Coomologie Alexandrov-Cech

Coomologia Alexandrov-Cech este o teorie de coomologie bazată pe proprietățile acoperirilor deschise ale unui spațiu topologic . O astfel de coomologie se dovedește a fi convenabilă în studiul spațiilor patologice.

Ideea construcției este că, dacă acoperirea unui spațiu este compusă din seturi suficient de mici, atunci coomologia nervului învelișului este o bună aproximare a coomologiei spațiului în sine.

Numit după Aleksandrov și Cech . De obicei marcat cu . ${\verifica {H}}^{*}$

Clădire

Fie un spațiu topologic și o acoperire deschisă a . Se notează prin nervul de acoperire . $X$ ${\mathcal {V))$ $X$ $N_{\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V))$

Să presupunem că capacul este înscris în copertă , adică orice set de la este conținut într-un set de la . Să alegem o mapare care se asociază cu fiecare set din setul care îl conține din . Această cartografiere induce cartografierea nervilor . Homomorfismul indus al inelelor de coomologie nu depinde de alegerea . (Deoarece lucrăm cu complexe simpliale, nu contează care dintre teoriile de coomologie alegem.) ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ $f\colon N_{\mathcal {W}}\la N_{\mathcal {V}}$ $f^{*}\colon H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)\la H^{*}(N_{\mathcal {W)),G)$ $f$

Inelele de coomologie cu homomorfisme formează un sistem invers. Acest lucru face posibilă trecerea la limita inversă $H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)$ $f^{*}$

{\check {H}}^{*}(X,G)=\varprojlim H^{*}(N_{\mathcal {V}},G).

Inelul rezultat se numește coomologia Cech a spațiului cu coeficienți în . ${\verifica {H}}^{*}(X,G)$ $X$ $G$

Relația cu alte teorii de coomologie

Pentru spațiile patologice, coomologia Cech poate diferi de coomologia singulară.
- De exemplu, dacă X este un cerc polonez , atunci , în timp ce ${\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$ $H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.$
Dacă X este omotopie echivalentă cu un complex CW , atunci coomologia Cech este în mod natural izomorfă cu coomologia singulară . ${\verifica {H}}^{*}(X;A)$ $H^{*}(X;A)$
Dacă X este o varietate netedă , atunci coomologia Cech este în mod natural izomorfă cu coomologia de Rham . ${\verifica {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )$

Link -uri

Alexandrov P. S., „Ann. de Math., 1928, v. 30, p. 101-87;
Sech E., „Fundam. matematică”, 1932, or. 19, p. 149-83;
Bott, Raoul ; Loring Tu. Forme diferențiale în topologia algebrică (nedefinite) . - New York: Springer, 1982. - ISBN 0-387-90613-4 .
Hatcher, Allen Topologie algebrică (nedefinită) . - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-79540-0 .
Wells, RaymondAnaliza diferențială pe varietăți complexe . - Springer-Verlag , 1980. - ISBN 0-387-90419-0 . Capitolul 2 Anexa A