Comutativitatea

Comutativitatea , legea comutativă ( latina târziu commutativus - schimbare) - o proprietate a operației binare " ", care constă în posibilitatea rearanjarii argumentelor: $\circ$

x\circ y=y\circ x

pentru orice elemente .

X y

În special, dacă operația de grup este comutativă, atunci se spune că grupul este abelian . Dacă operația de înmulțire într-un inel este comutativă, atunci se spune că inelul este comutativ.

Termenul de „comutativitate” a fost introdus în 1815 de către matematicianul francez François Joseph Servois .

Exemple:

suma și produsul numerelor reale sunt comutative: $a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in \mathbb {R}$ .
conjuncția și disjuncția sunt comutative: $a\land b\equiv b\land a;\quad a\lor b\equiv b\lor a$ .
uniunea , intersecția și diferența de mulțime simetrică sunt comutative: $A \cup B = B \cup A; \quad A \cap B = B \cap A; \quad A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup A.$

Multe operații binare sunt asociative , dar în general necomutative, cum ar fi, de exemplu, înmulțirea matricei :

\tbinom{5\ 4}{8\ 0} ​​​​\tbinom{2\ 9}{6\ 1} = \tbinom{34\ 49}{16\ 72}

, dar

\tbinom{2\ 9}{6\ 1} \tbinom{5\ 4}{8\ 0} ​​​​= \tbinom{82\ \,8\,}{38\ 24}

și concatenarea șirurilor :

„a” + „b” = „ab”, dar „b” + „a” = „ba”.

Mai mult, nu orice operație comutativă este asociativă (există magme comutative cu o operație neasociativă).

Există o serie de generalizări ale conceptului de comutativitate pentru operații cu mai mult de două argumente (diverse variante de simetrie).

Operațiile comutative formează un strat extins de structuri algebrice , care au multe proprietăți „bune” care nu sunt inerente structurilor necomutative (de exemplu, grupurile comutative în comparație cu cele non-abeliene ), în multe ramuri ale matematicii, tehnica de reducerea problemelor la structuri comutative este folosită ca proprietăți mai studiate și mai convenabile. Algebra comutativă este o direcție algebrică generală care studiază proprietățile inelelor comutative și ale obiectelor comutative aferente ( module , idealuri , divizori , câmpuri ).

Link -uri

Comutativitate // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.
Comutativitate - articol din Encyclopedia of Mathematics . D. M. Smirnov