Scara lui Cantor

Scara Cantor este un exemplu de funcție monotonă continuă care nu este o constantă, dar are o derivată care este zero în aproape toate punctele ( funcția singulară ). Uneori numită „Scara Diavolului” sau „Scara Diavolului”. [unu] $[0,1]\la [0,1]$

Clădiri

Standard

La punctele 0 și 1, se presupune că valoarea funcției este 0 și, respectiv, 1. În plus, intervalul (0, 1) este împărțit în trei părți egale și . Pe segmentul de mijloc, presupunem . Cele două segmente rămase sunt din nou împărțite în trei părți egale fiecare, iar pe segmentele din mijloc se presupune că sunt egale cu și . Fiecare dintre segmentele rămase este din nou împărțit în trei părți, iar pe segmentele interioare este definită ca o constantă egală cu media aritmetică dintre valorile adiacente, deja definite . În punctele rămase ale segmentului unitar este determinată de continuitate. Funcția rezultată se numește scara Cantor . $\left(0,{\frac {1}{3}}\dreapta)$ $\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3}}\right)$ $\left({\frac {2}{3)),1\dreapta)$ $F(x)={\frac {1}{2}}$ $F(x)$ ${\frac {1}{4))$ ${\frac {3}{4))$ $F(x)$ $F(x)$

Prin notație binară și ternară

Orice număr poate fi reprezentat în sistemul numeric ternar , . Dacă în înregistrare apare un 1, aruncăm toate cifrele ulterioare din ea și în secvența rămasă înlocuim fiecare două cu 1. Secvența rezultată oferă o înregistrare a valorii scării Cantor într-un punct din sistemul numeric binar . $x\in[0,1]$ $x=(0{,}a_{1}a_{2}\dots )_{3}$ $a_{i}\în \{0,1,2\}$ $0{,}a_{1}a_{2}\puncte$ $0{,}b_{1}b_{2}\dots$ $X$

Proprietăți

Derivata scării Cantor este definită și este zero în toate punctele, cu excepția setului Cantor .
Scara lui Cantor este continuă , de variație limitată , dar nu absolut continuă .
Scara Cantor nu are proprietatea Luzin .

Vezi și

Link -uri

^ Weisstein , Eric W. Devil 's Staircase pe site-ul Wolfram MathWorld .