Sinusul cardinal

Sinus cardinal , sinc (din lat. sinus cardinalis ) - funcţie matematică . Notat cu sinc( x ) . Are două definiții - pentru funcția sinc normalizată și respectiv nenormalizată :

În procesarea semnalului digital și teoria comunicării, funcția sinc normalizată este de obicei definită ca $\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{matrice} \right.$
În matematică , funcția sinc nenormalizată este definită ca $\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{matrice} \right.$

Normalizarea funcției se realizează din condiția:

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin ax}{ax)}\,dx=1

Unde $a=\pi .$

pentru funcția nenormalizată ( ): $a=1$

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi .

În ambele cazuri, valoarea funcției la punctul singular x = 0 este setată în mod explicit la unu ( vezi Limite remarcabile ). Astfel, funcția sinc este analitică pentru orice valoare a argumentului.

Proprietăți

Funcția sinc normalizată are următoarele proprietăți:

$\operatorname{sinc}\left(0\right) = 1$ și pentru toate și ( întregi ); adică este un interpolant . $\operatorname{sinc}\left(k\right) = 0$ $k\neq 0$ $k\in\mathbb{Z}$

funcţiile formează o bază ortonormală pentru funcţiile din spaţiul funcţional , cu cea mai mare frecvenţă circulară . $x_k\left(t\right)=\operatorname{sinc}\left(tk\right)$ $L^2\stânga(\R\dreapta)$ $\omega_H = \pi$

Maximul și minimul local al funcției nenormalizate coincid cu valorile cosinusului, adică atunci când derivata este egală cu zero ( extremul local în punctul ), condiția este îndeplinită . $\frac{\sin x}{x}$ $x=a$ $\frac{\sin a}{a} = \cos a$

Funcția sinc nenormalizată dispare atunci când argumentul este un multiplu al lui π , în timp ce funcția sinc normalizată dispare când argumentul este întreg.

Sinusul integral este definit prin integrala funcției sinc( x ) .

Transformarea Fourier continuă a unei funcții normalizate (pentru un interval de frecvență unitar) este egală cu o funcție dreptunghiulară . $\operatorname{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}$ $\operatorname{rect}\stanga(f\dreapta)$

\int\limits_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}\left(t\right)\,e^{-2\pi ift}dt = \operatorname{rect}\left(f\right)

, unde o funcție dreptunghiulară este o funcție care ia valoarea 1 pentru orice argument între −1 și 1/2 și este egală cu zero pentru orice altă valoare a argumentului.

Descompunerea într-un produs infinit :

\operatorname{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2} {n^2}\dreapta)

Exprimarea în termeni ai funcției gamma :

\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma\left(1+x\right)\Gamma\left(1-x\ dreapta)}

unde este funcția gamma.

\gamma\left(x\dreapta)

Utilizare și aplicații

Ca transformată Fourier a unei funcții dreptunghiulare, funcția sinc apare în problema propagării undei din câmpul apropiat la câmpul îndepărtat ( difracția Fraunhofer , difracția cu fantă ). functia sinc se gaseste in teoria antenei , radar , acustica etc.
E. T. Whittaker a arătat că funcția sinc joacă un rol central în teoria interpolării pe o grilă de puncte echidistante.
În teoria comunicării, funcția sinc vă permite adesea să restaurați un semnal analogic din mostrele sale în mod unic și fără pierderi ( teorema lui Kotelnikov ).
Aceeași idee stă la baza filtrului Lanczos , care este folosit, în special, pentru reeșantionarea semnalelor.
Se caută adesea reducerea efectului maximelor secundare ale modulului care au ca rezultat lobi laterali nedoriți în modelul de radiație .
Este adesea folosit pătratul funcției sinc, dând intensitatea sau puterea semnalului a cărui amplitudine este descrisă de funcția sinc.
Deoarece valorile scad rapid pe măsură ce argumentul crește, pătratul funcției sinc este adesea reprezentat pe o scară logaritmică .

Prelucrarea semnalului

Un filtru sinc este un filtru electronic ideal care suprimă toate frecvențele din spectrul semnalului peste o anumită frecvență de tăiere , lăsând toate frecvențele sub acea frecvență neschimbate. În domeniul frecvenței ( AFC ) este o funcție dreptunghiulară , iar în domeniul timp (răspuns la impuls) este o funcție sinc.

Sinusul cardinal

Proprietăți

Utilizare și aplicații

Prelucrarea semnalului

Vezi și