Integrală Poisson

Integrala Poisson este denumirea generală a formulelor matematice care exprimă soluția unei probleme cu valori la limită sau a unei probleme inițiale pentru unele tipuri de ecuații cu diferențe parțiale.

Problema Dirichlet pentru ecuația Laplace

Integrala Poisson pentru problema Dirichlet pentru ecuația Laplace într-o minge este după cum urmează.

Fie ca pentru o funcție u ( r , φ) armonică din bilă , condiția de egalitate să fie stabilită la limita funcției u 0 : u ( R , φ) = u 0 (φ), în timp ce funcțiile aparțin următoarei netezimi clase: , unde ∂ D este limita bilei D , și este închiderea acesteia. Atunci soluția unei astfel de probleme Dirichlet poate fi reprezentată ca o integrală Poisson: $u(r,\varphi)\in C^{2}(D)\cap C({\overline {D)}),\ u_{0}(\varphi )\in C^{1}( \partea D)$ $\overline {D}$

u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{\omega _{n}R}}\int \limits _{\partial D}{\frac {u_{0}(\psi )}{|r-\psi |^{n}}}\,dS(\psi ),\ r\in [0;R),

unde ω n este aria sferei unității și n este dimensiunea spațiului.

Derivarea formulei în cazul bidimensional

Se știe că funcția

u(r,\varphi )=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}( a_{n}\cos n\varphi +{\tilde {a}}_{n}\sin n\varphi )

este o soluție a problemei Dirichlet pentru ecuația Laplace într-un cerc. Să transformăm această expresie ținând cont de expresiile pentru coeficienții Fourier :

u(r,\varphi )={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi +{ \frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\left(\cos n\ varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\cos n\psi d\psi +\sin n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\sin(n\psi )d\psi \right)=

={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left(\sum _{n=1}^{ \infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(\cos n\varphi \cos n\psi +\sin n\varphi \sin n\psi )\right)d \psi +{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi =

={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left({\frac {1}{2)} +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )\right)d\psi .

Ultima sumă poate fi calculată pentru 0≤ r < R :

{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n (\varphi -\psi )={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}} e^{i(\varphi -\psi )}\right)^{n}={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac {{\frac {r}{R}} e^{i(\varphi -\psi )}}{1-{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )))}=

={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac ({\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\left(1 -{\frac {r}{R}}e^{-i(\varphi -\psi )}\right)}{1-2{\frac {r}{R}}\cos(\varphi -\psi )+\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}}={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\left(R^{2 }+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )\right)}}.

Astfel, în forma transformată, integrala Poisson pentru cerc ia forma:

u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\r\in [0,R).

De asemenea, formula poate fi obținută prin metoda mapărilor conformale. Părțile reale și imaginare ale unei funcții holomorfe pe un domeniu satisfac ecuația Laplace bidimensională de pe aceasta. Se știe că sub o mapare conformă a unui domeniu plan pe un domeniu plan , ecuația Laplace pentru funcție trece în ecuație . Cu ajutorul unei funcții liniar-fracționale, este ușor să obțineți o mapare a cercului original de rază pe un cerc unitar, în care un punct arbitrar merge spre centru. O astfel de funcție arată astfel: $U$ $U$ $z=x+iy$ $V$ $w=\xi +i\eta$ $u(x,y)$ $\triangle u(\xi ,\eta )=0$ $R$ $z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0)}$

w=\rho e^{i\psi }=f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{z-{\frac {R^{2}}{{\bar {z}}_{0}}}}}=\lambda {\frac {z-r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{z-{\frac {R^{2}} {r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},

unde este ales astfel încât punctele limită ale cercului original să meargă la punctele , în timp ce , și este arbitrară. Funcția dorită va merge la funcția . Funcția de limită va merge la . Apoi, după teorema valorii medii : $\lambda$ $|w|=1$ $|\lambda |={\frac {R}{r_{0)}}$ ${arg}(\lambda )$ $u(r,\varphi )$ $U(\rho ,\psi )$ $u_{0}(\varphi )$ $U_{0}(\psi )=u_{0}(\varphi (1,\psi ))$

u(r_{0},\varphi _{0})=U\vert _{w=0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{ 2\pi }U_{0}(\psi )d\psi .

Din această expresie, se poate obține o expresie explicită pentru rezolvarea problemei Dirichlet într-un cerc, dacă este exprimată în termeni de . Pentru punctele limită ale unui cerc și ale unui cerc , formula de transformare liniar-fracțională dă $U_{0}(\psi )$ $u_{0}(\varphi )$ $|z|\leqslant R$ $|w|\leqslant 1$

e^{i\psi }={\frac {R}{r_{0)}}{\frac {Re^{i\varphi }-r_{0}e^{i\varphi _{0} }}{Re^{i\varphi }-{\frac {R^{2}}{r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},

Unde

d\psi ={\frac {R^{2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\ varphi -\varphi _{0})}}d\varphi .

Schimbând variabila în integrală, obținem expresia dorită:

u(r_{0},\varphi _{0})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {R^ {2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}u_{ 0}(\varphi )d\varphi ,\ r_{0}\in [0,R).

Această expresie este echivalentă cu cea de mai sus:

u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\r\in [0,R).

Problema Cauchy pentru ecuația căldurii

Ecuație omogenă

Luați în considerare problema Cauchy pentru ecuația căldurii omogene :

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t)} -a^{2}\Delta u=0,\quad x\in {\mathbb {R))^ {n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\\ \end{matrice}}

unde este funcția inițială , continuă și mărginită pe întreg spațiul, iar funcția dorită este continuă și mărginită pentru și toate valorile argumentului . $\varphi(x)$ $u=u(x,t)$ $t\geq 0$ $X$

Soluția fundamentală sau nucleul ecuației de căldură este soluția problemei Cauchy pentru ecuația de căldură omogenă cu condiția inițială , unde este funcția delta Dirac . Arată ca: $\varphi(x)=\delta(x)$ $\delta(x)$

\Phi (x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\exp {\biggl (}-{\frac {|x|^{ 2}}{4a^{2}t}}{\biggr )},\ \ x\in {\mathbb {R}}^{n},\ t>0.

unde este pătratul scalar standard al vectorului .

|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

x \in \mathbb{R}^n

Integrala Poisson definește singura soluție continuă și mărginită a problemei Cauchy dată conform următoarei formule [1] :

u(x,t)=\int \limits _{{{\mathbf {R}}^{n}}}\Phi (xy,t)\,\varphi (y)\,dy={\frac {1 }{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n))}\exp {\biggl (}-{\ frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy.

Ecuație neomogenă

Luați în considerare problema Cauchy pentru ecuația căldurii neomogene :

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t)) -a^{2}\Delta u=f(x,t),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{ n}.\\\end{matrice}}

În acest caz, integrala Poisson are forma [2] :

u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n} }}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy+

$+\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{({\mathbf {R}}^{n}}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (ts ))))^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}(ts))){\biggr )}\,f( y,s)\,dy\,ds.$

Generalizări

După teorema domeniului Riemann , un domeniu conectat simplu este echivalent conform unui disc cu o metrică Poincare, adică planul Lobachevsky . Admite descrierea ca spatiu omogen si anume . Cele mai apropiate rude ale sale sunt spațiul multidimensional Lobachevsky , precum și spațiile complexe și cuaternioane Lobaciovsky. $\mathbb {C}$ $\mathrm {SO} (2,1)/\mathrm {SO} (2)$ $\Lambda ^{n+1}=\mathrm {SO} (n+1,1)/\mathrm {SO} (n+1)$ $\Lambda _{\mathbb {C} }^{n+1}=\mathrm {SU} (n+1,1)/\mathrm {SU} (n+1)$ $\Lambda _{\mathbb {H} }^{n+1}=\mathrm {Sp} (n+1,1)/\mathrm {Sp} (n+1)$

În cazul unui spațiu real Lobachevsky, un analog al transformării Poisson pentru formele externe Cartan a fost găsit de P.-I. Geyar . Asociază o formă exterioară definită pe absolut cu o formă co-închisă armonică pe spațiul Lobachevsky. Și anume, spațiul , unde este un absolut, este un spațiu omogen pentru grupul . Are forme externe invariante (adică acelea care, poate, iau valori diferite de zero numai atunci când câmpurile vectoriale referitoare la factor și câmpurile vectoriale referitoare la factorul absolut sunt substituite în ele). Dacă , atunci integrala Poisson a acesteia este definită ca integrala stratificată a produsului exterior , unde este proiecția pe factor. Aceste forme sunt, în esență, sâmburi Poisson mai mari. Formele invariante pe un spațiu omogen pot fi date la un moment dat și ele corespund unu-la-unu subreprezentărilor triviale ale gradului exterior al reprezentării adiacente corespunzătoare a grupului față de care spațiul este omogen; în cazul unui spațiu real Lobachevsky, astfel de forme sunt unice până la proporționalitate datorită unidimensionalității subreprezentării triviale corespunzătoare. $\Lambda ^{n+1}\times S^{n}$ $S^{n}=\partial \Lambda ^{n+1}$ $\mathrm {SO} (n+1,1)/\mathrm {SO} (n+1)$ $\pi _{k}\in \Omega ^{k,nk}(\Lambda ^{n+1}\times S^{n})$ $k$ $\Lambda ^{n+1}$ $nk$ $\alpha \in \Omega ^{k}(S^{n})$ $p_{S^{n}}^{*}\alpha \wedge \pi _{k}$ $p_{S^{n}}\colon \Lambda ^{n+1}\times S^{n}\to S^{n}$

În cazul spațiilor Lobachevsky complexe și cuaternioane, aceste subreprezentări nu mai sunt unidimensionale, deci nu este posibilă definirea vreunei transformări Poisson canonice în acest fel. Acest lucru, totuși, este posibil ținând cont de o structură geometrică mai fină asupra absolutului: și anume, absolutul spațiului complex Lobaciovsky (precum și limita oricărei varietăți complexe în general) are o structură KP , adică o structură completă. distribuție neintegrabilă (care, dacă sfera este realizată ca o sferă unitară în spațiu, poate fi definită în fiecare punct ca subspațiul complex maxim conținut în spațiul tangent la sferă). În cazul spațiului cuaternionic Lobachevsky, așa-numita structură de contact cuaternion joacă un rol similar . Cu fiecare distribuție complet neintegrabilă este asociat un complex Ryumin , care este analog complexului de Rham al unei varietăți netede. Analogul său, care poate fi definit în termeni pur algebrici ai teoriei reprezentării, se numește complexul Bernstein - Gelfand - Gelfand . Are operatii naturale legate de elementul Casimir . Condiții suplimentare privind modul în care ar trebui să se comporte nucleul Poisson în raport cu astfel de operațiuni fac posibilă alegerea acestuia în mod unic până la proporționalitate. [3] $S^{2n+1}$ $\Lambda _{\mathbb {C} }^{n+1)$ $S^{2n+1}$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ $x\in S^{2n+1}$ $T_{x}S^{2n+1}$

Literatură

Petrovsky IG Prelegeri despre ecuații cu diferențe parțiale. - cap. IV, § 40. - Orice editie.
Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Ecuații ale fizicii matematice. - cap. III. - Orice ediție.
Uroev V. M. Ecuații ale fizicii matematice. - M .: IF Yauza, 1998. - ISBN 5-88923-026-3 .
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - M. : Nauka, 1974. - 320 p.

Note

↑ Petrovsky I. G. Prelegeri despre ecuații cu diferențe parțiale. - cap. IV, § 40. - Orice editie.
↑ Erich Miersemann. Partielle Differenzialgleichungen, p. 156 . Preluat la 11 iunie 2015. Arhivat din original la 27 martie 2016. (nedefinit)
↑ Andreas Cap, Christoph Harrach, Pierre Julg. O transformare Poisson adaptată complexului Rumin Arhivat 2 iunie 2019 la Wayback Machine , 2019