Identificarea sistemului

Identificarea sistemului  este un set de metode de construire a modelelor matematice ale unui sistem dinamic bazate pe date observaționale. Un model matematic în acest context înseamnă o descriere matematică a comportamentului unui sistem sau proces în domeniul frecvenței sau timpului, de exemplu, procese fizice (mișcarea unui sistem mecanic sub acțiunea gravitației), un proces economic (reacția stocului ). citate la perturbări externe), etc. În prezent, această zonă a teoriei controlului este bine studiată și este utilizată pe scară largă în practică.

Istorie

Începutul identificării sistemelor ca subiect al construcției de modele matematice bazate pe observații este asociat cu lucrarea lui Carl Friedrich Gauss „Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium”, în care a folosit metoda celor mai mici pătrate dezvoltată de el. pentru a prezice traiectoria planetelor. Ulterior, această metodă și-a găsit aplicație în multe alte aplicații, inclusiv în construcția de modele matematice de obiecte controlate utilizate în automatizări (motoare, cuptoare, diverse actuatoare). O mare parte din lucrările timpurii privind identificarea sistemelor au fost realizate de statisticieni, econometrieni (în special interesați de aplicații de identificare legate de seriile de timp) și au format un domeniu numit estimare statistică. Estimarea statistică s-a bazat și pe lucrările lui Gauss (1809) și Fisher (1912) [1] .

Până în jurul anilor 50 ai secolului XX, majoritatea procedurilor de identificare în automatizare se bazau pe observarea reacțiilor obiectelor controlate în prezența anumitor acțiuni de control (cel mai adesea acțiuni de forma: treptat ( ), armonic ( ), culoare generată. sau zgomot alb ) și în funcție de tipul de informații utilizate despre obiect, metodele de identificare au fost împărțite în frecvență și temporală. Problema a fost că domeniul de aplicare al acestor metode era limitat cel mai adesea la sisteme scalare (SISO, Single-input, single-output). În 1960, Rudolf Kalman a prezentat o descriere a unui sistem controlat sub forma unui spațiu de stare, care a făcut posibilă lucrul cu sisteme multidimensionale (MIMO, Many-input, many-output) și a pus bazele pentru filtrarea optimă și optime control pe baza acestui tip de descriere.

În special pentru problemele de control, metodele de identificare a sistemelor au fost dezvoltate în 1965 în lucrările lui Ho și Kalman [2] , Ostrom și Bolin [3] . Aceste lucrări au deschis calea pentru dezvoltarea a două metode de identificare care sunt și astăzi populare: metoda subspațială și metoda erorii de predicție. Prima se bazează pe utilizarea proiecțiilor în spațiul euclidian, iar a doua pe minimizarea unui criteriu care depinde de parametrii modelului.

Lucrarea lui Ho și Kalman este dedicată găsirii unui model de spațiu de stare al obiectului studiat care are cea mai mică ordine a vectorului de stare, pe baza informațiilor despre răspunsul la impuls. Această problemă, dar deja în prezența implementărilor unui proces aleatoriu, în care se formează modelul Markov , a fost rezolvată în anii 70 în lucrările lui Forre [4] și Akaika [5] . Aceste lucrări au pus bazele creării metodei subspațiale la începutul anilor 1990.

Lucrările lui Åström și Bolin au introdus în comunitatea de identificare metoda probabilității maxime, care a fost dezvoltată de experții în serii de timp pentru estimarea parametrilor modelului sub formă de ecuații ale diferențelor [6] [7] . Aceste modele, care sunt cunoscute în literatura statistică ca ARMA (autoregressive moving average) și ARMAX (autoregressive moving average with input), au stat mai târziu la baza metodei de eroare de predicție. În 1970, Box și Jenkins au publicat o carte [8] care a dat un impuls semnificativ aplicării metodelor de identificare în toate domeniile posibile. Această lucrare a oferit, cu alte cuvinte, o rețetă completă de identificare din momentul în care începeți să colectați informații despre obiect până la primirea și verificarea modelului. Timp de 15 ani, această carte a fost sursa de bază pentru identificarea sistemului. O lucrare importantă din acea vreme a fost și revizuirea [9] privind identificarea sistemului și analiza serii cronologice, publicată în IEEE Transactions on Automatic Control în decembrie 1974. Una dintre întrebările deschise a fost atunci problema identificării sistemelor închise pentru care metoda bazată pe corelație încrucișată duce la rezultate nesatisfăcătoare [10] . De la mijlocul anilor 1970, noua metodă inventată de eroare de predicție a ajuns să domine teoria și, mai important, aplicațiile de identificare. Cea mai mare parte a activității de cercetare s-a concentrat pe problemele identificării sistemelor multidimensionale și închise. Sarcina cheie pentru aceste două clase de sisteme a fost să găsească condițiile pentru experiment și modalitățile de parametrizare a problemei, în baza cărora modelul găsit să abordeze singura descriere exactă a sistemului real. Despre toată activitatea de atunci se poate spune că a fost momentul căutării „modelului adevărat”, rezolvării problemelor de identificabilitate, convergență la parametrii exacti, eficiență statistică a estimărilor și normalitate asimptotică a parametrilor estimați. Până în 1976, a fost făcută prima încercare de a considera identificarea sistemelor ca o teorie de aproximare, în care problema este cea mai bună aproximare posibilă a unui sistem real într-o clasă dată de modele [11] [12] , [13] . Viziunea predominantă în rândul specialiștilor în identificare s-a schimbat astfel de la căutarea unei descrieri a sistemului adevărat la căutarea unei descriere a celei mai bune aproximări posibile. O descoperire importantă s-a întâmplat și atunci când L. Ljung a introdus conceptul de părtinire și eroare de varianță pentru estimarea funcțiilor de transfer ale obiectelor [14] . Lucrarea cu părtinire și analiza varianței modelelor rezultate în anii 1980 a condus la perspectiva de a considera identificarea ca o problemă de sinteză. Pe baza înțelegerii influenței condițiilor experimentale, a structurii modelului și a criteriului de identificare pe baza variației de părtinire și eroare, este posibilă potrivirea acestor variabile de sinteză la obiect în așa fel încât să se obțină cel mai bun model. în această clasă de modele [15] [16] . Cartea lui Lennart Ljung [17] , care are o mare influență asupra comunității specialiștilor în identificare, este impregnată de această ideologie.

Ideea că calitatea unui model ar putea fi schimbată prin alegerea variabilelor de sinteză a condus la o explozie de activitate în anii 1990, care continuă până în zilele noastre. Aplicația principală a noii paradigme este identificarea pentru MBC (Model Based Control). În consecință, identificarea pentru problemele de control a înflorit cu o forță fără precedent de la începuturile sale, iar aplicarea metodelor de identificare pentru control a dat o a doua viață unor domenii de cercetare deja cunoscute precum proiectarea experimentelor, identificarea în buclă închisă, identificarea frecvenței, controlul robust în prezența incertitudinii.

Identificarea sistemelor în URSS și Rusia

Principalul eveniment în dezvoltarea identificării sistemelor în URSS a fost deschiderea în 1968 a Laboratorului nr. 41 („Identificarea sistemelor de control”) la Institutul de Automatizare și Telemecanică (acum Institutul de Probleme de Control al Academiei Ruse de Științe) cu ajutorul lui N. S. Raibman. Naum Semenovich Raibman a fost unul dintre primii din țară care a realizat beneficiile practice și interesul teoretic al identificării sistemului. El a dezvoltat teoria identificării dispersiei pentru identificarea sistemelor neliniare [18] și, de asemenea, a scris o carte numită „What is identification?” [19] să explice principiile de bază ale noului subiect și să descrie gama de sarcini rezolvate prin identificarea sistemului. Tot ulterior, Yakov Zalmanovich Tsypkin , care a dezvoltat teoria identificării informației, a fost interesat de teoria identificării [20]

Abordare generală

Construirea unui model matematic necesită 5 lucruri de bază:

Informațiile de intrare-ieșire sunt de obicei înregistrate în timpul unui experiment de identificare pre-planificat, în timpul căruia cercetătorul poate alege ce semnale să măsoare, când să le măsoare și ce semnale de intrare să utilizeze. Disciplina „Proiectarea experimentelor” poate sugera modul de a face informațiile experimentale cele mai informative, ținând cont de restricțiile care pot fi impuse experimentului. Dar, din păcate, situația nu este rară când cercetătorul nu are posibilitatea de a efectua un experiment, ci lucrează cu informațiile care i se oferă. Setul de modele candidate se obține pe baza deciziei despre clasa de modele în care se va efectua căutarea. Fără îndoială, această alegere este cea mai importantă și mai dificilă în procedura de identificare. În această etapă, toate informațiile a priori, intuiția inginerească, trebuie combinate împreună cu proprietățile formale ale modelelor probabile pentru a lua o decizie. De asemenea, multe modele propuse pot fi construite pe baza unor legi fizice cunoscute sau este posibil să se utilizeze modele liniare standard fără a se baza pe fizică. Astfel de modele, construite nu pe baza unor legi fizice cunoscute și având parametri, prin modificarea cărora se poate realiza o aproximare a obiectului studiat, se numesc modele cutie neagră. Modelele care au parametri ajustabili și se bazează pe legi fizice cunoscute sunt numite casete gri. În general, structura modelului este o mapare parametrizată de la setul de intrări și ieșiri până la și inclusiv setul de ieșiri din timpul curent : Criteriul de alegere a unui model este capacitatea acestuia de a repeta datele obținute din experiment, adică de a se potrivi cu comportamentul obiectului studiat. Dar trebuie amintit că modelul nu poate fi niciodată acceptat ca o descriere „reală” sau „adevărată” a unui obiect din cauza aproximării sale înnăscute.

Procedura de identificare ca sistem închis

Procedura de identificare are o ordine logica fireasca: mai intai colectam date, apoi formam un set de modele, iar apoi alegem cel mai bun model. Este obișnuit ca primul model ales să eșueze testul de conformitate cu datele experimentale. Apoi ar trebui să reveniți și să selectați alt model sau să modificați criteriile de căutare. Modelul poate fi nesatisfăcător din următoarele motive:

Abordări ale identificării

În timpul identificării se presupune un studiu experimental și compararea proceselor de intrare și ieșire, iar sarcina de identificare constă în alegerea unui model matematic adecvat. Modelul trebuie să fie astfel încât reacția sa și reacția obiectului la același semnal de intrare să fie, într-un anumit sens, apropiate. Rezultatele rezolvării problemei de identificare sunt datele inițiale pentru proiectarea sistemelor de control, optimizare, analiza parametrilor sistemului etc.

În prezent, următoarele metode sunt utilizate pentru a determina proprietățile dinamice ale obiectelor reglementate:

  1. Metode bazate pe impactul artificial asupra sistemului de către un semnal neperiodic, a cărui putere este mare în comparație cu nivelul de interferență din sistem. Ca acțiune, se alege de obicei o schimbare bruscă a acțiunii de control și, ca urmare, se determină caracteristicile temporale.
  2. Metode bazate pe impactul artificial asupra sistemului prin semnale periodice de diferite frecvențe, a căror amplitudine este mare în comparație cu nivelul de interferență din sistem. Ca urmare, se determină caracteristicile frecvenței.
  3. Metode bazate pe impactul artificial asupra sistemului prin semnale sinusoidale proporționale cu zgomotul din sistem. Ca urmare, sunt determinate și caracteristicile frecvenței.
  4. Metode care nu necesită influențe artificiale, folosind perturbări care sunt prezente în timpul funcționării normale. [23]

Modelele matematice statice ale sistemelor se obțin în trei moduri: experimental-statistice, deterministe și mixte.

Metodele experimental-statistice necesită experimente active sau pasive pe obiectul de operare. Modelele stocastice sunt folosite pentru a rezolva diverse probleme legate de cercetare și controlul proceselor. În cele mai multe cazuri, aceste modele sunt obținute sub formă de ecuații de regresie liniară.

Pe baza proprietăților proceselor reale, se poate argumenta că ecuațiile pentru relația variabilelor de proces ar trebui să aibă o structură diferită, posibil mai complexă. Cu cât structura ecuațiilor de regresie este mai „departe” de „adevărat”, cu atât acuratețea prognozei va fi mai mică cu o creștere a intervalului de modificări ale variabilelor procesului. Acest lucru degradează calitatea controlului și, în consecință, scade calitatea funcționării obiectului în modul optim.

Modelele deterministe sunt „bazate pe legi fizice și idei despre procese”. Prin urmare, acestea pot fi obținute în etapa de proiectare a procesului. În prezent, pe baza unei abordări deterministe, au fost dezvoltate mai multe metode de construire a modelelor matematice ale proceselor continue. Deci, de exemplu, în modelarea matematică a unui număr de procese din tehnologia chimică, este utilizată metoda spațiului de fază multidimensional. Esența metodei constă în faptul că fluxul procesului tehnologic simulat este considerat ca mișcarea unor „puncte reprezentative” într-un spațiu de fază multidimensional. Acest spațiu este definit ca spațiul sistemului de coordonate carteziene, de-a lungul axelor căruia sunt trasate coordonatele spațiale ale aparatului și coordonatele interne ale particulelor solide care reacţionează. Fiecare punct din spațiul de fază multidimensional descrie o anumită stare a procesului simulat. Numărul acestor puncte este egal cu numărul de particule din aparat. Fluxul procesului tehnologic se caracterizează printr-o modificare a fluxului de puncte reprezentative.

Metoda spațiului de fază multidimensională este cea mai utilizată pentru a construi modele matematice. Cu toate acestea, această metodă are și dezavantaje care îi limitează domeniul de aplicare:

Astfel, datorită caracteristicilor de mai sus ale metodei spațiului de fază multidimensional, este foarte dificil de utilizat pentru a construi modele matematice ale proceselor tehnologice pe baza informațiilor obținute fără efectuarea de experimente la instalații industriale.

De regulă, în urma analizei teoretice a procesului, este posibil să se obțină un model matematic, ai cărui parametri trebuie să fie rafinați în procesul de control al unui obiect tehnologic. Pe fig. 1 prezintă o schemă generală de rezolvare a problemelor de identificare.

În ciuda numărului mare de publicații privind identificarea parametrică a obiectelor dinamice, o atenție insuficientă este acordată identificării parametrilor nestaționari. Când se iau în considerare abordări cunoscute ale identificării parametrice non-staționare, se pot distinge două grupuri [1] .

Prima grupă include lucrări care folosesc în mod semnificativ informații a priori despre parametrii identificați. Prima abordare a acestui grup se bazează pe ipoteza că parametrii identificați sunt soluții ale sistemelor omogene cunoscute de ecuații diferențiale sau sunt reprezentați ca un proces aleator generat de un model Markov, adică sunt soluții ale sistemelor cunoscute de ecuații diferențiale sau diferențiale. cu perturbații de tip zgomot alb, caracterizate printr-o distribuție gaussiană, medii și intensitate cunoscute. Această abordare este justificată în prezența unei cantități mari de informații a priori despre parametrii doriti și, dacă parametrii reali ai modelului adoptat nu se potrivesc, duce la o pierdere a convergenței algoritmului.

A doua abordare, aparținând primei grupe, se bazează pe parametrizarea parametrilor nestaționari și folosește ipoteza posibilității de a reprezenta cu acuratețe parametrii identificabili nestaționari pe întreg intervalul de identificare sau sub-intervale individuale sub forma unui combinație finită, de regulă, liniară de funcții de timp cunoscute cu coeficienți de greutate constanți necunoscuți, în special sub forma unei sume finite de termeni din seria Taylor , seria Fourier armonică , seria Fourier generalizată în raport cu sistemele ortogonale . funcţii Laguerre , Walsh .

Cel mai simplu caz de parametrizare este reprezentarea parametrilor nestaționari prin valori constante pe o succesiune de subintervale individuale care acoperă intervalul de identificare.

Odată cu identificarea curentă, se recomandă trecerea la un interval de timp de alunecare [ t  -  T, t ] de durata T și luarea în considerare a parametrilor necesari constantă pe acest interval sau exact reprezentabile ca un polinom de interpolare de grad finit, sau un liniar finit specificat. combinaţie. Această abordare poate include lucrări bazate pe utilizarea metodei iterative ale celor mai mici pătrate. În aceste lucrări, datorită utilizării unui factor de pondere exponențial (cu exponent negativ) în funcționarea pătratică de minimizat, definit pe intervalul de timp curent [0,  t ] , vechea informație despre coordonatele obiectului este „ștersă” peste orar. Această situație, în esență, corespunde ideii de constanță a parametrilor identificați pe un anumit interval de timp de alunecare, ținând cont de informații despre starea obiectului pe acest interval cu o pondere exponențială.

Această abordare face posibilă extinderea directă a metodelor de identificare a parametrilor staționari la cazul identificării parametrilor nestaționari. Totuși, în practică, ipoteza fundamentală a acestei abordări nu este îndeplinită și se poate vorbi doar de o reprezentare aproximativă (aproximare) a parametrilor doriti printr-o combinație liniară finită de funcții de timp cunoscute cu coeficienți de greutate constanți necunoscuți. Această situație duce la apariția unei erori metodologice de identificare, care schimbă fundamental esența demersului în discuție, întrucât în ​​acest caz durata T a intervalului de aproximare și numărul de termeni ai combinației liniare devin parametri de regularizare. Această eroare metodologică, de regulă, nu este luată în considerare. În special, în ipoteza unei legi rectilinie de modificare a parametrilor doriti pe sub Tintervale mari de timp-

Al doilea grup include metode care folosesc o cantitate mult mai mică de informații despre parametrii doriti, iar această informație este utilizată doar în etapa de alegere a parametrilor algoritmului de identificare.

Prima abordare care aparține acestui grup se bazează pe utilizarea modelelor cu auto-ajustare în gradient. O astfel de abordare a fost discutată în lucrările privind identificarea parametrică a obiectelor dinamice liniare și neliniare. Principalul avantaj al acestei abordări este că duce la un sistem de identificare închis și astfel are anumite avantaje în ceea ce privește imunitate la zgomot față de metodele de identificare deschise. Dezavantajele acestei abordări sunt legate de necesitatea de a măsura componentele de gradient ale criteriului de reglare, care sunt derivate funcționale, cerința de informații a priori suficient de precise despre valorile inițiale ale parametrilor identificați (pentru a selecta valorile inițiale ​​a parametrilor modelului care garantează stabilitatea sistemului de identificare) și lipsa unei analize teoretice complete a dinamicii sistemului de identificare de un anumit tip. Acesta din urmă se explică prin complexitatea sistemului de ecuații integro-diferențiale care descriu procesele din bucla de auto-ajustare, în urma căreia analiza teoretică este efectuată numai în ipoteza unei modificări lente a parametrilor obiectului. si model. În acest sens, nu este posibil să se evalueze pe deplin zona de stabilitate, viteza și precizia funcționării modelelor cu auto-ajustare în gradient și, prin urmare, să se determine în mod clar zona de aplicabilitate a sistemelor de acest tip cu identificarea curentă a non- parametrii staționari. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că, odată cu creșterea gradului de non-staționaritate a parametrilor doriti, erorile metodologice în determinarea componentelor gradientului criteriului de reglare cresc semnificativ, drept urmare eroarea de identificare crește dincolo de zona de extremul global al criteriului fiind minimizat.

Acest efect este sporit în special cu o creștere a numărului de parametri identificați datorită interconectarii canalelor de identificare. Prin urmare, utilizarea modelelor cu auto-ajustare în gradient este limitată fundamental la cazul unei modificări lente a parametrilor doriti.

A doua abordare se bazează pe utilizarea algoritmului Kaczmarz. Se știe că algoritmul principal de acest tip are imunitate slabă la zgomot și viteză scăzută. Această situație a determinat crearea diferitelor modificări ale acestui algoritm, caracterizate prin creșterea vitezei. Cu toate acestea, performanța acestor modificări este încă scăzută, ceea ce limitează a priori sfera de aplicabilitate a celei de-a doua abordări în cazul identificării parametrilor care se schimbă lent.

Al doilea grup poate include și metode concepute pentru a identifica doar obiecte dinamice liniare și sunt caracterizate de restricții suplimentare (necesitatea de a utiliza semnale de intrare de testare sub forma unui set de armonici sau a unui semnal binar periodic pseudo-aleatoriu, caracterul finit al identificării interval, disponibilitatea informațiilor complete despre semnalele de intrare și ieșire ale obiectului pe întreg intervalul de identificare și posibilitatea identificării coeficienților doar din partea stângă a ecuației diferențiale). Din acest motiv, erori semnificative de identificare sunt posibile pe subintervale individuale de timp finit și este, de asemenea, necesar să se rezolve o problemă complexă a valorii la limită.

În automatizare, semnalele tipice de intrare de test sunt:

O serie de metode (reprezentarea parametrilor sub formă de soluții ale sistemelor cunoscute de ecuații diferențiale sau diferențiale) pot fi utilizate numai în cazuri particulare, în timp ce alte metode (modele cu autoajustare în gradient, algoritmul Kachmarz) sunt a priori caracterizate prin semnificație semnificativă. restricţii asupra gradului de non-staţionaritate a parametrilor doriti. Neajunsurile observate sunt generate de însăși natura metodelor menționate și, prin urmare, nu există aproape nicio posibilitate de reducere vizibilă a acestor deficiențe. Metodele bazate pe parametrizarea parametrilor nestaționari, așa cum sa menționat mai sus, sunt complet neexplorate și, în forma prezentată, pot găsi o aplicație practică limitată. Cu toate acestea, spre deosebire de alte metode, această din urmă abordare nu conține restricții interne privind gradul de non-staționaritate al parametrilor identificați și este aplicabilă în mod fundamental pentru identificarea unei clase largi de obiecte dinamice în modul de funcționare normală a acestora pe intervale lungi de timp. .

Dificultățile enumerate în identificarea sistemelor de funcționare reală determină cea mai utilizată abordare a modelării obiectelor neliniare, care constă în alegerea tipului de model matematic sub forma unei ecuații evolutive și identificarea ulterioară a parametrilor, sau identificarea neparametrică a modelului. Modelul este considerat adecvat dacă estimarea criteriului de adecvare dat, calculată ca dependență a reziduului modelului de datele experimentale, se află în limite acceptabile.

Notă

  1. ↑ R.A. Fisher.   Pe un criteriu absolut pentru ajustarea curbelor de frecvență. - Stiinta Statistica, vol. 12, Nr. 1 (feb. 1997). - pp. 39-41. 
  2. ↑ BL Ho și RE Kalman.   Construcția eficientă a modelelor liniare cu variabile de stare din funcții de intrare-ieșire. - Regelungstechnik, vol. 12, 1965. - pp. 545-548. 
  3. ↑ KJ Astrom și T. Bohlin.   Identificarea numerică a sistemelor dinamice liniare din înregistrările normale de funcționare. — Proc. IFAC Symp. Sistem autoadaptativ, 1965. - pp. 96-111. 
  4. ↑ P. Faurre,   Realizations markoviennes de processus stationnaires. — Rapport La-boria No.13, IRIA, Rocquencourt, Franța, Tech. Reprezentant. 1973. 
  5. ↑ H. Akaike,   Teoria stocastică a realizării minime. - IEEE Trans. automat. Control, voi. 26, p. 667-673, Dec. 1974. 
  6. ↑ TC Koopmans, H. Rubin și RB Leipnik,   Măsurarea sistemelor de ecuații ale economiei dinamice. — (Monografia Comisiei Cowles, vol. 10, TCKoopmans, Ed.). New York: Wiley, 1950. 
  7. ↑ EJ Hannan,   Time Series Analysis.—New York: Methuen, 1960  
  8. ↑ GEP Box și GM Jenkins   Time Series Analysis, Forecasting and Control. — Oakland, CA: Holden-Day, 1970. 
  9. ↑ KJ Astrom și P. Eykhoff   System identification - A survey. Automatica, vol. 7, pp. 123-162, 1971. 
  10. ↑ H. Akaike   Câteva probleme în aplicarea metodei cross-spectrale, - în Spectral Analysis of Time Series, B. Harris, Ed. New York: Wiley, 1967, pp. 81-107.  
  11. ↑ L. Ljung   Despre consistență și identificabilitate, Math. program. Studiu, voi. 5, pp. 169-190, 1976.  
  12. ↑ BDO Anderson, JB Moore și RMHawkes,   Model aproximation via prediction error identification, - Automatica, vol. 14, p. 615-622, 1978. 
  13. ↑ L. Ljung și P. E. Caines,   Normalitatea asimptotică a estimatorilor de erori de predicție pentru modele de sistem aproximative, - Stochastics, voi. 3, p. 29-46, 1979. 
  14. ^ L. Ljung, Asymptotic   variance expressions for identificate black-box transfer function models, „IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-30, pp.834-844, 1985.  
  15. ↑ B. Wahlberg și L. Ljung   Variabile de proiectare pentru distribuția biasului în estimarea funcției de transfer, IEEE Trans. automat. Contr., voi. AC-31, p. 134-144, 1986. 
  16. ↑ M. Gevers și L. Ljung,   Optimal experiment designs with respect to the expected model application, Automatica, voi. 22, pp. 543-554, 1986. 
  17. ↑ L. Ljung,   Identificarea sistemului, Teoria pentru utilizator, ed. a II-a. - NJ: PTR Prentice Hall, 1999. - ISBN 0-13-656695-2  
  18. ↑ N. S. Raibman,   Dispersion identification, - Moscova: Nauka, 1981.  
  19. ↑ N. S. Reibman,   Ce este identificarea?. - Moscova: Nauka, 1970. 
  20. ↑ Ya. Z. Tsypkin,   Teoria informațiilor despre identificare, M., Nauka, 1995, 336 p.  
  21. ↑ Rastrigin, 1977 , p. 17.
  22. ↑ Rastrigin, 1977 , p. 33.
  23. ↑ Shidlovsky S.V. Automatizarea proceselor tehnologice și a producției: Manual. -Tomsk: Editura NTL, 2005. -p. unsprezece
  24. ↑ A.V. Andryushin, V.R. Sabanin, N.I. Smirnov. Management și inovație în ingineria energiei termice. - M: MPEI, 2011. - S. 15. - 392 p. - ISBN 978-5-38300539-2 .

Literatură