Grupul lui Grigorchuk

Grupul Grigorchuk este primul exemplu de grup finit generat de creștere intermediară (adică creșterea sa este mai rapidă decât polinomul, dar mai lentă decât exponențială).

Un exemplu a fost construit de Grigorchuk , creșterea intermediară a fost demonstrată de el în lucrarea sa din 1984 [1] [2] . Acesta a răspuns la întrebarea lui Milnor , adresată în 1968 [3] .

Clădire

Un grup este construit prin acțiunea sa pe un arbore binar complet infinit.

Arbore binar complet infinit

Considerăm un arbore binar complet infinit T 2 și automorfismele sale . Acest arbore este izomorf cu oricare dintre subarborele săi, astfel încât oricare dintre automorfismele sale poate fi aplicat oricărui subarbore.

Fiecare vârf al arborelui T 2 poate fi etichetat de un element din mulțimea Σ * a tuturor șirurilor finite din alfabetul Σ = {0,1}, inclusiv șirul gol Ø. Șirul gol Ø corespunde nodului rădăcină T 2 . Eticheta copilului din stânga fiecărui nod se obține prin adăugarea 0, dreapta - 1.

Orice automorfism al arborelui T 2 păstrează calea de la nodul rădăcină la oricare altul și nu mută niciun nod de la un nivel la altul. Îndeplinirea acestor proprietăți este suficientă pentru ca o permutare a mulțimii vârfurilor arborelui să fie un automorfism al arborelui. Prin urmare, grupul tuturor automorfismelor Aut( T 2 ) corespunde grupului tuturor astfel de permutări σ ale mulțimii de șiruri Σ * care păstrează lungimea șirului (adică lungimea x trebuie să fie egală cu lungimea σ ( x ) ) și păstrați relația „segment inițial al șirului” (adică dacă șirul x este segmentul inițial al șirului y , atunci σ ( x ) este segmentul inițial al lui σ ( y )).

Formative

Grupul Grigorchuk G este definit ca un subgrup al grupului Aut( T 2 ) generat de anumite patru elemente a, b, c, d , i.e. $G=\langle a,b,c,d\rangle <\mathrm {Aut} (T_{2})$

În ceea ce privește conversia șirurilor formate din 0 și 1, automorfismele a, b, c, d sunt definite recursiv după cum urmează:

a (0 x ) = 1 x , a (1 x ) = 0 x ;
b (0 x ) = 0 a ( x ), b (1 x ) = 1 c ( x );
c (0 x ) = 0 a ( x ), c (1 x ) = 1 d ( x );
d (0 x ) = 0 x , d (1 x ) = 1 b ( x )

pentru fiecare x din Σ*. De exemplu:

a (11101) = 01101
b (11101) = 1 c (1101) = 11 d (101) = 111 b (01) = 1110 a (1) = 11100
c (11101) = 1 d (1101) = 11 b (101) = 111 c (01) = 1110 a (1) = 11100
d (11101) = 1 b (1101) = 11 c (101) = 111 d (01) = 11101

În ceea ce privește transformarea arborelui binar, elementul a schimbă subarborele din stânga și din dreapta arborelui asupra căruia acționează. Elementele rămase acționează separat asupra fiecăruia dintre acești doi subarbori, aceste elemente pot fi reprezentate recursiv în perechi (cele două elemente ale perechii corespund acțiunii pe subarborele din stânga și din dreapta):

b = ( a , c ),
c = ( a , d ),
d = ( 1 , b ).

Aici b = ( a , c ) înseamnă că b nu schimbă rădăcina T 2 , acţionează în subarborele din stânga ca a , iar în dreapta ca c . Aici 1 denotă maparea identității .

Într-o reprezentare nerecursivă, acțiunea elementelor b , c , d arată astfel: plecând de la rădăcină, ne deplasăm în jos, alegând copilul potrivit la fiecare pas; în același timp, operația a se aplică subarborelui din stânga de fiecare dată (schimbând doi dintre subarborele acestuia), cu excepția fiecărui al treilea pas, începând cu al treilea, al doilea și primul pas pentru b , c și respectiv d , [4] .

Proprietăți generator

Mai jos sunt principalele consecințe ale acestei construcții [5] .

Fiecare dintre elementele a, b, c, d are ordinul 2 în G .
Elementele b, c, d fac naveta în perechi și bc = cb = d, bd = db = c, dc = dc = b .
- În special, este un grup abelian de ordinul 4; este izomorfă cu produsul direct a două grupe ciclice de ordinul 2. $\langle b,c,d\rangle$
Grupul G este generat de a și oricare două dintre cele trei elemente b, c, d (de exemplu, ). $G=\langle a,b,c\rangle$
În notația recursivă de mai sus . $aba=(c,a),\aca=(d,a),\ada=(b,1)$
Stabilizatorul St G [1] din G este subgrupul generat de b, c, d, aba, aca, ada . Subgrupul St G [1] este un subgrup normal de indice 2 în G , și G = StG [ 1] a StG [ 1]. $\sqcup$
Fiecare element al lui G poate fi scris ca un cuvânt (pozitiv) de litere a, b, c, d fără subcuvinte de forma aa, bb, cc, dd, cd, dc, bc, cb, bd, db .
- Astfel de cuvinte se numesc abreviate .
- „Cuvânt pozitiv” aici înseamnă că nu există elemente a -1 , b -1 etc. în notația corespunzătoare. Deoarece toți acești generatori au ordinul 2, adică sunt inversi față de ei înșiși, aceasta este o condiție ușoară.
Un cuvânt prescurtat este un element din stabilizatorul St G [1] dacă și numai dacă acest cuvânt include un număr par de apariții ale unui .
Dacă w este un cuvânt abreviat de lungime pară cu un număr par pozitiv de apariții a , atunci există câteva cuvinte u, v scrise ca a, b, c, d (nu neapărat abreviat) astfel încât G are w = (u, v). ) și | u | ≤ | w |/2, | v | ≤ | w |/2.
- Dacă w este un cuvânt abreviat de lungime impară cu un număr par pozitiv de apariții ale lui a , atunci această afirmație este și ea adevărată, dar inegalitățile iau forma: | u | ≤ (| w | + 1)/2, | v| ≤ (| w | + 1)/2.

Ultima proprietate joacă un rol cheie în multe dovezi, deoarece permite utilizarea inducției pe lungimea unui cuvânt.

Proprietăți

Grupul G este infinit. [2]
Grupul G este rezidual finit . [2]
Grupul G este un 2-grup , adică fiecare element din G are o ordine finită , care este o putere a lui 2. [1]
Grupa G are o înălțime intermediară . [2]
- În special, grupul G este compatibil . [2]
- Grigorchuk a demonstrat că creșterea grupului G , , se află între și . $\gamma (n)$ $\exp n^{s_{1)),\s_{1}=1/2$ $\exp n^{s_{2}},\s_{2}=\log _{32}31\aprox 0{,}991$
- Mai târziu s-a găsit valoarea exactă a exponentului în exponentul din : , unde este rădăcina reală a polinomului [6] . $n$ $\gamma (n)$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {\log \log \gamma (n)}{\log n))=1/\log _{2}x\aproximativ 0,7674$ $X$ $x^{3}-x^{2}-2x-4$
Fiecare grup de coeficient G al unui grup normal netrivial este finit.
Fiecare subgrup finit generat este închis în topologia pro-finită pe G . [7]
Fiecare subgrup maxim din G are un indice finit . [opt]
Grupul G este finit generat, dar nu finit dat . [2] [9]
Centralizatorul unui element este generat finit dacă și numai dacă elementul este conjugat cu elementul generator „a” [10]
Indicii membrilor rândului central inferior sunt mărginiți de sus de numărul 4 [11]
Au fost găsite exemple de subgrupuri maxime local finite, acestea s-au dovedit a fi infinite [12]

Vezi și

Referințe

↑ 1 2 R. I. Grigorchuk, „On the Burnside problem on periodic groups” Arhivat 25 ianuarie 2021 la Wayback Machine , Funct. Analysis and its applications, 14:1 (1980), 53-54
↑ 1 2 3 4 5 6 R. I. Grigorchuk, „Gradele de creștere ale grupurilor finite generate și teoria mijloacelor invariante” Arhivat 20 septembrie 2016 la Wayback Machine , Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat. 48:5 (1984), 939-985
↑ John Milnor, Problema nr. 5603, American Mathematical Monthly , voi. 75 (1968), pp. 685-686.
↑ Rostislav Grigorciuk, Igor Pak. Grupuri de creștere intermediară: o introducere : [ ing. ] // L'Enseignement Mathematique. - 2008. - Vol. 54. - P. 251-272. — arXiv : math/0607384 . - doi : 10.5169/seals-109938 .
↑ Pierre de la Harpe. Subiecte în teoria grupurilor geometrice. Prelegeri din Chicago de matematică. University of Chicago Press, Chicago. ISBN 0-226-31719-6 ; Ch. VIII, Primul grup Grigorchuk, pp. 211–264.
↑ Anna Erschler și Tianyi Zheng. Creșterea grupurilor periodice Grigorchuk // Inventiones mathematicae. - 2020. - Vol. 219.—P. 1069–1155. - doi : 10.1007/s00222-019-00922-0 .
↑ R.I. Grigorchuk și J.S. Wilson. O proprietate structurală referitoare la comensurabilitate abstractă a subgrupurilor. Arhivat la 24 mai 2011 la Wayback Machine Journal al Societății de Matematică din Londra (2), vol. 68 (2003), nr. 3, pp. 671–682.
↑ E. L. Pervova. Pretutindeni subgrupuri dense ale unui grup automorfism arbore // Tr. MIAN. - 2000. - T. 231. - S. 356-367.
↑ I. G. Lysenok, „Sistemul de definire a relațiilor pentru grupul Grigorchuk” Copie de arhivă din 13 februarie 2018 la Wayback Machine , Mat. note, 38:4 (1985), 503-516
↑ A.V. Rozhkov. Centralizatoare ale elementelor dintr-un grup de automorfisme arborescente // Izv. A FUGIT. Ser. mat .. - 1993. - T. 57 , nr 6 . - S. 82-105 . Arhivat 26 octombrie 2020.
↑ A.V. Rozhkov. Seria centrală inferioară a unui grup de automorfism a unui arbore // Matematică. note .. - 1996. - T. 60 , nr 2 . — S. 225-237 . Arhivat din original pe 23 iulie 2018.
↑ A. V. Rozhkov. Subgrupuri maxime local finite în grupul Grigorchuk // Math. note .. - 1998. - T. 63 , nr 4 . — S. 617–624 . Arhivat 25 noiembrie 2020.