Sistem de coordonate dreptunghiular

Sistem de coordonate dreptunghiulare - un sistem de coordonate rectiliniu cu axe reciproc perpendiculare pe un plan sau în spațiu. Cel mai simplu și, prin urmare, cel mai des folosit sistem de coordonate. Se generalizeaza foarte usor si direct la spatii de orice dimensiune, ceea ce contribuie si la aplicarea sa larga.

Termeni înrudiți: Cartezianul este denumit în mod obișnuit un sistem de coordonate dreptunghiular cu aceleași scale de-a lungul axelor (numit după René Descartes ), iar sistemul general de coordonate carteziene este denumit sistem de coordonate afine (nu neapărat dreptunghiular).

Istorie

René Descartes a fost primul care a introdus un sistem de coordonate dreptunghiulare în Geometria sa în 1637 . Prin urmare, sistemul de coordonate dreptunghiular este numit și - sistem de coordonate carteziene . Metoda de coordonate pentru descrierea obiectelor geometrice a pus bazele geometriei analitice. Pierre Fermat a contribuit, de asemenea, la dezvoltarea metodei coordonate , dar lucrarea sa a fost publicată pentru prima dată după moartea sa [1] . Descartes și Fermat au folosit metoda coordonatelor doar în plan. Clericul francez Nicholas Oresme a folosit construcții asemănătoare coordonatelor carteziene cu mult înainte de vremea lui Descartes și Fermat [2] .

Dezvoltarea sistemului de coordonate carteziene ar juca un rol major în dezvoltarea calculului de către Isaac Newton și Leibniz [3] . Descrierea în două coordonate a planului a fost generalizată ulterior în conceptul de spații vectoriale [4] .

Metoda coordonatelor pentru spațiul tridimensional a fost aplicată pentru prima dată de Leonhard Euler deja în secolul al XVIII-lea. Utilizarea orturilor pare să revină la Hamilton și Maxwell .

Sistem de coordonate dreptunghiular pe plan

Un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan este format din două axe de coordonate reciproc perpendiculare și . Axele de coordonate se intersectează într-un punct numit origine și fiecare axă are o direcție pozitivă. $X'X$ $Da$ $O$

Poziția unui punct pe plan este determinată de două coordonate și . Coordonata este egală cu lungimea segmentului , coordonata este lungimea segmentului în unitățile selectate. Segmentează și sunt definite prin linii trasate dintr-un punct paralel cu axele și respectiv. $A$ $X$ $y$ $X$ $OB$ $y$ $OC$ $OB$ $OC$ $A$ $Da$ $X'X$

În acest caz, un semn minus este atribuit coordonatei dacă punctul se află pe rază (și nu pe rază , ca în figură). Un semn minus este atribuit coordonatei dacă punctul se află pe rază . Astfel, și sunt direcțiile negative ale axelor de coordonate (fiecare axă de coordonate este tratată ca o axă reală ). $X$ $B$ $BOU'$ $BOU$ $y$ $C$ $OY'$ $BOU'$ $OY'$

Axa se numește axa de abscisă ( lat. absciss - lit. „ tăiat, separat ” [5] ), iar axa se numește axă de ordonate ( lat. ordinatus - lit. „ ordonat, stabilit într-o anumită ordine ” [ 5] ). Coordonata se numeste abscisa punctului , coordonata este ordonata punctului . $X'X$ $Da$ $X$ $A$ $y$ $A$

Simbolic este scris astfel:

A(x,\;y)

A = (x,\;y)

sau indicați apartenența coordonatelor la un anumit punct folosind indicele:

x_A, x_B

etc.

În sistemul de coordonate din dreapta , direcția pozitivă a axelor este aleasă astfel încât atunci când axa este îndreptată în sus, axa să se uite spre dreapta. De obicei, se obișnuiește să se utilizeze sisteme de coordonate pentru dreapta (dacă nu se specifică altfel sau nu este evident - de exemplu, dintr-un desen; uneori, dintr-un motiv oarecare, este mai convenabil să folosești în continuare un sistem de coordonate pentru stânga ). $Da$ $X'X$
Cele patru unghiuri (I, II, III, IV) formate de axele de coordonate și se numesc unghiuri de coordonate , sferturi sau $X'X$ $Da$
cadrane <plan> (vezi Fig. 1).
- Punctele din interiorul unghiului de coordonate I au abscise și ordonate pozitive.
- Punctele din interiorul unghiului de coordonate II au abscise negative și ordonate pozitive.
- Punctele din interiorul unghiului de coordonate III au abscise și ordonate negative
- Punctele din interiorul unghiului de coordonate IV au abscise pozitive și ordonate negative.

Sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu

Un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu (în acest paragraf se înțelege spațiu tridimensional; pentru mai multe spații multidimensionale, vezi mai jos) este format din trei axe de coordonate reciproc perpendiculare și . Axele de coordonate se intersectează în punctul , care se numește originea coordonatelor, pe fiecare axă este selectată direcția pozitivă indicată de săgeți, iar unitatea de măsură a segmentelor de pe axe. Unitățile sunt de obicei (nu neapărat [6] ) aceleași pentru toate axele. - axa absciselor, - axa ordonatelor, - axa aplicate. $BOU$ $OY$ $oz$ $O$ $BOU$ $OY$ $oz$

Poziția unui punct în spațiu este determinată de trei coordonate și . Coordonata este egală cu lungimea segmentului , coordonata este egală cu lungimea segmentului , coordonata este lungimea segmentului în unitățile de măsură selectate. Segmentele , și sunt determinate de plane trasate dintr-un punct paralel cu planele , și respectiv. $A$ $X$ $y$ $z$ $X$ $OB$ $y$ $OC$ $z$ $OD$ $OB$ $OC$ $OD$ $A$ $YOZ$ $XOZ$ $XOY$

Coordonata se numește abscisa punctului ,

X

A

coordonata - punct de ordonata ,

y

A

coordonate - aplicate ( lat. aplicata - adiacent) [7] puncte .

z

A

Simbolic este scris astfel:

A(x,\;y,\;z)

A = (x,\;y,\;z)

sau legați o înregistrare de coordonate la un punct specific folosind un index:

x_A,\;y_A,\;z_A

etc.

Fiecare axă este considerată drept o linie numerică , adică are o direcție pozitivă, iar valorile coordonatelor negative sunt atribuite punctelor situate pe raza negativă (distanța este luată cu semnul minus). Adică, dacă, de exemplu, punctul nu se află ca în figură - pe fascicul , ci pe continuarea sa în direcția opusă față de punct (pe partea negativă a axei ), atunci abscisa punctului ar fi negativ (minus distanța ). La fel și pentru celelalte două axe. $B$ $BOU$ $O$ $BOU$ $X$ $A$ $OB$

Toate sistemele de coordonate dreptunghiulare din spațiul tridimensional sunt împărțite în două clase - dreapta (se folosesc și termenii pozitiv , standard ) și stânga . De obicei, în mod implicit, ei încearcă să folosească sisteme de coordonate drepte, iar atunci când sunt afișate grafic, sunt plasați, dacă este posibil, într-una din mai multe poziții obișnuite (tradiționale). (Figura 2 arată sistemul de coordonate corect). Sistemele de coordonate dreapta și stânga nu pot fi combinate prin rotații [8] astfel încât axele corespunzătoare (și direcțiile acestora) să coincidă. Puteți determina cărei clase îi aparține un anumit sistem de coordonate folosind regula din dreapta, regula șurubului etc. (direcția pozitivă a axelor este aleasă astfel încât, atunci când axa este rotită în sens invers acelor de ceasornic cu 90 °, direcția sa pozitivă să coincidă cu sensul pozitiv al axei , dacă această rotație este observată din partea direcției pozitive a axei ). $BOU$ $OY$ $oz$

Oricare dintre cele opt regiuni în care spațiul este împărțit la trei planuri de coordonate reciproc perpendiculare se numește octant .

Sistem de coordonate dreptunghiulare în spațiu multidimensional

Sistemul de coordonate dreptunghiular poate fi folosit și într-un spațiu de orice dimensiune finită în același mod în care se face pentru un spațiu tridimensional. Numărul de axe de coordonate în acest caz este egal cu dimensiunea spațiului (în această secțiune îl vom nota ca ). $n$

Coordonatele sunt de obicei desemnate [9] nu prin litere diferite, ci prin aceeași literă cu un index numeric. Cel mai adesea este:

x_1, x_2, x_3,\dots x_n.

Pentru a desemna o coordonată arbitrară din acest set, se folosește un index de litere: $i$

x_{i},

și adesea notația este folosită și pentru a desemna întreaga mulțime, ceea ce implică faptul că indicele parcurge întregul set de valori: . $x_{i},$ $i = 1, 2, 3, \dots n$

În orice dimensiune a spațiului, sistemele de coordonate dreptunghiulare sunt împărțite în două clase, dreapta și stânga (sau pozitive și negative). Pentru spațiile multidimensionale, unul dintre sistemele de coordonate este numit arbitrar (condițional) drept, iar restul sunt dreapta sau stânga, în funcție de aceeași orientare sau nu [10] .

O generalizare a conceptelor de cadran bidimensional și octant tridimensional pentru spațiul euclidian -dimensional este un orthant sau hiperoctant. $n$

Coordonate vectoriale dreptunghiulare

Pentru a determina coordonatele dreptunghiulare ale unui vector (folosit pentru a reprezenta vectori de orice dimensiune), se poate porni de la faptul că coordonatele unui vector (segment direcționat), al cărui început se află la origine, coincid cu coordonatele acestuia. sfârşitul [11] .

Astfel, de exemplu, coordonatele din Fig. 1 sunt coordonatele vectorului . $(X y)$ $\vec{OA}$

Pentru vectorii (segmente direcționate) a căror origine nu coincide cu originea, coordonatele dreptunghiulare pot fi determinate în unul din două moduri:

Vectorul poate fi mutat astfel încât originea lui să coincidă cu originea). Apoi coordonatele sale sunt determinate în modul descris la începutul paragrafului: coordonatele unui vector translate astfel încât originea lui să coincidă cu originea sunt coordonatele sfârșitului său.
În schimb, puteți scădea pur și simplu din coordonatele sfârșitului vectorului (segmentul direcționat) coordonatele începutului acestuia.

Pentru coordonatele dreptunghiulare, conceptul de coordonată vectorială coincide cu conceptul de proiecție ortogonală a unui vector pe direcția axei de coordonate corespunzătoare.

În coordonate dreptunghiulare, toate operațiile pe vectori sunt scrise foarte simplu:

Adunarea și înmulțirea cu un scalar:

\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_n + b_n)

(\mathbf a + \mathbf b)_i = a_i + b_i,

c\ \mathbf a = (c\ a_1, c\ a_2, c\ a_3, \dots, c\ a_n)

(c\ \mathbf a)_i = c\ a_i.

și de aici scăderea și împărțirea cu un scalar:

\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, \dots, a_n - b_n)

(\mathbf a - \mathbf b)_i = a_i - b_i,

\frac{\mathbf a}{\lambda} = \Big(\frac{a_1}{\lambda}, \frac{a_2}{\lambda}, \frac{a_3}{\lambda}, \dots, \frac {a_n}{\lambda}\Big)

\Big(\frac{\mathbf a}{\lambda}\Big)_i = \frac{a_i}{\lambda}.

(Acest lucru este valabil pentru orice dimensiune n și chiar, împreună cu coordonatele dreptunghiulare, pentru coordonatele oblice).

Produs punctual :

\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \dots + a_n b_n

\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i,

(Numai în coordonate dreptunghiulare cu scară unitară pe toate axele).

Prin produsul scalar, puteți calcula lungimea vectorului

|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}

și unghiul dintre vectori

\angle{(\mathbf a, \mathbf b)} = \mathrm{arccos}\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|}

Munca externa :

(\mathbf a \and \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i

pentru orice dimensiune a spațiului,

Produs vectorial (numai pentru același spațiu tridimensional pe care este definit):

(\mathbf a \times \mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y

(\mathbf a \times \mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z

(\mathbf a \times \mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x

Evident, toate acestea permit, dacă este necesar, reducerea tuturor operațiilor pe vectori la operații destul de simple pe numere.

Horts

Un sistem de coordonate dreptunghiular [12] (de orice dimensiune) este, de asemenea, descris [13] printr-un set de orte (vectori unitari) codirectional cu axele de coordonate. Numărul de orte este egal cu dimensiunea sistemului de coordonate și toate sunt perpendiculare între ele. Astfel de orte constituie o bază , de altfel, ortonormală [14] .

În cazul tridimensional, astfel de vectori sunt de obicei notați

\mathbf{i}

, și

\mathbf {j}

\mathbf {k}

\mathbf{e}_x

, și .

\mathbf{e}_y

\mathbf{e}_z

Se poate folosi și notația săgeată ( , și sau , și ) sau altă notație în conformitate cu modul obișnuit de notare a vectorilor într-una sau alta literatură. $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $\vec{e}_z$

Mai mult, în cazul unui sistem de coordonate drepte sunt valabile următoarele formule cu produse vectoriale ale vectorilor:

$[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};$
$[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};$
$[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.$

Pentru dimensiuni mai mari de 3 (sau pentru cazul general când dimensiunea poate fi oricare), este obișnuit ca vectorii unitari să folosească în schimb notația cu indici numerici, destul de des [15] este

\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3,\dots \mathbf{e}_n,

unde n este dimensiunea spațiului.

Un vector de orice dimensiune este descompus în funcție de bază (coordonatele servesc ca coeficienți de expansiune):

\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + \dots + a_n\mathbf e_n

\mathbf a = \sum\limits_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,

iar pentru o bază ortonormală, coordonatele sunt, de asemenea, foarte ușor de găsit prin produse scalare cu orturi:

a_i = \mathbf a \cdot \mathbf e_i.

Vezi și

Note

↑ Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. Geometrie analitică . Enciclopaedia Britannica . Preluat la 6 august 2017. Arhivat din original la 6 august 2017. (nedefinit)
↑ Kent, Alexander J. The Routledge Handbook of Mapping and Cartography : [ ing. ] / Alexander J. Kent, Peter Vujakovic. — Routledge, 2017-10-04. — ISBN 9781317568216 . Arhivat pe 24 noiembrie 2021 la Wayback Machine
↑ Un tur al calculului, David Berlinski
↑ Axler, Sheldon. Algebră liniară făcută corect - Springer. - 2015. - P. 1. - ISBN 978-3-319-11079-0 . - doi : 10.1007/978-3-319-11080-6 .
↑ 1 2 Dicționar de cuvinte străine. — M.: Rus. yaz., 1989. - 624 p. ISBN 5-200-00408-8
↑ Uneori, este pur și simplu imposibil dacă valorile de diferite dimensiuni fizice sunt reprezentate de-a lungul axelor; totuși, din punct de vedere geometric, această remarcă nu este foarte semnificativă, deoarece atunci se pot considera scalele de-a lungul axelor ca fiind condiționat egale (de exemplu, scale astfel încât unitățile să coincidă atunci când sunt reprezentate pe un plan geometric).
↑ Dicționar de cuvinte străine. - M .: „ Limba rusă ”, 1989. - 624 p. ISBN 5-200-00408-8
↑ Puteți transforma un sistem de coordonate din dreapta într-unul din stânga și invers folosind oglindire.
↑ Dar nu neapărat: problema notării este determinată în cele din urmă de aplicația particulară.
↑ Acest lucru poate fi aflat pe baza faptului dacă este posibil prin unele rotații (și translații, dacă originile coordonatelor nu coincid) să combine un sistem de coordonate dat cu unul a cărui orientare este dreptață prin definiție. Dacă da, atunci acest sistem este considerat drept, dacă nu, atunci stânga. Este și mai ușor din punct de vedere tehnic să aflați prin semnul determinantului matricei de transformare de la baza corectă la cea dată.
↑ Sfârșitul segmentului direcționat este un punct; coordonatele dreptunghiulare ale unui punct sunt discutate în articolul de mai sus.
↑ În acest paragraf, ne vom referi la sistemul de coordonate carteziene obișnuit, adică un sistem de coordonate dreptunghiular cu aceeași scară de-a lungul tuturor axelor; luarea în considerare a sistemelor de coordonate cu scale diferite de-a lungul axelor diferite ar introduce aici complicații formale nejustificate, cu un câștig destul de mic în conținut.
↑ Această descriere este, evident, complet echivalentă cu setarea obișnuită a axelor de coordonate, trebuie doar să specificați originea coordonatelor (aceasta din urmă este adesea evidentă în mod implicit).
↑ Dacă refuzați condiția de scară egală a axelor de coordonate - doar o bază ortogonală .
↑ Cu toate acestea, alte litere pot fi adesea folosite în locul literei e . De regulă, acest lucru este menționat în mod explicit.

Link -uri

V. I. Gervids. Modelul sistemului de coordonate carteziene (flash). NRNU MEPhI (10.03.2011). Preluat: 3 mai 2011. (nedefinit)

Sisteme de coordonate
Numele coordonatelor	Abscisă Ordonată Aplicație
Tipuri de sisteme de coordonate	Sistem de coordonate rectiliniu Sistem de coordonate curbiliniu
Coordonate 2D	Coordonate biunghiulare Coordonate bicentrice Coordonate hiperbolice Coordonate polare Coordonate bipolare Coordonate parabolice Coordonate eliptice Coordonate tetraciclice Coordonate triliniare
Coordonatele 3D	Coordonate cilindrice Coordonate sferice Coordonatele bisferice Coordonatele toroidale Coordonate parabolice cilindrice Coordonate bicilindrice Coordonate elipsoidale Coordonate conice Coordonatele pentasferice Sistemul de coordonate dipolar
$n$ -coordonate dimensionale	coordonate carteziene Coordonate afine Coordonate proiective Coordonatele Plücker coordonate baricentrice
Coordonatele fizice	Coordonatele Rindler Coordonate născute Sistemul de coordonate ceresc Coordonatele geografice Sistemul de coordonate ortodomic principal
Definiții înrudite	Metoda coordonatelor Origine Axa de coordonate Vector Orth sistem de referință Benchmark Coeficienți lame Tensor metric