Număr ideal

Numerele ideale au fost introduse în 1847 de către matematicianul german Ernst Eduard Kummer [1] și au servit drept punct de plecare pentru determinarea idealurilor inelelor introduse mai târziu de Dedekind . În prezent, acest termen nu este folosit și a fost înlocuit cu conceptul de ideal.

Un ideal dintr-un inel este principal dacă este format din elemente care sunt multipli ai unui element, altfel este neprincipal . Astfel, fiecare număr al inelului poate fi asociat cu idealul principal, în timp ce putem presupune existența unor numere ideale, care ar corespunde unui ideal arbitrar.

Exemplu

Fie y rădăcina ecuației y ² + y + 6 = 0, atunci inelul de numere întregi al câmpului este , adică toate expresiile de forma a + prin , unde a și b sunt elemente ale inelului de numere întregi . Un exemplu de ideal non-principal într-un astfel de inel este 2 a + yb , unde a și b sunt numere întregi; cubul acestui ideal este principal, grupul de clase este ciclic de ordinul 3. Câmpul de clasă corespunzător se obține prin adăugarea tuturor elementelor w de forma w ³ − w − 1 = 0 la , ceea ce dă . Numărul ideal al idealului neprincipal 2 a + yb este . Deoarece satisface ecuația , este un întreg algebric. ${\mathbb {Q}}(y)$ $\mathbb {Z} [y]$ ${\mathbb {Q}}(y)$ $\mathbb {Q} (y,w)$ $\iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23$ $\iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0$

Toate elementele inelului de numere întregi ale câmpului de clasă, atunci când sunt înmulțite cu ι, dau forma a α + b β, unde $\mathbb {Z} [y]$

\alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23

și

\beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.

Coeficienții α și β sunt, de asemenea, numere întregi algebrice satisfăcătoare

\alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0

și

\beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0

respectiv. Înmulțind a α + b β cu numărul ideal ι, obținem 2 a + cu , care este un ideal neprincipal.

Istorie

Kummer a scris pentru prima dată despre posibilitatea factorizării neunice în câmpuri ciclotomice (circulare) în 1844 într-un jurnal obscur; articolul a fost repetat în 1847 în jurnalul lui Liouville . În lucrări ulterioare din 1846 și 1847 , el a publicat teorema sa fundamentală privind unicitatea factorizării în factori primi (reali și ideali).

Se crede că Kummer a ajuns la ideea „numerelor complexe ideale” în timp ce studia Ultima Teoremă a lui Fermat ; se spune chiar că Kummer, la fel ca Lame , credea că a demonstrat Ultima Teoremă a lui Fermat, până când Dirichlet i-a spus că argumentul său se bazează pe unicitatea factorizării; dar această poveste a fost spusă pentru prima dată de Kurt Hansel în 1910 și cel mai probabil a provenit dintr-o eroare dintr-una dintre sursele lui Hansel. Harold Edwards a spus că „convingerea că Kummer era serios interesat de Ultima Teoremă a lui Fermat este fără îndoială eronată”.

O generalizare a ideilor lui Kummer a fost realizată de Kronecker și Dedekind în următorii patruzeci de ani. Generalizarea directă a întâmpinat dificultăți serioase, ceea ce l-a determinat pe Dedekind să creeze teoria modulelor și a idealurilor . Kronecker s-a ocupat de dificultate dezvoltând teoria formelor (o generalizare a formelor pătratice ) și teoria divizorilor . Lucrările lui Dedekind au stat la baza teoriei inelelor și a algebrei generale , în timp ce lucrările lui Kronecker au creat instrumentul principal al geometriei algebrice .

Vezi și

Note

↑ Ideal // Kazahstan. Enciclopedia Națională . - Almaty: Enciclopedii kazahe , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Rusă) (CC BY SA 3.0)

Literatură

Nicolas Bourbaki, Elemente de istorie a matematicii. Springer-Verlag, NY, 1999.
Harold M. Edwards, Ultima teoremă a lui Fermat. Introducere generală în teoria numerelor. Texte de absolvent de matematică vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
C. G. Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlin (1839) 89-91.
EE Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Konigsberg, 1844; retipărit în Jour. deMath. 12 (1847) 185-212.
EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. Matematică blană. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
John Stilwell, Introducere în teoria numerelor întregi algebrice de Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Marea Britanie, 1996.

Link -uri

Numere ideale , O dovadă că teoria numerelor ideale păstrează unicitatea factorizării pentru numerele întregi ciclotomice, pe blogul Ultima Teoremă a lui Fermat .