Bordism

Bordism , de asemenea, bordism - un termen de topologie , folosit singur sau ca parte a frazelor standard în mai multe sensuri înrudite, în aproape toate în loc de bordism înainte s-a vorbit despre cobordism , s-a pastrat si terminologia veche.

Bordisme neorientate

Bordismele nedirecţionate sunt cea mai simplă variantă a bordismelor. Două varietăți dimensionale închise netede și sunt bordante (restricționate sau omoloage intern) dacă există o varietate compactă netedă dimensională (numită film ) a cărei graniță constă din două varietăți și , (sau mai precis varietăți și , respectiv, difeomorfe, și prin unele difeomorfisme și ). Setul de varietăți învecinate între ele se numește clase de bordism , iar triplul se numește bordism (ar fi mai corect să vorbim despre cinci ). $n$ $M$ $M'$ $(n+1)$ $W$ $M$ $M'$ $M_{0}$ $M_{1}$ $M$ $M'$ $g_{0}\colon M\to M_{0}$ $g_{1}\colon M'\to M_{1)$ $(W,\;M_{0},\;M_{1})$ $(W,\;M_{0},\;M_{1},\;g_{0},\;g_{1})$

Setul de clase de bordism de varietati dimensionale formează un grup abelian de uniuni relativ deconectate , numit grup de bordism . Zero în ea este clasa bordismelor, constând din varietăți care sunt granița unei varietăți (alte denumiri: - varietate limită , - omoloagă intern sau bordant la zero). Elementul invers unei clase date de bordisme este această clasă în sine (deoarece unirea a două copii este difeomorfă la granița produsului direct ). Suma directă a grupurilor este un inel gradat comutativ a cărui înmulțire este indusă de produsul direct al varietăților, cu unitatea dată de clasa de bordism a punctului. $n$ $\Omega _{n}^{O}$ $M$ $M$ $\Omega _{n}^{O}$ $M$ $M\times [0,\;1]$ $\Omega _{*}^{O}$ $\Omega _{n}^{O}$

Bordisme cu structură suplimentară

Bordisme orientate

Bordismele orientate sunt cel mai simplu tip de bordisme de colectoare închise netede cu structură suplimentară. Două varietăți orientate și sunt orientate bordante dacă sunt bordante în primul sens, iar filmul este orientat, iar (în prima notație) orientarea indusă de orientarea pe și (ca pe părți ale graniței) trece sub difeomorfisme și , respectiv, la orientarea inițială și la orientarea , opusă orientării inițiale . În mod similar , se introduc grupuri de bordisme orientate și un inel . $M$ $M'$ $W$ $W$ $M_{0}$ $M_{1}$ $g_{0}$ $g_{1}$ $M$ $M'$ $\Omega _{n}^{O}$ $\Omega _{*}^{O}$ $\Omega _{n}^{SO}$ $\Omega _{*}^{SO}$

Alte opțiuni

Alte varietati de bordisme de varietăți cu structură suplimentară sunt bordeismele foarte importante ale varietăților cvasicomplexe (numite și bordisme unitare), bordismele de varietăți asupra cărora acționează un grup de transformări sunt bordisme. Există şi variante de un fel uşor diferit, pentru varietăţi liniare sau topologice pe bucăţi, pentru complexe Poincaré etc. O poziţie specială o ocupă bordismele de foliare şi -bordismele (numite anterior -echivalenţe ); acestea din urmă servesc pentru a lega topologia diferențială și homotopică. $\mathrm {Rotire}$ $J$

Proprietăți

Două varietăți sunt bordante dacă și numai dacă au aceleași numere caracteristice ( numerele Stiefel-Whitney în cazul neorientabil și numerele Stiefel-Whitney și numerele Pontryagin în cazul orientabil ).

Istorie

Primul exemplu este bordismul varietăților încadrate introdus în 1938 de Pontryagin , care a arătat că clasificarea acestor bordisme este echivalentă cu calcularea grupurilor de homotopie de sfere și în acest fel a fost capabil să găsească și . Bordismele neorientate și orientate au fost introduse în 1951-53 de către Rokhlin , care a calculat pentru . Pontryagin a demonstrat că, dacă două varietăți sunt bordante, atunci au aceleași numere caracteristice . Ulterior, s-a dovedit că și contrariul este adevărat. $\pi _{i}(S^{n})$ $\pi _{n+1}(S^{n})$ $\pi _{n+2}(S^{n})$ $\Omega _{n}^{SO}$ $n\leqslant 4$

Literatură

Milnor J., Wallace A. Topologie diferenţială / Per. din engleza. — M .: Mir, 1972. — 280 p.

Vezi și

$h$ -cobordism