Geometria finală

Geometria finită este un sistem geometric care are un număr finit de puncte . De exemplu, geometria euclidiană nu este finită, deoarece linia euclidiană conține un număr nelimitat de puncte sau, mai degrabă, conține exact atâtea puncte câte numere reale există . O geometrie finită poate avea orice număr finit de dimensiuni .

Geometriile finite pot fi descrise de algebra liniară ca spații vectoriale și structuri similare peste un câmp finit , care sunt numite geometrii Galois , sau pot fi descrise complet combinatoric . Multe, dar nu toate, geometriile finite sunt Galois — de exemplu, orice spațiu proiectiv de dimensiunea trei sau mai mare este izomorf cu un spațiu proiectiv peste un câmp finit (proiectivizarea unui spațiu vectorial peste un câmp finit), caz în care nu există diferență, dar există o dimensiune a două planuri proiective care nu sunt izomorfe cu spațiile proiective peste câmpuri finite. Suntavioane non-desarguesiene . Astfel, există două diferențe de dimensiune.

Planuri de capăt

Următoarele observații se aplică numai planurilor de capăt.

Există două tipuri de geometrie în plan: afină și proiectivă . Geometria afină folosește noțiunea obișnuită de drepte paralele. În geometria proiectivă, dimpotrivă, oricare două drepte se intersectează în singurul punct posibil și, prin urmare, nu există linii paralele. Atât geometria afină finită pe plan cât și geometria proiectivă finită pe plan pot fi descrise prin axiome destul de simple . O geometrie afină în plan este o mulțime nevide (ale cărei elemente se numesc „puncte”), cu o mulțime nevidă de submulțimi (ale căror elemente se numesc „linie”), astfel încât: $X$ $L$ $X$

Pentru două puncte distincte, există o singură linie care conține ambele puncte.
Axioma de paralelism a lui Euclid : Pentru o dreaptă și un punct care nu este în , există una și o singură dreaptă care conține , astfel încât . $\ell$ $p$ $\ell$ $\el'$ $p$ $\ell \cap \ell '=\varnothing$
Există un set de patru puncte, dintre care trei nu se află pe aceeași linie.

Ultima axiomă asigură că geometria nu este goală, în timp ce primele două îi descriu natura.

Cel mai simplu plan afin conține doar 4 puncte și se numește plan afin de ordinul doi . Fiecare pereche de puncte definește o linie unică, astfel încât planul indicat conține 6 linii. Acest lucru este analog cu un tetraedru , în care muchiile care nu se intersectează sunt considerate „paralele”, sau un pătrat, în care nu numai laturile opuse sunt considerate paralele, ci și diagonalele sunt considerate paralele.

Mai general, un plan de ordin afin finit are puncte și linii; fiecare linie conține puncte și fiecare punct aparține unei linii. $n$ $n^{2}$ $n^{2}+n$ $n$ $n+1$

O geometrie proiectivă în plan este o mulțime nevide (ale cărei elemente se numesc „puncte”), împreună cu o mulțime nevidă de submulțimi (ale căror elemente se numesc „linii”) astfel încât: $X$ $L$ $X$

Pentru oricare două puncte diferite, există o singură linie care conține aceste puncte.
Intersecția a două drepte distincte conține exact un punct.
Există un set de patru puncte, dintre care trei nu aparțin aceleiași linii.

Primele două axiome sunt aproape identice, cu excepția faptului că rolurile punctelor și liniilor s-au schimbat: acest lucru duce la principiul dualității geometriei proiective pe plan, adică putem presupune că afirmația corectă rămâne adevărată dacă înlocuim punctele cu linii și linii cu puncte.

Deoarece a treia axiomă necesită existența a cel puțin patru puncte, planul trebuie să conțină cel puțin 7 puncte pentru a satisface condițiile primelor două axiome. Acest cel mai simplu plan proiectiv are și 7 linii; fiecare punct aparține la trei drepte și fiecare linie conține trei puncte. Un astfel de plan proiectiv este adesea numit „ planul Fano ”. Dacă oricare dintre linii este îndepărtată din plan împreună cu punctele care îi aparțin, atunci ca rezultat obținem un plan afin de ordinul doi. Din acest motiv, planul Fano este numit plan proiectiv de ordinul doi.

În cazul general, planul proiectiv de ordine are puncte și același număr de linii (după principiul dualității menționat mai sus). Fiecare linie conține puncte și fiecare punct aparține unei linii. $n$ $n^{2}+n+1$ $n+1$ $n+1$

O permutare a celor șapte puncte ale planului Fano care transportă puncte coliniare (cele care se află pe aceeași linie) în puncte coliniare se numește „ simetria ” planului. Grupul cu simetrie completă are ordinul 168 și este izomorf cu grupul PSL(2,7) = PSL(3,2) și cu grupul liniar general GL(3,2).

Comenzi de avioane

Un plan finit de ordine este un astfel de plan, a cărui linie are un punct (pentru un plan afin) sau fiecare linie are un punct (pentru un plan proiectiv). Pentru geometria finită, următoarea întrebare importantă rămâne deschisă: $n$ $n$ $n+1$

Ordinea unui plan finit este întotdeauna o putere a unui număr prim ?

Răspunsul la această întrebare se presupune ipotetic a fi da, dar acest lucru rămâne nedovedit.

Planurile de ordine afine și proiective există ori de câte ori este o putere a unui număr prim și provin dintr-un câmp finit cu elemente. Există și planuri care nu provin din câmpuri finite. Cel mai mic astfel de plan are ordinul 9 [1] . $n$ $n$ $q=p^{k}$

Toate exemplele cunoscute sunt de ordinul unei puteri a unui număr prim; ipoteza că acest lucru este adevărat este confirmată în mai multe cazuri speciale. Cel mai bun rezultat în această direcție este teorema Bruck-Reiser [2] , care spune: dacă există un întreg pozitiv care are forma sau și nu este egal cu suma a două pătrate, atunci nu este de ordinul lui planul finit. $n$ $4k+1$ $4k+2$ $n$ $n$

În virtutea teoremei Fermat-Euler, puterea unui număr prim nu poate satisface cerințele teoremei Bruck-Reiser. Cel mai mic număr întreg care nu este o putere a unui număr prim și nu îndeplinește cerințele teoremei Brooke-Reiser este 10. Numărul 10 are forma , dar este egal cu suma pătratelor . Inexistența unui plan finit de ordinul 10 a fost dovedită de un computer în 1989. $4k+2$ $1^{2}+3^{2}$

Următorul cel mai mic număr care poate să nu fie de ordinul unui plan finit este 12, pentru care ipotezele nu au fost încă dovedite, dar nici infirmate.

Note

↑ Matematică discretă folosind pătratele latine . — John Wiley & Sons, 17.09.1998. - S. 146. - 336 p. Arhivat pe 27 aprilie 2021 la Wayback Machine
↑ Bruck, RH & Ryser, HJ (1949), The nonexistence of certain finite projective planes , Canadian Journal of Mathematics vol . 1: 88–93 , DOI 10.4153/cjm-1949-009-2

Literatură

Margaret Lynn Batten: Combinatoria geometriilor finite. Cambridge University Press
Dembowski: Geometrii finite.
Lam, CWH (1991), The Search for a Finite Projective Plane of Order 10 , American Mathematical Monthly vol. 98 (4): 305–318 , < http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lam / >
Cartesi F. Introducere în geometriile finite

Link -uri

Weisstein, Eric W. finite geometry (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Eseu despre geometrie finită de Michael Greenberg (link descendent din 18.05.2013 [3438 de zile] - istorie )
Geometrie finită (Script)
Resurse de geometrie finită
JWP Hirschfeld , cercetător în geometrii finite
- Cărți de Hirschfeld despre geometria finită
Coloana AMS: Geometrii finite?
Geometrie Galois și poligoane generalizate (link indisponibil din 18-05-2013 [3438 zile] - istorie ) , curs intensiv în 1998
Carnahan, Scott (27.10.2007), Seturi finite mici , < http://sbseminar.wordpress.com/2007/10/27/small-finite-sets/ >