cadrului de referință inerțial. Produsul a două transformări Lorentz cu parametri este transformarea Lorentz cu un parametru  - legea relativistă a adunării vitezei. [2]

Rotațiile unui corp rigid în jurul tuturor axelor posibile care trec printr-un punct fix formează un grup infinit de rotații . Elementele acestui grup sunt numerotate printr-un set de numere reale - unghiuri Euler . [3]

Vezi și

Note

  1. ↑ Lie Group Descomposition as Semidirect Product of Connected and Discrete Groups Arhivat 14 aprilie 2019 la Wayback Machine // Math.StackExchange
  2. ↑ Lyubarsky G. Ya. Teoria grupurilor și fizica. - M., Nauka, 1986. - p. 95
  3. ↑ Lyubarsky G. Ya. Teoria grupurilor și fizica. - M., Nauka, 1986. - p. 70-71

Literatură

Link -uri