Cota de unitate

O fracție de unu (o alicotă) este un număr rațional sub forma unei fracții al cărei numărător este unul și numitorul este un număr întreg pozitiv . Fracția unitară este astfel reciproca unui număr întreg pozitiv, 1/ n . Exemplele sunt 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 etc.

Aritmetică elementară

Înmulțirea oricăror două fracții de unu dă o fracție de unu:

{\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.

Cu toate acestea, adunarea , scăderea sau împărțirea a două fracții ale unei unități dă în general un rezultat diferit de fracțiile unei unități:

{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}},

{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {yx}{xy}},

{\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.

Aritmetică modulară

Fracțiile de unu joacă un rol important în compararea modulo , deoarece pot fi utilizate pentru a reduce diviziunea modulo la calculul celui mai mare divizor comun. În special, să presupunem că dorim să calculăm rezultatul împărțirii cu x modulo y . Pentru ca împărțirea cu x să fie definită modulo y , x și y trebuie să fie între prime . Apoi, folosind algoritmul Euclid extins pentru găsirea celui mai mare divizor comun , putem găsi a și b astfel încât

\displaystyle ax+by=1,

de unde rezultă

\displaystyle axe\equiv 1{\pmod {y)),

care este echivalent cu

a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.

Astfel, pentru a împărți cu x (modulo y ), trebuie pur și simplu să înmulțim cu a .

Suma finală a fracțiilor unei unități

Orice număr rațional pozitiv poate fi reprezentat ca o sumă de fracții de unu în mai multe moduri. De exemplu,

{\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.

Vechii egipteni foloseau sume ale diferitelor fracții ale uneia pentru a scrie numere raționale , iar astfel de sume sunt adesea numite fracții egiptene . Până în prezent, există interes pentru analiza metodelor folosite de antici pentru a selecta posibile reprezentări și a calcula astfel de reprezentări [1] . Tema fracțiilor egiptene este de asemenea de interes pentru teoria numerelor modernă . De exemplu, conjectura Erdős-Graham și conjectura Erdős-Strauss se referă la sume de fracții de unități, la fel ca și definiția numerelor Ore armonice .

În teoria grupurilor geometrice, grupurile de triunghiuri sunt clasificate ca euclidiene, sferice și hiperbolice, în funcție de dacă suma fracțiilor unitare asociate acestora este egală cu unu, mai mică de unu sau mai mare decât unu.

Secvențe de fracții de unu

Multe serii infinite binecunoscute au termeni sub formă de fracții de unu. Printre ei:

Seria armonică este suma tuturor fracțiilor pozitive ale lui unu. Această sumă diverge și sumele ei parțiale

{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}

sunt aproape aproximate de ln n + γ pe măsură ce n crește .

Problema de la Basel consideră suma pătratelor fracțiilor de unu, care converge către π 2 /6.
Constanta Aperi este suma cuburilor fracțiilor de unu.
Progresiile geometrice și seria Fibonacci inversă sunt exemple suplimentare de fracții dintr-o serie.

Matrici fracționale

Matricea Hilbert are numere ca elemente

B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1)).

Are o proprietate neobișnuită - toate elementele matricei sale inverse sunt numere întregi [2] . Într-un mod similar, Richardson [3] a definit o matrice cu elemente

C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1)}},

unde F i denotă i --lea număr Fibonacci . El a numit această matrice „matricea Filbert” și are aceeași proprietate [4] .

Fracții adiacente

Două fracții sunt numite adiacente dacă diferența lor este o fracție de unu [5] [6] .

Fracții de unitate în teoria probabilității și statistică

Într -o distribuție uniformă discretă, toate probabilitățile sunt o fracțiune de unu. Conform principiului indiferenței , probabilități de acest tip apar adesea în calculele statistice [7] . În plus, legea lui Zipf afirmă că pentru multe evenimente observabile, inclusiv selecția obiectelor dintr-o secvență ordonată, probabilitatea ca al n -lea obiect să fie selectat este proporțională cu o fracțiune de 1/ n [8] .

Fracții de unitate în fizică

Nivelurile de energie ale fotonilor care pot fi absorbiți sau emiși de un atom de hidrogen, conform formulei Rydberg , sunt proporționale cu diferența dintre două fracții ale uneia. O explicație pentru acest fenomen este dată de modelul Bohr , conform căruia nivelurile de energie ale orbitalilor de electroni dintr-un atom de hidrogen sunt invers proporționale cu pătratul fracțiilor de unitate, iar energia fotonului este cuantificată prin diferența de nivel [9] .

Arthur Eddington a afirmat că constanta structurii fine este o fracțiune de unu, mai întâi 1/136 și apoi 1/137. Această afirmație s-a dovedit a fi incorectă, iar estimarea modernă a valorii constantei structurii fine este (până la 6 zecimale) 1/137,036 [10] .

Vezi și

Fracții egiptene

Note

↑ Guy, 2004 , p. 252-262.
↑ Choi, 1983 , p. 301-312.
↑ Richardson, 2001 .
↑ Richardson, 2001 , p. 268-275.
↑ Fracție adiacentă pe site -ul PlanetMath .
^ Weisstein , Eric W. Adjacent Fraction pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Welsh, 1996 , p. 66.
↑ Saichev, Malevergne, Sornette, 2009 .
↑ Yang, Hamilton, 2009 , p. 81-86.
↑ Kilmister, 1994 .

Literatură

Richard K Guy. Probleme nerezolvate în teoria numerelor. — al 3-lea. - Springer-Verlag, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Omul Duen Choi. Trucuri sau răsfățuri cu matricea Hilbert // The American Mathematical Monthly. - 1983. - T. 90 , nr. 5 . - doi : 10.2307/2975779 .
Thomas M. Richardson. Matricea Filbert // Fibonacci Quarterly . - 2001. - T. 39 , nr. 3 . - Cod biblic . - arXiv : math.RA/9905079 .
Fujia Yang, Joseph H. Hamilton. Fizica atomică și nucleară modernă. - World Scientific, 2009. - ISBN 978-981-283-678-6 .
Clive William Kilmister. Căutarea lui Eddington pentru o teorie fundamentală: o cheie pentru univers. - Cambridge University Press, 1994. - ISBN 978-0-521-37165-0 .
Alan H. Welsh. Aspecte ale inferenței statistice. - John Wiley and Sons, 1996. - T. 246. - (Seria Wiley în Probabilitate și Statistică). — ISBN 978-0-471-11591-5 .
Alexander Saichev, Yannick Malevergne, Didier Sornette. Teoria legii lui Zipf și dincolo. - Springer-Verlag, 2009. - T. 632. - (Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems). - ISBN 978-3-642-02945-5 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Unit Fraction (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .