Star Hodge

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 7 septembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Steaua Hodge este un operator liniar important de la spațiul vectorilor q până la spațiul formelor ( n - q ) . Tensorul metric definește un izomorfism canonic între spațiile formelor q și vectorilor q , deci, de obicei, steaua Hodge este un operator din spațiul formelor diferențiale de dimensiune q până la spațiul formelor de dimensiune n - q.

*\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\la \Lambda ^{{nq}}(T^{*}M)

Acest operator a fost introdus de William Hodge .

Definiție

Definiții auxiliare

Determinați forma volumului

\Omega =f(X)dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{{n-1}}

\Omega _{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f(X)\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}

unde este un scalar nenegativ pe varietate și este un simbol complet antisimetric al . . Chiar și în absența unei metrici, dacă , este posibil să se determine componentele contravariante ale formei volumului. $f(X):M\la {\mathbb {R}}$ $M$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{0\ldots n-1}}=+1$ $f(X)>0$

{\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X))){\frac {\partial }{\partial {X^{0))))\wedge \cdots \wedge {\frac {\partial }{\partial {}{X^{{n-1))))}

{\check {\Omega }}^{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f^{{-1}}(X)\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n} }}

aici simbolul antisimetric se potrivește . $\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$

În prezența unei metrici cu indici măriți, aceasta poate diferi prin semn: . Aici și mai departe $\Omega$ ${\verifica {\Omega ))$ $\Omega =\sigma {\verifica {\Omega ))$ $\sigma =\operatorname{sgn} \det(g_{{mk}})$

Introducem operația de antisimetrizare :

A_{{[m_{1}\ldots m_{q}]}}={\frac {1}{q!}}\sum _{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))) ) (-1)^{{\operatorname{sgn}(m_{1}\ldots m_{q))}}A_{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))))

. Însumarea se efectuează peste toate permutările indicilor încadrați între paranteze drepte, ținând cont de paritatea acestora . Antisimetrizarea indicilor superiori este definită în mod similar; se poate antisimetriza doar peste un grup de indici de acelasi tip. Exemple: ; .

\sigma (m_{1}\ldots m_{q})

\operatorname{sgn}(\sigma )

A_{{k[lm]}}={\frac {1}{2!}}(A_{{klm}}-A_{{kml}})

A_{k}^{{[l}}B_{p}^{{m]}}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m }-A_{k}^{m}B_{p}^{l})

Să ne ocupăm acum de operația de convoluție. Când pliați un set de indici antisimetrici, este convenabil să introduceți următoarea notație:

A^{{A\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor B\ldots }}{}_{{C\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor D\ ldots }}={\frac {1}{k!}}A^{{A\ldots K_{1}\ldots K_{k}B\ldots }}{}_{{C\ldots K_{1}\ ldots K_{k}D\ldots }}

Dacă tensorul este antisimetric atât în indici de colaps superiori cât și inferiori, este posibil să se însumeze peste indici încadrați între paranteze doar peste mulțimi ordonate fără a împărți cu , acest lucru se datorează faptului că diferite seturi de indici care diferă doar în ordinea indicii dau aceeasi contributie la suma . $\lfloor\;\rfloor$ $k!$ $K_{1}\ldots K_{k}$

Acum definim tensorii:

(A,B)_{{M_{{k+1}}\ldots M_{q}}}^{{(k)}}{}^{{{N_{{k+1}}\ldots N_{p }}}=A_{{\ldots K_{1}\ldots K_{k}\rfloor M_{{k+1}}\ldots M_{q}}}B^{{\ldots K_{1}\ldots K_ {k}\retaj N_{{k+1}}\ldots N_{p}}}

(A,B)_{{M_{1}\ldots M_{{qk))))^{{\subline {(k)}}}{}^{{N_{1}\ldots N_{{pk} }}}=A_{{M_{1}\ldots M_{{qk}}\ldots K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }}B^{{N_{1}\ldots N_{{pk} }\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }}

Indicele (k) indică numărul de indici peste care a fost efectuată convoluția. Acolo unde acest lucru nu poate duce la ambiguitate, (k) va fi omis. Tensorii de mai sus pot diferi (sau nu pot diferi) doar prin semn.

Definiția generală a unei stele Hodge

Folosind forma de volum și polivectorul , putem introduce o operație care transformă un polivector al unui grad într-o formă diferențială a unui grad și o operație inversă care transformă o formă a unui grad într-un polivector al unui grad . $\Omega$ ${\verifica {\Omega ))$ $*$ $B$ $p$ $*B$ $np$ $*^{{-1}}$ $A$ $q$ $*^{{-1}}A$ $nq$

*B=(\Omega,B)^{{(p)}}

*^{{-1}}A=(A,{\verifica {\Omega }})^{{\subliniat {(q)))}

Această operație se numește steaua Hodge sau dualitatea Hodge . În componente, arată astfel:

(*B)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {f(X)}{q!}}B^{{m_{1}\ldots m_{ q}}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Deoarece și , am stabilit o corespondență unu-la-unu între formele diferențiale de gradul q și polivectorii de gradul nq $*^{{-1}}*B=B$ $**^{{-1}}A=A$

Pe lângă operatorii și , introducem o pereche de operatori: și , care diferă de aceștia prin semn. $*$ $*^{{-1}}$ ${\Verifica {*}}$ ${\verifica {*}}^{{-1}}$

{\verifica {*}}B=(\Omega ,B)^{{\subliniat {(p)))}

{\check {*}}^{{-1}}A=(A,{\check {\Omega }})^{{(q)))

Steaua lui Hodge în prezența metricii

Fie dată o metrică pe varietatea noastră de dimensiune n . Să notăm . $g_{{mk}}$ $g=\det(g_{{mk}})$

Elementul de volum sau forma de volum generată de metrică $g_{{mk}}$ este forma În componente: $\Omega ={\sqrt {|g|}}dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}={\sqrt {|g|}}dX^{n}$

\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\sqrt {|g|}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

\Omega ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\frac ({\sqrt {|g|}}}{g}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n }}}={\frac {\operatorname{sgn}(g)}{{\sqrt {|g|}}}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Deoarece avem o metrică, putem face un izomorfism canonic între polivectori și forme diferențiale:

A_{{m_{1}\ldots m_{n}}}=A^{{l_{1}\ldots l_{n}}}g_{{m_{1}l_{1}}}\cdots g_{{ m_{n}l_{n}}}

Prin urmare, putem stabili o corespondență unu-la-unu între formele q și formele (nq). $(*A)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {1}{q!}}\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n} }}A_{{l_{1}\ldots l_{q}}}g^{{m_{1}l_{1}}}\cdots g^{{m_{q}l_{q}}}$

Operatori suplimentari

Pe polivectori , puteți introduce operatorul de luare a divergenței , care reduce gradul polivectorului cu 1:

\delta =*^{{-1}}d*

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))={\frac {1}{f(X)}}\partial _{{M_{q}}}( f(X)A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

În prezența unei metrici, operatorul de divergență este exprimat în termenii operatorului derivat covariant , definit folosind o conexiune simetrică compatibilă cu metrica : $\delta$ $\nabla$

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))=(\nabla ,A)^{{\underline {(1)}M_{1}\ldots M_{{ q-1}}}}=\nabla _{{M_{q}}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}}={\frac {1}{{\sqrt {|g| }}}}\partial _{{M_{q}}}({\sqrt {|g|}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

Uneori, operația ( derivată exterioară ) se numește gradient al formelor diferențiale, iar operația se numește divergență. Pentru o formă 1, operația definește divergența obișnuită (în prezența unei metrici, formele diferențiale și polivectorul sunt identificate folosind izomorfismul canonic ) $d$ $\delta$ $\delta$

Laplacianul formei - este dat de: $\Delta$ $q$ $A$

\Delta A=(-1)^{q}(\delta d+d\delta )A

Pentru un scalar (forma 0), laplacianul este operatorul Laplace-Beltrami :

\Delta \varphi =\nabla _{M}\nabla ^{M}\varphi ={\frac {1}({\sqrt {|g|)))}\partial _{M}{\sqrt {|g |}}g^{{MN}}\partial _{N}\varphi

Pentru scalar . Dacă , atunci conform formulei Bochner pentru o metrică arbitrară în , apar termeni suplimentari care sunt liniari ca curbură. Deci în caz $\Delta =\nabla _{M}\nabla ^{M}$ $q>0$ $\Delta$ $q=1$

(\Delta A)_{K}=\nabla _{M}\nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}

unde este tensorul Ricci construit dintr-o conexiune simetrică compatibilă cu metrica. $R_{K}{}^{M}$

Surse

Prelegeri de M. G. Ivanov la cursul „Metode geometrice în teoria clasică a câmpului”. http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html