Dualitatea Pontryagin

Dualitatea Pontryagin este o generalizare a transformării Fourier la grupuri abeliene compacte local.

Clădire

Fie G  un grup topologic abelian compact local . În acest caz, grupul de caractere G ( al homomorfismelor de la G la U(1) ) va fi de asemenea compact local și se numește grupul dual Pontryagin ( G^ ).

Conform teoremei dualității lui Pontryagin , grupul G^^ este izomorf din punct de vedere canonic cu G , ceea ce justifică utilizarea termenului de dualitate . Cuvântul „canonic” înseamnă că există o mapare naturală de la G la G^^ , în special, este functorială . Această mapare este definită după cum urmează:

Cu alte cuvinte, un element x al lui G este asociat cu o mapare de la G^ la U(1) , adică un element al lui G^^ .

Motivație

Dualitatea Pontryagin descrie uniform o serie de observații binecunoscute legate de funcții pe axa reală sau pe un grup abelian finit:

• funcțiile periodice cu valori complexe suficient de netede pe axa reală au o expansiune într- o serie Fourier și pot fi restaurate din această expansiune
• funcțiile cu valori complexe care sunt suficient de netede și satisfac anumite condiții de funcție descrescătoare pe linia reală au o imagine Fourier (aceasta este o funcție definită și pe întreaga linie reală) și pot fi restaurate din aceasta
• Funcțiile cu valori complexe pe un grup Abelian finit au și o transformată Fourier discretă , care este o funcție pe grupul dual (grupul dual este izomorf cu cel original, dar nu într-un mod canonic). Din nou, o funcție poate fi restaurată din imaginea sa.
• un caz special binecunoscut al paragrafului anterior, când o funcție și imaginea ei sunt luate în considerare pe inelul de reziduuri Z_p. Acest caz se referă de obicei la transformarea Fourier discretă .

Teoria dualității a lui Pontryagin se bazează în esență pe teoria grupurilor duale la grupurile abeliene compacte local. Această dualitate amintește în multe feluri de conexiunea dintre un spațiu vectorial de dimensiuni finite V și spațiul dual V*. Nu există izomorfism canonic între ele, dar algebrele transformărilor lor liniare ( algebre matrice ) sunt izomorfe canonic (un izomorfism este o transpunere a unei matrice ). În mod similar, nu există izomorfism între grupul G și dualul său G^ în cazul general, dar algebrele lor de grup sunt izomorfe, iar izomorfismul canonic care le conectează este transformata Fourier.

Exemple

Iată exemple de grupuri abeliene compacte la nivel local:

• R n , considerat ca un grup prin adunare.
• R + , mulțimea numerelor reale pozitive considerate ca grup de înmulțire. Izomorf la R .
• Orice grup abelian finit cu topologie discretă . Orice astfel de grup poate fi reprezentat ca un produs al grupărilor ciclice.
• Mulțimea numerelor întregi Z considerată ca un grup prin adunare.
• Câmpul Z p al numerelor p-adice ca grup sub adunare cu topologia p-adice standard.

Grupul U(1) și grupul de numere întregi sunt duale între ele, iar grupurile ( aditive ) de numere reale și complexe sunt duale cu ele însele. Toate grupurile abeliene finite sunt, de asemenea, auto-duale, în special grupurile ciclice finite .

Măsură Haar

Una dintre cele mai importante proprietăți ale grupurilor compacte local este că au o măsură naturală unică (până la o constantă globală) numită măsura Haar. Folosind această măsură, se poate determina „mărimea” submulțumirilor Borel ale grupului. Submulțimile Borel sunt elemente ale σ-algebrei generate de submulțimile închise ale lui G .

Mai precis, există o măsură Haar dreaptă unică (până la o constantă) cu invarianță dreaptă μ( Ax ) = μ( A ). Aici x  este un element de grup și A  este o submulțime Borel a lui G.

Măsura Haar introdusă pe G ne permite să introducem noțiunea de integrală a funcțiilor Borel cu valori complexe definite pe un grup. În special, putem considera spațiile L p definite astfel:

Deoarece măsura Haar este unică până la o constantă, spațiile introduse nu depind de alegerea unei anumite măsuri, adică depind doar de grupul G în sine , deci este logic să le notăm L p (G) . Pe de altă parte, norma asupra acestor spații depinde de alegerea măsurii.

Literatură

Morris Sydney. Dualitatea Pontryagin și structura grupurilor abeliene compacte la nivel local. - Moscova: Mir, 1980. - S. 104.