Logaritmul binar este logaritmul de bază 2. Cu alte cuvinte, logaritmul binar al unui număr este soluția ecuației
Logaritmul binar al unui număr real există dacă, conform ISO 31-11 , acesta este notat cu [1] sau . Exemple:
Din punct de vedere istoric, logaritmii binari și-au găsit prima utilizare în teoria muzicii când Leonhard Euler a stabilit că logaritmul binar al raportului dintre frecvențele a două tonuri muzicale este egal cu numărul de octave care separă un ton de altul. Euler a publicat și un tabel cu logaritmii binari ai numerelor întregi de la 1 la 8, până la șapte zecimale [2] [3] .
Odată cu apariția informaticii , a devenit clar că erau necesari logaritmi binari pentru a determina numărul de biți necesari pentru a codifica un mesaj . Alte domenii în care logaritmul binar este adesea folosit includ combinatoria , bioinformatica , criptografia , turneele sportive și fotografia . O funcție standard pentru calcularea logaritmului binar este furnizată în multe sisteme de programare comune.
Următorul tabel presupune că toate valorile sunt pozitive [4] :
Formulă | Exemplu | |
---|---|---|
Muncă | ||
Coeficientul de diviziune | ||
grad | ||
Rădăcină |
Există o generalizare evidentă a formulelor de mai sus în cazul în care sunt permise variabile negative, de exemplu:
Formula pentru logaritmul unui produs poate fi generalizată cu ușurință la un număr arbitrar de factori:
Relația dintre logaritmii binari, naturali și zecimali :
Dacă considerăm numărul logaritmic ca o variabilă, obținem funcția logaritm binar: . Este definit pentru toată gama de valori: . Graficul acestei funcții este adesea numit logaritm , este inversul funcției . Funcția este monoton crescătoare, continuă și diferențiabilă oriunde este definită. Derivata pentru aceasta este data de formula [5] :
Axa y este o asimptotă verticală deoarece:
Logaritmul binar al unui număr natural vă permite să determinați numărul de cifre din reprezentarea computerului intern ( bit ) a acestui număr:
(parantezele indică partea întreagă a numărului)Entropia informației este o măsură a cantității de informații , bazată și pe logaritmul binar
Estimarea complexității asimptotice a algoritmilor recursivi de împărțire și cucerire [6] , cum ar fi sortarea rapidă , transformarea Fourier rapidă , căutarea binară etc.
Dacă un arbore binar conține noduri, atunci înălțimea lui nu este mai mică decât (egalitatea se realizează dacă este o putere de 2) [7] . În consecință, numărul Strahler-Filosofov pentru un sistem fluvial cu afluenți nu depășește [8] .
Dimensiunea izometrică a unui cub parțial cu vârfuri nu este mai mică decât numărul de muchii ale cubului, nu mai mult decât este valabil și egalitatea atunci când cubul parțial este un grafic hipercub [9] .
Conform teoremei lui Ramsey , un grafic de vârf nedirecționat conține fie o clică , fie o mulțime independentă a cărei dimensiune depinde logaritmic de Mărimea exactă a acestei mulțimi este necunoscută, dar cele mai bune estimări în prezent conțin logaritmi binari.
Numărul de runde ale jocului conform sistemului olimpic este egal cu logaritmul binar al numărului de participanți la competiție [10] .
În teoria muzicii , pentru a rezolva problema câte părți să împărțim o octava , este necesar să găsim o aproximare rațională pentru Dacă extindem acest număr într-o fracție continuă , atunci a treia fracție convergentă (7/12) ne permite pentru a justifica împărțirea clasică a octavei în 12 semitonuri [11] .