Clasa Pontryagin

Clasa Pontryagin este o clasă caracteristică definită pentru pachetele de vectori reale . Conceptul a fost introdus în 1947 de către matematicianul sovietic L. S. Pontryagin .

Pentru un pachet vectorial cu o bază , clasele Pontryagin sunt notate prin simbol și se presupune că sunt egale cu $\xi$ $B$ $p_{i}(\xi)\in H^{4i}(B)$

p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )

unde este complexarea mănunchiului , iar a sunt clasele Chern . $\xi \otimes \mathbb {C}$ $\xi$ $c_{i}$

O clasă completă Pontryagin este o clasă caracteristică neomogenă

p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots

Dacă este o varietate netedă și fasciculul nu este specificat în mod explicit, atunci se presupune că există un fascicul tangent . $B$ $\xi$ $\xi$ $B$

Proprietăți

Clasa L Hirzebruch și clasa - sunt exprimate în termeni de clase Pontryagin. ${\hat {A}}$
Dacă , sunt două mănunchiuri de vectori reale peste o bază comună, atunci clasa de coomologie are ordinul cel mult două. $\xi$ $\eta$
$p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )$
- În special, dacă inelul coeficient conține 1/2, atunci egalitatea este valabilă .
  $p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )$
Clasele Pontryagin cu coeficienți raționali ai două varietăți homeomorfe coincid (teorema lui S. P. Novikov )
- Există un exemplu care arată că clasele întregi ale lui Pontryagin nu sunt invarianți topologici.
Pentru un pachet 2k - dimensional , unde denotă clasa Euler . $\xi$
$p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},$
$e(\xi )$

Literatură

Pontryagin L. S. „Mat. Sb., 1947, vol. 21, p. 233-84;
Novikov S. P. „Raport. Academia de Științe a URSS, 1965, v. 163, p. 298-300;
Milnor J. , Stashef J. Clase caracteristice = Clase caracteristice. — M .: Mir , 1979. — 371 p. - 6500 de exemplare.