Inel boolean

Un inel boolean este un inel cu înmulțire idempotentă , adică un inel în care pentru toți [1] [2] [3] . $(R, +, \cdot)$ $x^{2}=x$ $x \în R$

Relația cu algebra booleană

Cel mai faimos exemplu de inel boolean este obținut din algebra booleană prin introducerea adunării și înmulțirii după cum urmează: $(B,\land ,\lor ,\lnot )$

$x+y=(x\land \lnu y)\lor (\lnu x\land y)$ ,
$x\cdot y=x\land y$ .

În special, booleanul unei mulțimi formează un inel boolean în raport cu diferența simetrică și intersecția submulților . În legătură cu acest exemplu de bază, introducerea adunării într-un inel boolean ca „ exclusiv sau ” pentru algebrele booleene și înmulțirea ca conjuncție , simbolul este uneori folosit pentru adunare în inele booleene și pentru înmulțire, semnele rețelei infimum ( , , ). $X$ $\oplus$ $\teren$ $\capac$ $\sqcap$

Orice inel boolean obținut în acest mod dintr-o algebră booleană are o unitate , care coincide cu unitatea algebrei booleene originale. În plus, orice inel boolean cu identitate definește în mod unic o algebră booleană prin următoarele definiții ale operațiilor: $(R,+,\cdot ,1)$

$x\land y=x\cdot y$ ,
$x\lor y=x+y+xy$ ,
$\lnu x=1+x$ .

Proprietăți

În fiecare inel boolean , ca o consecință a idempotității față de înmulțire: $(R, +, \cdot)$ $x+x=0$

x+x=(x+x)^{2}=x+x+x+x

și deoarece inelul este un grup abelian , este posibil să se scadă o componentă din ambele părți ale acestei ecuații. $(R+)$ $x+x$

Fiecare inel boolean este comutativ , ceea ce este, de asemenea, o consecință a idempotității înmulțirii:

x+y=(x+y)^{2}=x^{2}+xy+yx+y^{2}=x+y+xy+yx

care dă , care la rândul său înseamnă . $xy+yx=0$ $xy=yx$

Orice inel boolean finit netrivial este o sumă directă a câmpurilor reziduale modulo 2 ( ) și are o unitate . ${\mathbb {Z}}_{2}$

Inelul coeficient al oricărui inel boolean după un ideal arbitrar este, de asemenea, un inel boolean. În același mod, orice subring al unui inel boolean este un inel boolean. Fiecare ideal prim dintr-un inel boolean este maxim : un inel coeficient este un domeniu de integritate , precum și un inel boolean, deci este izomorf cu un câmp , care arată maximalitate . Deoarece idealurile maxime sunt întotdeauna prime, conceptele de idealuri prim și maximal sunt aceleași pentru inelele booleene. $R/I$ $eu$ $P$ $R$ $R/P$ $\mathbb {F} _{2}$ $P$

Inelele booleene sunt absolut plate , adică orice modul de deasupra lor este plat .

Fiecare ideal finit generat al unui inel boolean este principal .

Note

↑ Frehley, 1976 , p. 200.
↑ Gerstein, 1964 , p. 91.
↑ McCoy, 1968 , p. 46.

Literatură

M. Atiyah , I.G. Macdonald . Introducere în algebra comutativă. - Westview Press, 1969. - ISBN 978-0-201-40751-8 .
John B. Fraleigh. Un prim curs de algebră abstractă. — al 2-lea. - Lectură: Addison-Wesley , 1976. - ISBN 0-201-01984-1 .
ÎN Herstein. Subiecte în algebră. - Waltham: Editura Blaisdell, 1964. - ISBN 978-1114541016 .
Neal H. McCoy. Introducere în algebra modernă . — revizuită. — Boston: Allyn and Bacon, 1968.