Compactare Stone-Cech

Compactificarea Stone-Cech (de asemenea Stone-Cech sau Cech- Stone compactificare ) este compactarea maximă a unui spațiu topologic complet regulat .

Compactificarea Stone-Cech a unui spațiu este de obicei notă ca . $X$ $\beta X$

Istorie

Construcția de compactare Stone-Cech a fost luată în considerare pentru prima dată de Tikhonov [1] în 1930. A fost descrisă mai explicit în 1937 de Stone [2] și Eduard Cech [3] .

Proprietate generică

$\beta X$ este un spațiu Hausdorff compact împreună cu o mapare continuă din satisfacerea următoarei proprietăți universale : orice mapare continuă la un spațiu Hausdorff compact poate fi extinsă în mod unic la o mapare continuă, astfel încât următoarea diagramă să fie comutativă : $X,$ $f:X\la K$ $K$ $\beta f:\beta X\la K,$

În cazul în care spațiul original a fost complet regulat, maparea este un homeomorfism pe imaginea acestei mapări (adică o încorporare ). $X$ $X\la \beta X$ $X$

Notă

Chiar dacă proprietatea universală definește în mod unic o compactificare până la un izomorfism , pentru a demonstra existența unei compactări trebuie descrisă o construcție explicită.

Constructii

Se notează prin mulțimea tuturor funcțiilor continue . Se poate verifica că maparea ( cubul lui Tihonov ) este definită de egalitate $A$ $\alpha \colon X\to [0,1]$ $F:X\to [0,1]^{A}$

x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A)

este un homeomorfism asupra imaginii sale . Închiderea în și va fi compactarea dorită. $X$ $F(X)\subset [0,1]^{A}$ $F(X)$ $[0,1]^{A}$

Proprietăți

Daca este un spatiu discret , compactarea lui este multimea de ultrafiltre pe reteaua de submultimi dotate cu topologia Stone . Ca bază de seturi deschise ale topologiei Stone pe setul de ultrafiltre , putem lua seturi pentru toate posibilele $X$ $X,$ $G$ $D_{a}=\{U\in G|a\in U\}$ $a\in P(X).$

Note

↑ Tychonoff, A. (1930), Über die topologische Erweiterung von Räumen, - Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 102: 544-561
↑ Stone, MH (1937), Aplicații ale teoriei inelelor booleene la topologia generală, - Trans. amer. soc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3) 41 (3): 375-481
↑ Čech, E. (1937), Despre spații bicompacte, - Ann. Matematică. (The Anales of Mathematics, Vol. 38, No. 4) 38 (4): 823-844

Literatură

Prelungire bicompact Stone-Cech - articol Enciclopedia Matematicii . Kozhevnikova I.G.
Dror Bar-Natan , Ultrafiltre, Compactitate și compactare Stone-Čech