Clasa Pontryagin
Clasa Pontryagin este o clasă caracteristică definită pentru pachetele de vectori reale . Conceptul a fost introdus în 1947 de către matematicianul sovietic L. S. Pontryagin .
Pentru un pachet vectorial cu o bază , clasele Pontryagin sunt notate prin simbol și se presupune că sunt egale cu
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![{\displaystyle p_{i}(\xi)\in H^{4i}(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86daa5c1c27e97822f55afc03b400b0faa49d5ab)
![{\displaystyle p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbd7022782efe3efcb2d185f1729abf4a31dbba)
,
unde este complexarea mănunchiului , iar a sunt clasele Chern .
![{\displaystyle \xi \otimes \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815668bf19857f0ca128a9470709bea4718c65bc)
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![c_{i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2)
O clasă completă Pontryagin este o clasă caracteristică neomogenă
![{\displaystyle p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817bd5bb5e49355d7696be6cc609cb74aecc9d22)
.
Dacă este o varietate netedă și fasciculul nu este specificat în mod explicit, atunci se presupune că există un fascicul tangent .
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
Proprietăți
- Clasa L Hirzebruch și clasa - sunt exprimate în termeni de clase Pontryagin.
![{\hat {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f595a6c73d1183d6a1b2ac21fe47ac28c1483821)
- Dacă , sunt două mănunchiuri de vectori reale peste o bază comună, atunci clasa de coomologie are ordinul cel mult două.
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![\eta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64)
![{\displaystyle p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a935ad8e67ed106dbf4b2c583780c72369c0ab)
- În special, dacă inelul coeficient conține 1/2, atunci egalitatea este valabilă .
![{\displaystyle p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0a85ee1206e950bd6913d4677bf245ee840b11)
- Clasele Pontryagin cu coeficienți raționali ai două varietăți homeomorfe coincid (teorema lui S. P. Novikov )
- Există un exemplu care arată că clasele întregi ale lui Pontryagin nu sunt invarianți topologici.
- Pentru un pachet 2k - dimensional , unde denotă clasa Euler .
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![{\displaystyle p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fe18167a8775581c5b94815f6842f9eb299b1b)
![{\displaystyle e(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb5b3ea959fd349c14d22bf15d2eed697110827)
Literatură
- Pontryagin L. S. „Mat. Sb., 1947, vol. 21, p. 233-84;
- Novikov S. P. „Raport. Academia de Științe a URSS, 1965, v. 163, p. 298-300;
- Milnor J. , Stashef J. Clase caracteristice = Clase caracteristice. — M .: Mir , 1979. — 371 p. - 6500 de exemplare.