Inel de normalizare discret

Un inel de evaluare discret este un inel care poate fi obținut ca urmare a unei evaluări discrete a unui anumit câmp prin alegerea unui submult de elemente cu o normă nenegativă. Un astfel de inel poate fi definit în multe moduri echivalente.

Un inel de evaluare discret este un inel integral R care îndeplinește una dintre următoarele condiții (echivalente):

1) R este un domeniu local al idealurilor principale care nu este un câmp. 2) R este un inel Dedekind local care nu este un câmp. 3) R este un inel local Noetherian a cărui dimensiune Krull este egală cu unu și al cărui ideal maxim unic este principal. 4) R este un inel local Noetherian unidimensional închis integral . 5) R este domeniul idealurilor principale cu un singur ideal prim diferit de zero . 6) R este un inel factorial cu un singur element indecomposabil (până la luarea asociată ). 7) Există o evaluare discretă a câmpului fracțiilor inelului R astfel încât R să coincidă cu mulțimea elementelor cu normă nenegativă.

Exemple

Să notăm Câmpul fracțiilor din acest inel — totul Descompunem numărătorul și numitorul unui rațional arbitrar în unele simple și îl reprezentăm sub forma cu impar , să punem Atunci — inelul de evaluare discret corespunzător lui . Rețineți că este localizarea inelului Dedekind în raport cu idealul prim . Se pare că localizarea oricărui inel Dedekind în raport cu un ideal prim diferit de zero este un inel de evaluare discret. $\mathbb {Z} _{(2)}=\{p/q\;|\;p,q\in \mathbb {Z} ,q\nu \vdots \;2\}.$ ${\mathbb Q}.$ $r$ $2^{k}p/q$ $p,q$ $v(r)=k.$ $\mathbb {Z} _{(2))$ $v$ $\mathbb {Z} _{(2))$ $\mathbb {Z}$ $(2)$
Ca exemplu mai geometric, să luăm inelul funcțiilor raționale , al cărui numitor nu este egal cu zero la zero, adică funcții care sunt definite într-o vecinătate a zero. Astfel de funcții formează un inel de evaluare discret, singurul element ireductibil este funcția (până la luarea celor asociate), iar evaluarea corespunzătoare a funcțiilor raționale este de ordinul zero (posibil zero sau negativ) a acestei funcții la zero. Acest exemplu este standard pentru studierea unei curbe algebrice într-un punct non-singular; în acest caz, curba algebrică este axa reală. $X$
Un alt exemplu important este inelul seriei de puteri formale ; aici elementul ireductibil este seria , iar evaluarea este gradul primului coeficient diferit de zero. Dacă ne limităm la coeficienți reali sau complecși, putem considera serii care converg într-o vecinătate de zero - acesta este încă un inel de evaluare discret. $X$
Inel de numere p-adice . $\mathbb {Z} _{p}$

Topologie

Orice inel de evaluare discret este în mod natural un inel topologic , distanța dintre elementele x și y este dată după cum urmează:

{\displaystyle |xy|=2^{-\nu (xy)))

(în loc de 2, puteți lua orice număr real >1). Intuitiv, un element este mic (aproape de zero) dacă norma sa este mare.

Un inel de evaluare discret este compact dacă și numai dacă este complet și câmpul rezidual R/m ( m este un ideal maxim) este finit.

Literatură

Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. - M: Mir, 1972
Dummit, David S. & Fost2=Richard M. (2004), ISBN 978-0-471-43334-7