Con convex

Un con convex în algebra liniară este o submulțime a unui spațiu vectorial peste un câmp ordonat care este închis sub combinații liniare cu coeficienți pozitivi.

Definiție

O submulțime a unui spațiu vectorial este un con convex dacă îi aparține oricăror scalari pozitivi și oricare dintre . $C$ $V$ $\alpha x+\beta y$ $C$ $\alpha ,\beta$ $X y$ $C$

Definiția poate fi scrisă mai concis: pentru orice numere pozitive . $\alpha C+\beta C=C$ $\alpha ,\beta$

Conceptul este semnificativ pentru orice spații vectoriale în care există conceptul de scalar „pozitiv”, cum ar fi spațiul peste numere raționale , algebrice sau (cel mai adesea) reale .

Mulțimea goală, spațiul și orice subspațiu liniar al spațiului (inclusiv subspațiul trivial { 0 }), sunt conuri convexe după această definiție. Alte exemple sunt mulțimea tuturor produselor printr-un număr pozitiv al unui vector arbitrar din , sau orthantul pozitiv al spațiului (mulțimea tuturor vectorilor care au coordonate pozitive). $V$ $V$ $v$ $V$ $\mathbb {R} ^{n}$

Un exemplu mai general este mulțimea tuturor vectorilor astfel încât a este un scalar pozitiv și este un element al unei submulțimi convexe a spațiului . În special, dacă este un spațiu vectorial normat și este o bilă deschisă (respectiv închisă) în , care nu conține 0, această construcție dă un con circular convex deschis (respectiv închis ) . $\lambda x$ $\lambda$ $X$ $X$ $V$ $V$ $X$ $V$

Intersecția a două conuri convexe în același spațiu vectorial este din nou un con convex, dar uniunea poate să nu fie. [1] Clasa de conuri convexe este închisă sub orice mapări liniare . În special, dacă este un con convex, atunci conul convex și opusul său , și este cel mai mare subspațiu liniar conținut în [2] . Un astfel de subspațiu se numește lamă . [3] $C$ $-C$ $C\cap -C$ $C$

Conuri convexe și conuri liniare

Dacă este un con convex, atunci pentru orice scalar pozitiv și orice vector din vector se află în . Rezultă că un con convex este un caz special al unui con liniar . $C$ $\alfa$ $X$ $C$ $\alpha x=(\alpha /2)x+(\alpha /2)x$ $C$ $C$

Definiții alternative

Din cele de mai sus rezultă că un con convex poate fi definit ca un con liniar care este închis sub combinații convexe sau pur și simplu prin adăugare . Mai pe scurt, o mulțime este un con convex dacă și numai dacă și pentru orice scalar pozitiv . [patru] $C$ $\alpha C=C$ $C+C=C$ $\alfa$

De asemenea, trebuie remarcat faptul că expresia „scalari pozitivi ” din definiția unui con convex poate fi înlocuită cu „scalari nenegativi care nu sunt simultan zero”. $\alpha ,\beta$ $\alpha ,\beta$

Proprietățile unui con convex

Intersecția oricărui număr de conuri convexe este din nou un con convex. Astfel, conurile convexe formează o familie închisă (prin operația de intersecție).
Corpul conic este cel mai mic con convex care conține setul dat. $\operatorname {poz}(X)$

Conuri obtuze și ascuțite

Conform definițiilor de mai sus, dacă este un con convex, atunci este și un con convex. Se spune că un con convex este ascuțit sau obtuz , în funcție de faptul că vectorul nul 0 îi aparține sau nu [5] . Uneori folosesc termenii ascuțit și, în consecință, toci [4] [6] . $C$ $C\cup \{0\)$

Conurile obtuze pot fi excluse din definiția unui con convex prin înlocuirea cuvintelor „nenegativ” cu „pozitiv” în condițiile impuse . Termenul „ ascuțit ” este adesea folosit într-un sens diferit - pentru conurile închise care nu conțin linii complete (adică un subspațiu non-trivial al spațiului înconjurător), adică ceea ce se numește un con „proeminent” dedesubt. $\alpha ,\beta$

Conuri proeminente (ascuțite)

Un con convex se spune că este plat dacă conține un vector diferit de zero și opusul său , iar în caz contrar iese [6] . Conurile proeminente sunt adesea numite și acute . $X$ $-X$

Un con convex obtuz este întotdeauna un con proeminent, dar invers nu este întotdeauna adevărat. Un con convex este proeminent dacă și numai dacă . Adică dacă și numai dacă nu conține un subspațiu liniar non-trivial . $C$ $C\cap -C\subseteq \{0\)$ $C$ $V$

Conuri poliedrice

În 1935, G. Weyl a demonstrat echivalența următoarelor două definiții ale unui con poliedric :

Un con poliedric este un set de combinații liniare cu coeficienți nenegativi ai unui set finit fix de vectori . Acești vectori sunt numiți generatori de conuri . $C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},v_{i }\în \mathbb {R} ^{n}\}$ $v_{1},v_{2},\ldots,v_{i)$
Un con poliedric este o intersecție a unei mulțimi finite de semi-spații (închise) al căror hiperplan de sprijin trece prin origine. În mod echivalent, se poate vorbi de o mulțime de soluții la o mulțime finită de inegalități liniare omogene.

Conuri poliedrice raționale

Un con poliedric se numește rațional dacă toți generatorii săi au coordonate întregi.

Jumătate de spații

Un hiperplan (liniar) al unui spațiu este cel mai mare subspațiu liniar propriu posibil al unui spațiu . Un semi -spațiu deschis (respectiv închis ) al unui spațiu este o submulțime a spațiului definit de condiția (resp. ), unde este orice funcție liniară a scalarilor din câmpul său. Hiperplanul definit de ecuație este hiperplanul de limite pentru . $V$ $V$ $V$ $H$ $V$ $L(x)>0$ $L(x)\geqslant 0$ $L$ $V$ $L(v)=0$ $H$

Semi-spațiile (deschise sau închise) sunt conuri convexe. Cu toate acestea, orice con convex care nu este întregul spațiu trebuie să fie conținut într-o jumătate de spațiu închis al spațiului . De fapt, un con convex închis topologic este intersecția tuturor semi-spațiilor închise care îl conțin. O afirmație similară este adevărată pentru un con convex topologic deschis. $C$ $V$ $H$ $V$

Semi-spațiul perfect al unui spațiu este definit recursiv astfel: dacă are dimensiunea zero, atunci este mulțimea , în caz contrar este semi-spațiul deschis al spațiului împreună cu semi-spațiul perfect al hiperplanului de mărginire pentru [ 7] . Cu alte cuvinte, acesta este un analog al noțiunii de steag pentru semi-spații. $V$ $V$ $\{0\}$ $H$ $V$ $H$

Orice semi-spațiu perfect este proeminent și, în plus, orice con proeminent este conținut într-un semi-spațiu perfect. Cu alte cuvinte, semi-spațiile perfecte sunt conuri proeminente maxime (prin includere). Se poate demonstra că orice con proeminent acut (indiferent dacă este închis sau deschis din punct de vedere topologic) este intersecția tuturor semi-spațiilor perfecte care îl conțin.

Secțiunea și proiecția mulțimilor convexe

Secțiune de avion

Un hiperplan afin al unui spațiu este orice submulțime a unui spațiu de forma , unde este un vector în și este un hiperplan (liniar). $V$ $V$ $v+H$ $v$ $V$ $H$

Următoarea afirmație rezultă din proprietatea de includere în semi-spații. Fie un semi-spațiu deschis în și , unde este un hiperplan de frontieră și este orice vector în . Fie un con liniar conținut în . Atunci este un con convex dacă și numai dacă mulțimea este o submulțime convexă a hiperplanului (adică o mulțime care este închisă sub combinații convexe ). $Q$ $V$ $A=H+v$ $H$ $Q$ $v$ $Q$ $C$ $Q$ $C$ $C'=C\cap A$ $A$

Ca o consecință a acestui rezultat, toate proprietățile mulțimilor convexe dintr- un spațiu afin au un analog pentru conurile convexe conținute într-un semispațiu deschis fix.

Secțiune sferică

Dacă i se dă o normă | • | în spațiu , definim sfera unității în ca mulțime $V$ $V$

S=\{x\in V\;:\;|x|=1\}.

Dacă valorile | • | sunt scalari în , atunci un con de linie în este un con convex dacă și numai dacă secțiunea sa sferică (mulțimea vectorilor săi cu norma unitară ) este o submulțime convexă în următorul sens: pentru oricare doi vectori cu toți vectorii pe calea cea mai scurtă din in pe minciuna in . $V$ $C$ $V$ $C\cap S$ $S$ $u,v\in C$ $u\neq -v$ $u$ $v$ $S$ $C$

Conul dublu

Fie un con convex într-un spațiu vectorial real cu produs scalar . Conul dual k este mulțimea [8] [9] $C\subset V$ $V$ $C$

\{v\in V\;:\;\forall w\in C,\langle w,v\rangle \geqslant 0\}.

Este, de asemenea, un con convex. Dacă coincide cu dualul său, se numește self-dual . $C$ $C$

O altă definiție comună a conului dual pentru este un con în spațiu dual : $C\subset V$ $C^{\ast )$ $V^{\ast }$

C^{*}:=\left\{v\in V^{*}\;:\;\forall w\in C,v(w)\geqslant 0\right\}.

Cu alte cuvinte, dacă este spațiul dual al spațiului , atunci conul dual este mulțimea de funcții liniare care sunt nenegative pe con . Dacă acceptăm că este un spațiu dual continuu , atunci acesta este mulțimea de funcții liniare continue care sunt nenegative pe . [10] O astfel de definiție nu necesită prezența unui produs interior în spațiu . $V^{\ast }$ $V$ $C$ $V^{\ast }$ $C$ $V$

În spațiile cu dimensiuni finite, ambele definiții ale conului dual sunt în esență echivalente, deoarece orice produs interior este asociat cu un izomorfism liniar (mapping liniar nedegenerat) de la la , iar acest izomorfism ia conul dual (la ) din a doua definiție. la conul dual de la prima definiţie. $V^{\ast }$ $V$ $V^{\ast }$

Ordine parțială definită de un con convex

Un con convex proiectat ascuțit generează un ordin parțial " " on , definit în așa fel încât dacă și numai dacă . (Dacă conul este plat, aceeași definiție dă doar preordinea .) Sumele și înmulțirea cu un scalar pozitiv a inegalității corecte în raport cu acea ordine da din nou inegalitățile corecte. Un spațiu vectorial cu o astfel de ordine se numește spațiu vectorial ordonat . Con $C$ $\leqslant$ $V$ $x \leqslant y$ $yx\in C$

P=\left\{x:x\in V,x\geqslant 0\right\}.

se numește con pozitiv [6] .

Exemplele includ produsul ordinal [11] pe vectori reali ( ) și ordinea Löwner [12] $\mathbb {R} ^{n}$

Con convex propriu

Termenul de con propriu ( convex ) este definit în diferite moduri, în funcție de context. Înseamnă adesea un con convex proeminent care nu conține niciun hiperplan al spațiului , poate cu alte restricții impuse, cum ar fi închiderea topologică (și prin urmare conul va fi ascuțit) sau deschiderea topologică (conul va fi obtuz) [13] . Unii autori folosesc termenul „pană” pentru ceea ce este menționat în acest articol ca un con convex, iar termenul „con” se referă la ceea ce este menționat în articol ca un con ascuțit proeminent sau ceea ce tocmai a fost numit un con con convex. $V$

Exemple de conuri convexe

Fie dată o submulțime convexă închisă a spațiului Hilbert , conul normal pentru o mulțime de la un punct la este dat printr-o formulă. [2] $K$ $V$ $K$ $X$ $K$

N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,xx^{*}\rangle \geqslant 0\ dreapta\}.

Fie dată o submulțime convexă închisă a spațiului , conul tangent la mulțimea dintr-un punct este dat de formula [14] $K$ $V$ $K$ $X$

T_{K}(x)=\overline {\bigcup _{{h>0}}{\tfrac {1}{h}}(Kx)}.

Să fie dată o submulțime convexă închisă a spațiului Hilbert , conul normal exterior la mulțimea de la punctul la este dat de formula [15] $K$ $V$ $K$ $X$ $K$

N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,xx^{*}\rangle \leqslant 0\right\} .

Având în vedere o submulțime convexă închisă a unui spațiu Hilbert , conul tangent la mulțimea într-un punct de la poate fi definit ca conul polar la conul normal exterior : [16] [17] $K$ $V$ $K$ $X$ $K$ $N_{K}(x)$

Conurile normale și tangente sunt închise și convexe. Sunt concepte importante în domeniul programării convexe , inegalități variaționale .

Vezi și

Combinații înrudite

Note

↑ Rockafellar, 1973 , p. treizeci.
↑ 1 2 Rockafellar, 1973 , p. 32.
↑ Krasnoselsky, Lifshits, Sobolev, 1985 , p. 9.
↑ 1 2 Bourbaki, 1959 , p. treizeci.
↑ Zorkaltsev, Kiseleva, 2007 .
↑ 1 2 3 Edwards, 1969 , p. 194.
↑ Stolfi, 1991 , p. 139.
↑ Panina, 2009 .
↑ Boyd, Vandenberghe, 2004 .
↑ Kutateladze, 2009 , p. 1127.
↑ Un produs ordinal este o comandă generată pe un produs direct de mulțimi parțial ordonate. Vezi Stanley, 1990 pentru detalii.
↑ O definiție a ordinii Löwner poate fi găsită în Marshall, Olkin, 1983
↑ Schaefer, 1971 , p. 258.
↑ Panaginotopoulos, 1989 , p. 171.
↑ Panaginotopoulos, 1989 , p. 62.
↑ Rockafellar, 1973 , p. 138.
↑ Leuchtweis, 1985 , p. 54.

Link -uri

Nicolae Bourbaki. Spații vectoriale topologice. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1987. - (Elemente de matematică). — ISBN 978-3-540-13627-9 .
Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Optimizare convexă. - Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Cape Town, Singapore: Cambridge University Press, 2004. - P. 51. - ISBN 78-0-521-83378-3.

Traducere în rusă: N. Bourbaki. Spații vectoriale topologice. - Moscova: Editura de literatură străină, 1959. - (Elemente de matematică).

RT Rockafellar. Analiza convexă . — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1970.

Traducere în rusă: R. Rockafellar. Analiza convexă. - Moscova: Mir, 1973.

C. Zălinescu. Analiza convexă în spații vectoriale generale. - River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc, 2002. - p. xx+367. - ISBN 981-238-067-1 .
V. I. Zorkaltsev, M. A. Kiseleva. Sisteme de inegalități liniare (manual). - Irkutsk: IGU, 2007. - P. 21 Capitolul 1.5 Conuri.
M.A. Krasnoselsky, E.A. Lifshitz, A.V. Sobolev. SISTEME LINEARE POZITIVE – Metoda operatorilor pozitivi. - „Nauka”, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1985. - (Teoria și metodele analizei sistemelor).
Stolfi. Geometrie proiectivă orientată: un cadru pentru calcule geometrice. - San Diego, Londra: Academic Press, Inc., 1991. - ISBN 0-12-672025-8 .
Moreau JJ Aspecte numerice ale procesului de măturare. Calculator. MetodeAppl. Mech. ingr. 177 (1999) 329-349 https://web.archive.org/web/20150616073514/http://www.continuousphysics.com/ftp/pub/test/files/physics/papers/moreau.99.pdf
A. Marshall, I. Olkin. Inegalități: teoria majorizării și aplicațiile acesteia. - M. : „Mir”, 1983.
R. Stanley. Combinatorică enumerativă. - M . : „Mir”, 1990. - ISBN 5-030001348 -2.
P. Panaginotopoulos. Inegalități în mecanică și aplicațiile lor: funcții convexe și neconvexe ale energiei. - M . : „Mir”, 1989. - ISBN 5-03-000498-X .
K. Leuchtweiss. seturi convexe. - Moscova: „Nauka” Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1985. - ISBN 5-03-000498-X .
Panina G.Yu. Soiuri torice. Introducere în geometria algebrică. — Dubna, 2009.
R. Edwards. Analiza funcțională: teorie și aplicații. - M. : „Mir”, 1969.
H. Schaefer. Spații vectoriale topologice. - M . : „Mir”, 1971.
S. S. Kutateladze. Probleme polivalente de geometrie convexă // Siberian Mathematical Journal. - „Mir”, 2009. - V. 50 , nr. 5 .