Variația funcției

În analiza matematică , o variație a unei funcții este o caracteristică numerică a unei funcții a unei variabile reale, asociată cu proprietățile ei diferențiale. Pentru o funcție dintr-un segment pe dreapta reală, în este o generalizare a conceptului de lungime a curbei, dată în această funcție. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Definiție

Lasă . Atunci variația (de asemenea, variația totală sau modificarea totală ) a unei funcții pe un segment este următoarea valoare: $f:[a,\;b]\la \mathbb{R} ^{n}$ $f$ $[a,\;b]$

V_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{{k=0}}^{m }\|f(x_{{k+1}})-f(x_{k})\|,

adică cea mai mică limită superioară peste toate partițiile segmentului de lungimi de linii întrerupte în , ale căror capete corespund valorilor din punctele de partiție. $P$ $[a,\;b]$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f$

Definiții înrudite

Funcțiile a căror variație este limitată pe un segment se numesc funcții de variație limitată , iar clasa unor astfel de funcții se notează sau pur și simplu . $V[a,\;b]$ $V$
- În acest caz, o funcție este definită numită funcție de variație totală pentru . $v(x)=V_{a}^{x}f$ $f$
Variația pozitivă a unei funcții cu valoare reală pe un segment se numește următoarea mărime: $f$ $[a,\;b]$ $P_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{{P}}\sum \limits _{{k=0}}^ {m}\max\{0,\;f(x_{{k+1}})-f(x_{k})\}.$
Variația negativă a unei funcții este definită în mod similar : $N_{a}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}-\inf \limits _{{P}}\sum \limits _{{k=0}} ^{m}\min\{0,\;f(x_{{k+1}})-f(x_{{k}})\}.$
Astfel, variația totală a unei funcții poate fi reprezentată ca o sumă $V_{a}^{b}f=P_{a}^{b}f+N_{a}^{b}f.$

Proprietăți ale funcțiilor de variație limitată

Suma și produsul funcțiilor de variație mărginită vor avea, de asemenea, variație mărginită. Coeficientul a două funcții din va avea o variație limitată (cu alte cuvinte, aparțin clasei ) dacă valoarea absolută a numitorului este mai mare decât o constantă pozitivă pe intervalul . $V$ $V$ $[a,\;b]$
Dacă , a , atunci . $a<x\leqslant y<b$ $f\în V[a,\;b]$ $V_{a}^{x}f+V_{x}^{y}f=V_{a}^{y}f$
Dacă funcția este continuă într-un punct din dreapta și aparține lui , atunci . $f$ $A$ $V[a,\;b]$ $\lim \limits _{{x\to a{+}}}v(x)=0$
O funcție dată pe un interval este o funcție de variație mărginită dacă și numai dacă poate fi reprezentată ca o sumă de funcții crescătoare și descrescătoare ( expansiunea Jordan ). $f(x)$ $[a,\;b]$ $[a,\;b]$
Orice funcție de variație mărginită este mărginită și nu poate avea mai mult decât un set numărabil de puncte de discontinuitate și toate sunt de primul fel.
O funcție de variație mărginită poate fi reprezentată ca suma unei funcții absolut continue , a unei funcții singulare și a unei funcție de salt ( expansiune Lebesgue ).

Toate aceste proprietăți au fost stabilite de Iordania [1] [2] .

Calculul variației

Variația unei funcții diferențiabile continuu

Dacă o funcție aparține clasei , adică are o derivată continuă de ordinul întâi pe segment , atunci este o funcție de variație mărginită pe acest segment, iar variația se calculează prin formula: $f:[a,\;b]\la \mathbb{R} ^{n}$ $C^1$ $[a,\;b]$ $f$

\int \limits _{a}^{b}\|f^{\prime }(x)\|\,dx,

adică egală cu integrala normei derivatei.

Istorie

Funcțiile variației mărginite au fost studiate de C. Jordan [1] .

Inițial, clasa de funcții cu variație mărginită a fost introdusă de K. Jordan în legătură cu o generalizare a criteriului Dirichlet pentru convergența seriei Fourier de funcții monotone pe bucăți. Jordan a demonstrat că seria Fourier de funcții -periodice ale clasei converg în fiecare punct al axei reale. Cu toate acestea, în viitor, funcțiile variației mărginite au găsit o aplicare largă în diferite domenii ale matematicii, în special în teoria integralei Stieltjes . $2\pi$ $V[0,\;2\pi ]$

Variații și generalizări

Lungimea unei curbe este definită ca o generalizare naturală a variației în cazul mapărilor la un spațiu metric.

În cazul mai multor variabile, există mai multe definiții diferite ale variației funcției:
- Varianta Fréchet ,
- varianta plată a lui Tonelli .

Φ-variația funcției

De asemenea, este considerată clasa , care este definită după cum urmează: $V_{\Phi }[a,\;b]$

V_{{\Phi \,a}}^{b}f\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup \limits _{{a\leqslant x\leqslant b}}\ suma \limits _{{k=1}}^{n}\Phi (|f(x_{k})-f(x_{{k-1}})|),

unde ( ) este o funcție continuă care este pozitivă ca fiind monoton crescătoare; $\Phi (x)$ $x\geqslant 0,\;\Phi (0)=0$ $x>0$

$a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=b$ este o partiție arbitrară a segmentului . $[a,\;b]$

Mărimea se numește -variația funcției pe segment . $V_{{\Phi \,a}}^{b}f$ $\Phi$ $f(x)$ $[a,\;b]$

Dacă , atunci funcția are o variație mărginită pe intervalul . Clasa tuturor acestor funcții este notată prin sau pur și simplu ca [3] . Definiția clasei a fost propusă de L. Young[4] ( L. C. Young ). $V_{{\Phi \,a}}^{b}f<\infty$ $f(x)$ $\Phi$ $[a,\;b]$ $V_{\Phi }[a,\;b]$ $V_{\Phi }$ $V_{\Phi }[a,\;b]$

Clasele Jordan sunt un caz special al claselor Yang și . Dacă pentru , atunci se obțin clasele N. Wiener [5] ( N. Wiener ). $\Phi (x)=x$ $\Phi (x)=x^{p}$ $1<p<\infty$ $V_{p}$

Proprietăți

Dacă luăm în considerare două funcţii şi astfel încât $\Phi _{1}(x)$ $\Phi _{2}(x)$

\varlimsup _{{x\to 0^{+))}{\frac {\Phi _{1}(x)}{\Phi _{2}(x)))<\infty ,

atunci pentru variațiile lor este valabilă următoarea relație: $\Phi$

V_{{\Phi _{2}}}[a,\;b]\subset V_{{\Phi _{1}}}[a,\;b].

În special,

V_{{x^{p))}\subset V_{{x^{q))}\subset V_{{\exp(-x^{{-\alpha )))))\subset V_{{\exp (-x^{{-\beta }})}}

la . $1\leqslant p<q<\infty ,\;0<\alpha <\beta <\infty$

Vezi și

Literatură

Lebesgue, A. Integrarea şi căutarea funcţiilor primitive / Per. din franceza - M. - L. : ONTI, 1934. - 324 p.
Natanson, I. P. Teoria funcțiilor unei variabile reale. - M. : Nauka, 1974. - 484 p.
Bari, N. K. Seria trigonometrică. - M. : Editura de stat de literatură fizică și matematică, 1961. - 936 p.

Note

↑ 1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1881. - or. 92. - Nr. 5. - str. 228-230.
↑ Natanson, I.P. Teoria funcțiilor unei variabile reale. - M . : Nauka, 1974. - S. 234-238. — 484 p.
↑ Bari, N.K. Seria trigonometrică. - M. : Editura de stat de literatură fizică și matematică, 1961. - S. 287. - 936 p.
↑ Young L. C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1937. - or. 204. - Nr. 7. - str. 470-472.
↑ Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. - 1924. - v. 3. - p. 72-94.