Dimensiunea Krull

Dimensiunea Krull este o caracteristică numerică a inelelor comutative , cea mai mare lungime a unui lanț de idealuri prime imbricate ale unui inel dat. Nu neapărat finit chiar și pentru inelele Noetheriene .

Dimensiunea Krull ne permite să formulăm o definiție pur algebrică a dimensiunii unei varietăți algebrice : dimensiunea unei varietăți algebrice afine dată de un ideal într-un inel polinomial este dimensiunea Krull a inelului coeficient . $eu$ $R$ $R/I$

Definiție

Lungimea unui lanț de idealuri prime de forma:

{\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}

este luată ca , adică se ia în considerare numărul de incluziuni stricte, și nu numărul de idealuri. Dimensiunea Krull a unui inel este lungimea maximă peste setul tuturor lanțurilor de idealuri prime . $n$ $R$ $R$

Pentru un ideal prim , se poate defini codimensiunea acestuia (numită și înălțime sau rang), notat ca lungimea maximă a unui lanț de idealuri prime de forma . $\mathfrak{p}$ $\operatorname{codim}(\mathfrak{p})$ $\mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n\subseteq \mathfrak{p}$

Exemple

Dimensiunea unui câmp arbitrar este egală cu zero, mai general, dimensiunea inelului de polinoame k [ x 1 , …, x n ] este egală cu n . În plus, dacă R este un inel noetherian a cărui dimensiune este egală cu n , atunci dimensiunea inelului R [ x ] este egală cu n + 1. Fără ipoteza noetheriană, dimensiunea lui R [ x ] poate varia de la n +1 la 2 n +1.
Dimensiunea oricărui inel ideal principal este 1.
Un inel integral este un câmp dacă și numai dacă dimensiunea lui este zero. Inelele dedekind care nu sunt câmpuri au dimensiunea 1.
Un inel noetherian este artinian dacă și numai dacă dimensiunea lui este zero.
O extensie întreagă a unui inel are aceeași dimensiune ca și inelul original.
Dimensiunea Krull a inelului R este egală cu dimensiunea spectrului său ca spațiu topologic, adică lungimea maximă a unui lanț de submulțimi închise ireductibile.

Dimensiunea modulului

Dacă R este un inel comutativ și M este un modul R - , atunci dimensiunea Krull a lui M este definită ca dimensiunea Krull a inelului coeficient de către anihilatorul modulului:

\operatorname{dim}_R M := \operatorname{dim}( R/\operatorname{Ann}_R(M))

unde Ann R ( M ) este nucleul mapării naturale R → End R (M) (asociind unui element al inelului înmulțirea cu acest element).

Înălțime ideală

Înălțimea unui ideal prim al unui inel comutativ este supremul lungimilor lanțurilor ale idealurilor prime conținute în . De exemplu, înălțimea unui ideal prim care nu conține alte idealuri prime este 0. Dimensiunea Krull a unui inel poate fi definită ca suprema înălțimii peste setul de idealuri prime. $\mathfrak p$ $R$ $\mathfrak p$ $R$

În cazul unui inel comutativ noetherian , conform teoremei lui Krull, înălțimea unui ideal generat de n elemente nu depășește n .

Definiția înălțimii poate fi extinsă la idealuri arbitrare prin definirea înălțimii unui ideal ca fiind minimul înălțimilor idealurilor prime care conțin idealul dat.

Vezi și

Literatură

Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. - Presa factorială, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Irving Kaplansky , Inele comutative (ed. revizuită), University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 . Pagina 32.
Eisenbud, David (1995), Algebra comutativă cu privire la geometria algebrică , voi. 150, Texte pentru absolvenți în matematică, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1

Dimensiunea spațiului
Spații după dimensiune	Zero-dimensionale unidimensional 2D 3D patru dimensionale cinci dimensiuni În șase dimensiuni Șapte-dimensionale octal Nouă-dimensionale n-dimensională Dimensiunea negativă
Politopuri și figuri	Simplex hipercub tesseract Hiperdreptunghi (ortotop) Semihipercub Cross-politope hipersferă
Tipuri de spații	spațiu finit-dimensional Spațiul euclidian spatiu afin spațiu proiectiv Modul gratuit Manifold Dimensiunea unei variabile algebrice spațiu timp
Alte concepte dimensionale	dimensiunea Krull Dimensiunea Lebesgue Dimensiunea inductivă Dimensiunea fracțională ( dimensiunea Minkowski , dimensiunea Hausdorff ) dimensiune fractală Grade de libertate
Matematica