Bringa Root

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 septembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

În algebră, rădăcina Bring sau ultraradical este o funcție analitică care definește singura rădăcină reală a unui polinom . Cu alte cuvinte, pentru orice este adevărat că $Sutien)$ $x^{5}+x+a$ $A$

Br(a)^{5}+Br(a)+a=0.

Tăierea în plan complex se desfășoară de-a lungul semiaxei reale . $x\leqslant -1$

Rădăcina Bring a fost introdusă de matematicianul suedez Samuel

George Gerrard a arătat că toate ecuațiile de gradul 5 pot fi rezolvate în Bring radicals and roots.

Bring-Gerard forma normală

În cazul în care un

x^{5}+a_{1}x^{4}+a_{2}x^{3}+a_{3}x^{2}+a_{4}x+a_{5}=0

atunci dacă

y=x^{4}+b_{1}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{3}x+b_{4},

putem obține un polinom de gradul 5 din făcând o transformare Tschirnhaus , de exemplu, folosind rezultanta pentru a elimina . Apoi putem alege anumite valori ale coeficientului pentru a obține un polinom de formă $y$ $X$ $b_{i}$ $y$

y^{5}+py+q

Această formă incompletă, descoperită de Bring și redescoperită de Gerard, se numește forma normală Bring-Gerard . Metoda „pe frunte” atunci când încercați să aduceți la forma normală de Bring - Gerard nu funcționează; trebuie să facem acest lucru pas cu pas, aplicând câteva transformări Tschirnhaus, pe care sistemele moderne de calcul analitic le fac destul de ușor.

La început, înlocuind , scăpăm de membrul cu . Apoi, aplicând ideea de Tschirnhaus pentru excludere și termenul , introducem o variabilă și găsim astfel și , astfel încât, ca rezultat, coeficienții pentru și devin egali cu 0. Mai precis, substituțiile $x-a_{1}/5$ $X$ $x^{4}$ $x^{3}$ $y=x^{2}+px+q$ $p$ $q$ $x^{3}$ $x^{4}$

q={\frac {2c}{5}}

și

p={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {12c^{3}-40ec+45d^{2}}}-15d}{10c}}

exclude membrii a treia și a patra putere simultan din

x^{5}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f

Următorul pas este să faci o înlocuire

y=x^{4}+b_{1}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{3}x+b_{4}

în formă

x^{5}+dx^{2}+ex+f

și excludem și termenul de gradul doi, în procesul căruia nu va fi necesar să se rezolve ecuații de grad mai mare decât 3. În acest caz, expresiile pentru și conțin rădăcini pătrate , iar în expresia pentru există o rădăcină de gradul trei . $b_{1},b_{2}$ $b_{4}$ $b_{3}$

Vizualizarea generală este relativ ușor de calculat folosind sisteme informatice precum Maple sau Mathematica , dar este prea greoaie, așa că este mai bine să descriem o metodă care poate fi apoi aplicată într-un anumit caz. În orice caz particular, puteți compune un sistem de trei ecuații pentru coeficienți și îl puteți rezolva. Una dintre soluțiile obținute în acest fel va include rădăcini de polinoame nu mai mari de gradul trei; După ce luăm în considerare rezultanta cu coeficienții calculați, reducem ecuația la forma Bring-Gerard. Rădăcinile ecuației inițiale sunt exprimate în termeni de rădăcinile ecuației rezultate. $b_{i}$

Considerată ca o funcție algebrică , soluții ale ecuației

x^{5}+ux+v=0

depinde de doi parametri și , totuși, prin schimbarea variabilei, se poate modifica ecuația astfel încât necunoscutul să fie o funcție a unui singur parametru. Deci, dacă pui $u$ $v$

z={x \over (-u/5)^{{1/4}}}

venit la forma

x^{5}-5x-4t=0

care conține ca funcție algebrică a unui parametru complex, în general vorbind , unde . $X$ $t$ $t=-(v/4)(-u/5)^{-5/4}$

Bring's roots

Ca funcții ale variabilei complexe t , rădăcinile x ale ecuației

x^{5}-5x-4t=0

au puncte de ramificație în care discriminantul 800 000( t 4 - 1) dispare, adică în punctele 1, −1, precum și i și -i . O monodromie în jurul oricăruia dintre punctele de ramificare schimbă două dintre ele, lăsând unul pe loc. Pentru valorile reale ale lui t mai mari sau egale cu -1, cea mai mare rădăcină reală este o funcție a lui t care crește monoton de la 1; Să numim această funcție Bring root , BR( t ). Alegând o ramură tăiată de-a lungul axei reale de la -1, putem extinde rădăcina Bring pe întreg planul complex, setând valorile de-a lungul ramurii astfel încât să obținem o continuare analitică de-a lungul semiplanului superior. $-\infty$

Mai exact, fie , și definiți secvența a i în mod recursiv $a_{0}=3,a_{1}={1 \over 100},a_{2}=-{27 \over 400\,000},a_{3}={549 \over 800\,000\, 000}$

a_{{n+4}}=-{{\frac {185\,193}{5\,278\,000}}}\,{{\frac {2\,n+5}{n+4} }}a_{{n+3}}

-{\frac {9\,747}{52\,780\,000}}\,{\frac {10\,{n}^{2}+40\,n+39}{\left (n+4\dreapta)\stanga(n+3\dreapta)}}a_{n+2}

-{{\frac {57}{52\,780\,000}}}\,{{\frac {\left(2\,n+3\right)\left(10\,{n}^{{ 2}}+30\,n+17\right)}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)}}}a_{{n+ one }}

$-{{\frac {1}{6\,597\,500\,000}}}\,{{\frac {\left(5\,n+11\right)\left(5\,n+7 \right)\left(5\,n+3\right)\left(5\,n-1\right)}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)\left( n+2\dreapta)\stanga(n+1\dreapta)}}}a_{n}.$

Pentru valori complexe ale lui t astfel încât | t -57| < 58, obținem

\operatorname {BR} (t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(t-57)^{n},

care poate fi continuat analitic, ceea ce a fost deja menționat.

Rădăcinile x 5 - 5 x - 4 t = 0 pot fi acum exprimate în termenii Bring rădăcini după cum urmează:

r_{n}=i^{{-n}}\operatorname {BR}(i^{n}t)

pentru n de la 0 la 3 și

r_{4}=-r_{0}-r_{1}-r_{2}-r_{3}

pentru a cincea rădăcină.

Rezolvarea ecuației generale de gradul al cincilea

Acum putem exprima rădăcinile polinomului

$x^{5}+px+q=0$

în ceea ce priveşte radicalii Bring as

$x={\sqrt[{4}]{p}}\cdot BR\left({\frac {q}{\sqrt[{4}]{p^{5))))\right)= {\sqrt[{4}]{p}}\cdot H\left({\frac {{\sqrt[{4}]{p}}\cdot e^{\frac {2\pi ik}{5} }}{\sqrt[{5}]{q}}}\dreapta),k=0..4$

pentru a calcula rădăcina, este suficient să luați doar 1 valoare din 4-x ${\sqrt[{4}]{p))$

BR(x)=H\left({\frac {e^{\frac {2\pi ik}{5}}}{\sqrt[{5}]{x}}}\dreapta), k =0...4

. Dovada

Înlocuiți în ecuație și obțineți . Luați , apoi obținem: . Rădăcinile sale sunt prin definiție egale cu: $x^{5}+px+q=0$ $x=\alpha y$ $y^{5}+{\frac {p}{\alpha ^{4}}}y+{\frac {q}{\alpha ^{5}}}=0$ $\alpha ={\sqrt[{4}]{p}}$ $y^{5}+y+{\frac {q}{p^{\frac {5}{4)}})=0$

y=BR\stanga({\frac {q}{p^{\frac {5}{4)}})\dreapta)

, atunci rădăcinile ecuației originale sunt

x={\sqrt[{4}]{p}}\cdot BR\left({\frac {q}{p{\sqrt[{4}]{p))))\right)

Q.E.D.

Deci, avem o reducere la forma Bring-Gerard în termeni de ecuații polinomiale rezolvabile, folosind transformări polinomiale care implică expresii în rădăcini nu mai mari de gradul al patrulea. Aceasta înseamnă că transformările pot fi inversate prin găsirea rădăcinilor polinomului, exprimate în radicali. Această procedură generează soluții inutile, dar dacă le tăiem prin metode numerice, obținem o expresie pentru rădăcinile ecuației de gradul cinci în termeni de pătrat, rădăcini cubice și radicali Bring, care, cu alte cuvinte, va fi o soluție algebrică în termeni de funcții algebrice ale unei variabile - o soluție algebrică a unei ecuații generale de gradul cinci.

Exemple

unu) $x^{5}+2x+7=0$

$x={\sqrt[{4}]{2}}\cdot BR\left({\frac {7}{2{\sqrt[{4}]{2))))\right)={ \sqrt[{4}]{2}}\cdot H\left({\sqrt[{5}]{\frac {2{\sqrt[{4}]{2}}}{7}}}e^ {\frac {2\pi ik}{5}}\right),k=0...4$

2) $x^{5}-x+7=0$

$x=-{\sqrt[{4}]{-1}}BR\left({\frac {7}{\sqrt[{4}]{-1}}}\right)=-e^ {\frac {\pi i}{4}}\cdot BR\left({\frac {7}{e^{\frac {\pi i}{4}}}}\right)=-e^{\ frac {\pi i}{4}}\cdot H\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{20}}}{\sqrt[{5}]{7}}}e^ {\frac {2\pi ik}{5}}\right),k=0...4$ ,

funcția este definită mai jos $H(x)$

3) $x^{5}-{\frac {5}{2}}x-26=0$

$x_{k}=e^{\frac {2\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {\left({\sqrt {2}}+{\sqrt { 2-{\sqrt {2}}}}\right)^{2}\left(-{\sqrt {2}}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}{ 2}}}+e^{\frac {4\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {\left(-{\sqrt {2}}+{\sqrt {2+ {\sqrt {2}}}}\right)^{2}\left({\sqrt {2}}-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)}{2}} }+$

$+e^{\frac {6\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {\left(-{\sqrt {2}}+{\sqrt {2-{ \sqrt {2}}}}\right)^{2}\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)}{2}}} +e^{\frac {8\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {\left({\sqrt {2}}-{\sqrt {2-{\sqrt {2 }}}}\right)^{2}\left(-{\sqrt {2}}-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}{2}}},k= 0,1,2,3,4$ .

patru) $x^{5}-5x+12=0$

$x_{k}=-{\sqrt[{4}]{5}}\cdot e^{\frac {\pi i}{4}}\cdot BR\left({\frac {2}{} 5{\sqrt[{4}]{5}}\cdot e^{\frac {\pi i}{4))))\right)$

$x_{k}=5^{-{\frac {2}{5}}}e^{\frac {2\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\left( {\sqrt {5}}+{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)^{2}\left(-{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+{\ sqrt {5))))\right)))+e^{\frac {4\pi ik}{5}}5^{-{\frac {2}{5}}}{\sqrt[{5} ]{\left(-{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)^{2}\left({\sqrt {5}}-{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)))+$

$+5^{-{\frac {2}{5}}}e^{\frac {6\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\left(-{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)^{2}\left({\sqrt {5}}+{\sqrt {5-{\sqrt {5} }}}\right)}}+e^{\frac {8\pi ik}{5}}5^{-{\frac {2}{5}}}{\sqrt[{5}]{\left ({\sqrt {5}}-{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)^{2}\left(-{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+{ \sqrt {5}}}}\right)}},k=0,1,2,3,4$

5) $x^{5}+{\frac {15-20{\sqrt {\pi }}}{\pi +1}}x-{\frac {44+8{\sqrt {\pi }}} {\pi +1}}=0$

$x_{k}=e^{\frac {2\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {\left({\sqrt {\pi +1}}+{ \sqrt {\pi +1-{\sqrt {\pi +1))))\right)^{2}\left(-{\sqrt {\pi +1))+{\sqrt {\pi +1 +{\sqrt {\pi +1))))\right)}{(\pi +1)^{2))))+e^{\frac {4\pi ik}{5)){\sqrt [{5}]{\frac {\left(-{\sqrt {\pi +1))+{\sqrt {\pi +1+{\sqrt {\pi +1))))\right)^{ 2}\left(+{\sqrt {\pi +1}}-{\sqrt {\pi +1-{\sqrt {\pi +1))))\right)}{(\pi +1)^ {2}}}}+$ $+e^{\frac {6\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {\left(-{\sqrt {\pi +1}}-{\sqrt { \pi +1+{\sqrt {\pi +1))))\right)^{2}\left(+{\sqrt {\pi +1))+{\sqrt {\pi +1-{\ sqrt {\pi +1))))\right)}{(\pi +1)^{2))))++e^{\frac {8\pi ik}{5)){\sqrt[{ 5}]{\frac {\left(+{\sqrt {\pi +1}}-{\sqrt {\pi +1-{\sqrt {\pi +1}}}}\right)^{2} \left(-{\sqrt {\pi +1}}-{\sqrt {\pi +1+{\sqrt {\pi +1))))\right)}{(\pi +1)^{2 }}}},k=0,1,2,3,4.$

6) $x^{5}+15x-44=0$

$x_{k}=e^{\frac {2\pi i}{5}}{\sqrt[{5}]({\sqrt {2}}-1}}+e^{\frac { 4\pi i}{5}}{\sqrt[{5}]{3-2{\sqrt {2}}}}+e^{\frac {6\pi i}{5}}{\sqrt[ {5}]{3+2{\sqrt {2}}}}-e^{\frac {8\pi i}{5}}{\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+ 1}},k=0,1,2,3,4.$

Function Graph

Pentru clasificare, introducem discriminantul $D=256p^{5}+3125q^{4}$

Apoi, în funcție de semnul lui D, tipul de grafic poate fi împărțit în 3 cazuri:

$D>0$ . 1 rădăcină reală și 4 rădăcini complexe. Maximul și minimul (dacă există) sunt de aceeași parte a axei OX
$D<0$ . 3 rădăcini reale și 2 rădăcini complexe. Maximul și minimul sunt pe părțile opuse ale axei OX.
$D=0$ . Maximul și minimul (dacă există) sunt de aceeași parte a axei OX. Polinomul are mai multe rădăcini. Ele pot fi găsite prin formula: , unde este cel mai mare divizor comun . $gcd(x^{5}+px+q,5x^{4}+p)$ $gcd(x,y)$

Dacă , atunci ecuația are mai multe rădăcini. ${\frac {D}{256p^{4)}}=0$

Clase rezolvabile de ecuații de gradul 5

unu) $x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0$

$x_{k}=e^{\frac {2\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {{\sqrt {b^{2}+4a^{5} }}-b}{2}}}-{\frac {a}{e^{\frac {2\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {{\sqrt {b ^{2}+4a^{5}}}-b}{2}}}}}$ .

2) Dacă în ecuație, $x^{5}+ax+b$ $a,b\in Q,\exists \varepsilon =\pm 1,\exists e\neq 0,\exists c>0$

$a={\frac {5e^{4}(3-4\epsilon c)}{c^{2}+1)),b={\frac {-4e^{5}(11\epsilon +2c)}{c^{2}+1}},$ atunci rădăcinile sunt exprimate în termeni de:

$x_{j}=e(\omega ^{j}u_{1}+\omega ^{2j}u_{2}+\omega ^{3j}u_{3}+\omega ^{4j}u_ {4}),j=0,1,2,3,4$ , unde , , $\omega =e^{\frac {2\pi i}{5)}$ $D=c^{2}+1$

$u_{1}={\sqrt[{5}]{\frac {\left({\sqrt {D)}+{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D}}}}\right )^{2}\left(-{\sqrt {D}}+{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D}}}}\right)}{D^{2}}}}$

$u_{2}={\sqrt[{5}]{\frac {\left(-{\sqrt {D))+{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D)}})\ dreapta)^{2}\left({\sqrt {D}}-{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D}}}}\right)}{D^{2}}}}$

$u_{3}={\sqrt[{5}]{\frac {\left(-{\sqrt {D)}-{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D)}})\ dreapta)^{2}\left({\sqrt {D}}+{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D}}}}\right)}{D^{2}}}}$

$u_{4}={\sqrt[{5}]{\frac {\left({\sqrt {D)}-{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D}}})\right )^{2}\left(-{\sqrt {D}}-{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D}}}}\right)}{D^{2}}}}$

Alte proprietăți

Au fost obținute multe alte proprietăți ale Bring roots, primele fiind formulate în termeni de funcții eliptice modulare de Charles Hermite în 1858. Scriem principalele proprietăți:

0. $\operatorname {BR} (-a)=-\operatorname {BR} (a)$

$\operatorname {BR} (ia)=i\operatorname {BR} (a)$
$\operatorname {BR} (a^{5}+a)=-a$
$\lim _{n\to \infty }BR(n)={\sqrt[{5}]{n))$
$\operatorname {BR} \left({\frac {m^{5}+mn^{4}}{n^{5}}}\right)=-{\frac {m}{n}}$ , ca urmare a 2
$BR(x)'={\frac {1}{5BR(x)^{4}+1}}$
$\int {\frac {1}{5BR(x)^{4}+1}}dx=BR(x)+C$

Rezolvabilitatea la radicali

$x^{5}+px+q=0$

$D=256p^{5}+3125q^{4}$

daca , $p={\frac {3125\phi \chi ^{4}}{(\phi -1)^{4}(\phi ^{2}-6\phi +25))),q={ \frac {3125\phi \chi ^{5}}{(\phi -1)^{4}(\phi ^{2}-6\phi +25)}},\phi \in R,\chi \ în R$

atunci ecuația este rezolvabilă în radicali standard .

Extindere seria pentru $x\rightarrow \infty$

Sa intram: , $Br(x)=H\left({\frac {1}{\sqrt[{5}]{x}}}\right)$ $y={\frac {1}{\sqrt[{5}]{x)))$

Rândul va arăta astfel: $H(y)=-{\frac {1}{y}}+{\frac {y^{3}}{5}}+{\frac {y^{7}}{5^{2 ))}+{\frac {y^{11}}{5^{3}}}-{\frac {21y^{19}}{5^{6}}}-{\frac {78y^{23 }}{5^{7}}}-{\frac {187y^{27}}{5^{8}}}-{\frac {286y^{31}}{5^{9}}}+{ \frac {9367y^{39}}{5^{12}}}+{\frac {39767y^{43}}{5^{13}}}+{\frac {105672y^{47}}{5^ {paisprezece}}}...$

$BR(z)=H\left({\frac {1}{\sqrt[{5}]{z}}}\right)=L\left({\frac {1}{z^{\ frac {4}{5}}}}\right){\sqrt[{5}]{z}}$

Apoi:

la $z\rightarrow \infty$

$L(z)={\frac {-1+\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {j_{n}}{z ^{5n}}}}}{z}},j_{1}=1,j_{2}=1,j_{3}=5,j_{4}=35,...$ , Unde

la $z\rightarrow 0$

$L(z)=\sum _{n=0}^{\infty}-{\frac {{3125}^{-n}\alpha \left(-1/10,2n\right)\alpha \left(2/5,2n\right)\left(-16\right)^{n}{z}^{5n}}{\alpha \left(4/5,n\right)\alpha \left( 3/5,n\right)\alpha \left(2/5,n\right)n!))+1/5{\frac {{3125}^{-n}\alpha \left(4/5, 2n\right)\alpha \left(3/10,2n\right)\left(-16\right)^{n}{z}^{5n+1}}{\alpha \left(6/5,n \right)\alpha \left(4/5,n\right)\alpha \left(3/5,n\right)n!}}+$

$+1/25{{\frac {{3125}^{-n}\alpha \left(6/5,2n\right)\left(-16\right)^{n}{z}^{ 5n+2}}{\alpha \left(7/5,n\right)\alpha \left(6/5,n\right)\alpha \left(4/5,n\right)n!}}\ alfa \left({\frac {7}{10)),2n\right)+{{\frac {{{3125}^{-n}\alpha \left(8/5,2n\right)\left(- 16\right)^{n}{z}^{5n+3}}{125\alpha \left(8/5,n\right)\alpha \left(7/5,n\right)\alpha \left (6/5,n\right)n!}}\alpha \left({\frac {11}{10}},2n\right)))$

Unde $\alpha (a,b)={\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)))$

Extindere seria pentru $x\rightarrow 0$

$BR(a)=-\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k}a^{4k+1 }}{4k+1}}=a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-...$ sau

$\operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5)),{\frac {2}{5)} ,{\frac {3}{5)),{\frac {4}{5));{\frac {1}{2)),{\frac {3}{4)),{\frac {5 }{4));-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right)$

Valori private

$\operatorname {BR} (0)=0$

$\operatorname {BR} (-1)={\frac {\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}{6))+{\frac {2}{3 {\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69))))))-{\frac {1}{3}}$

$\operatorname {BR} (2)=-1$

Soluție prin limite

Având în vedere o ecuație: , rădăcina ei poate fi reprezentată ca: $x^{5}-px-q=0$

$x={\sqrt[{5}]{q+p{\sqrt[{5}]{q+p{\sqrt[{5}]{q+...))))))}$ , sau $x=\lim _{n\to \infty }\overbrace {\sqrt[{5}]{q+p{\sqrt[{5}]{q+...)))) ^{n}$

Dovada

$x={\sqrt[{5}]{q+p{\sqrt[{5}]{q+p{\sqrt[{5}]{q+...))))))}$

1) Să reprezentăm această înregistrare ca o secvență , unde: $x_{n}$

$x_{1}={\sqrt[{5}]{q))$

$x_{2}={\sqrt[{5}]{q+p{\sqrt[{5}]{q))))$

${\displaystyle x_{n+1}={\sqrt[{5}]{q+px_{n))))$

2) Această secvență este monoton crescătoare și mărginită, ceea ce înseamnă că are o limită la , și , $n\rightarrow\infty$ $x_{n+1}=x_{n)$

deci obținem ecuația: , apoi: $x={\sqrt[{5}]{q+px}}$

$x^{5}-px-q=0$

Q.E.D.

Soluție prin funcție theta

$x^{5}-x+d=0$

1) , $k=\tan \left({\frac {1}{4}}\arcsin \left({\frac {16}{25{\sqrt {5}}d^{2}}}\right) \dreapta)$ $K(x)=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^ {2}\varphi }}}$

$p_{n}=i{\frac {K(1-k^{2})}{K(k^{2})))+16n,n=0,1,2,3,4$ pentru toate cele 5 rădăcini

2) Pentru că definim: $j=0,1,2,3,4$

$S_{j}=\left(e^{\frac {\pi i}{4)}\right)^{j}{\frac ({\sqrt {2))\eta (\tau _{ j})\eta ^{2}(4\tau _{j})}{\eta ^{3}(2\tau _{j))))),\tau _{j}={\frac { p_ {n}+2j}{10}}$

$\eta (x)=e^{\frac {\pi ix}{12}}\prod _{k=1}^{\infty}(1-e^{2\pi ikx})$ - Funcția eta a lui Dedekind

$S_{5}={\frac {{\sqrt {2}}\eta \left({\frac {5p_{n}}{2}}\right)\eta ^{2}(10p_{n })}{\eta ^{3}(5p_{n})}}.$

Apoi: , semnul este ales corespunzător. $x_{n}={\frac {\pm 1}{2\cdot 5^{\frac {3}{4)}})\cdot {\frac {k^{\frac {2}{8} ))}{\sqrt {kk^{3}}}}\cdot (S_{0}+S_{5})(S_{1}+iS_{4})(iS_{2}+S_{3})$

Concluzia lui Glasser

Potrivit lui M. L. Glasser (vezi linkul de mai jos), puteți găsi o soluție pentru orice ecuație polinomială din trei termeni de forma:

x^{N}-x+t

În special, o ecuație chintică arbitrară poate fi redusă la această formă folosind transformările Tschirnhaus prezentate mai sus. Luați , unde este forma generală: $x=\zeta ^{{-1/(N-1)}}$

\zeta =e^{{2\pi i}}+t\phi (\zeta ),

\phi (\zeta )=\zeta ^{{N/(N-1)}}

Formula lui Lagrange arată că orice funcție analitică f dintr-o vecinătate a rădăcinii ecuației generale transformate în raport cu ζ poate fi exprimată ca o serie infinită :

f(\zeta )=f(e^{{2\pi i)))+\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!)} } {\frac {d^{{n-1))}{da^{{n-1))))[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{{a= e ^{{2\pi i}}}}

Dacă punem această formulă, putem obține rădăcina: $f(\zeta )=\zeta ^{{-1/(N-1)}}$

x_{1}=\exp(-2\pi i/(N-1))-{\frac {t}{N-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\ frac {(te^{{2\pi i/(N-1))))^{n)){\Gamma (n+2)}}{\frac {\Gamma ({\frac {Nn}{N -1))+1)}{\Gamma ({\frac {n}{N-1))+1)))

Următoarele N-2 rădăcini pot fi găsite prin înlocuirea altor (N-1)-a rădăcini ale unității și ultima rădăcină din teorema lui Vieta (de exemplu, folosind faptul că suma tuturor rădăcinilor formei polinomiale cu trei termeni de mai sus este 1). Cu teorema înmulțirii lui Gauss , seria infinită de mai sus poate fi împărțită într-o sumă finită de funcții hipergeometrice : $\exp(-2\pi i/(N-1))$

\psi (q)=({\frac {\omega t}{N-1)))^{q}n^{{qN/(N-1))){\frac {\prod _{{k= 0}}^{{N-1}}\Gamma ({\frac {Nq/(N-1)+1+k}{N)))}{\Gamma ({\frac {q}{N-1 }}+1)\prod _{{k=0}}^{{N-2}}\Gamma ({\frac {q+k+2}{N-1}})))}

x_{1}=\omega ^{{-1}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {{\frac {N}{2\pi (N- 1)))))\sum _{{q=0}}^{{N-2}}\psi (q)_{{N+1}}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN/(N-1)+1}{N)),\ldots ,{\frac {qN/(N-1)+N}{N)),1;\\{\frac {q+2} {N-1)),\ldots ,{\frac {q+N}{N-1)),{\frac {q}{N-1))+1;\\({\frac {t\omega }{N-1}})^{{N-1}}N^{N})\end{bmatrix}}

unde . $\omega =\exp(2\pi i/(N-1))$

{}_{ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2)})

{}_{{x_{{N}}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{{N-1} ))}{}_{{N-1}}F_{{N-2}}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N)),{\frac {N+3}{2N )),\cdots ,{\frac {N-2}{N)),{\frac {N-1}{N)),{\frac {N+1}{N)),{\frac {N +2}{N)),\cdots ,{\frac {3N-3}{2N)),{\frac {3N-1}{2N));\\[8pt]{\frac {N+1} {2N-4)),{\frac {N+3}{2N-4)),\cdots ,{\frac {N-4}{N-2)),{\frac {N-3}{N -2)),{\frac {N-1}{N-2)),{\frac {N}{N-2)),\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4)) ,{\frac {3}{2));\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{{N-2}}}{4b^{N}\left(N-2\ dreapta)^{{N-2}}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {{\frac {c}{b}}}}{{\rm {{i}}}}{}_{ {N-1}}F_{{N-2}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N)),{\frac {3}{2N)),\cdots ,{\frac {N -4}{2N)),{\frac {N-2}{2N)),{\frac {N+2}{2N)),{\frac {N+4}{2N)),\cdots , {\frac {2N-3}{2N)),{\frac {2N-1}{2N));\\[8pt]{\frac {3}{2N-4)),{\frac {5} {2N-4)),\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4));\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{{N-2))} {4b^{N}\left(N-2\right)^{{N-2}}}}\end{bmatrix}}}}

{}_{{x_{{N-1}}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{{N- 1)))){}_{{N-1}}F_{{N-2}}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N)),{\frac {N+3} {2N)),\cdots ,{\frac {N-2}{N)),{\frac {N-1}{N)),{\frac {N+1}{N)),{\frac {N+2}{N)),\cdots ,{\frac {3N-3}{2N)),{\frac {3N-1}{2N));\\[8pt]{\frac {N+ 1 }{2N-4)),{\frac {N+3}{2N-4)),\cdots ,{\frac {N-4}{N-2)),{\frac {N-3} { N-2)),{\frac {N-1}{N-2)),{\frac {N}{N-2)),\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4 ) ),{\frac {3}{2));\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{{N-2))}{4b^{N}\left(N-2) \right)^{{N-2}}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt ({\frac {c}{b}}}}{{\rm {{i}}}}{} _ {{N-1}}F_{{N-2}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N)),{\frac {3}{2N)),\cdots ,{\frac { N-4}{2N)),{\frac {N-2}{2N)),{\frac {N+2}{2N)),{\frac {N+4}{2N)),\ cdots ,{\frac {2N-3}{2N)),{\frac {2N-1}{2N));\\[8pt]{\frac {3}{2N-4)),{\frac { 5 }{2N-4)),\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4));\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{{N-2} } }{4b^{N}\left(N-2\right)^{{N-2}}}}\end{bmatrix}}}}

{}_{{x_{n}=-e^{({\frac {2n\pi ({\rm {{i}}}}}{N-2}}}}{\sqrt[ {N-2 }]{{\frac {b}{a}}}}{}_{{N-1}}F_{{N-2}}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left (N-2\right))),-{\frac {1}{N\left(N-2\right))))+{\frac {1}{N)),-{\frac {1} { N\left(N-2\right)))+{\frac {2}{N)),\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)))+{ \ frac {1}{N)),{\frac {N-5}{2N)),-{\frac {1}{N\left(N-2\right)))+{\frac {N- 3) }{2N)),-{\frac {1}{N\left(N-2\right)))+{\frac {N+1}{2N)),-{\frac {1}{ N\ stânga(N-2\right)))+{\frac {N+3}{2N)),\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)))+ {\ frac {N-1}{N)),;\\[8pt]{\frac {1}{N-2)),{\frac {2}{N-2)),\cdots ,{\ frac { 2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{{N-2}}}{4b^{N}\left(N- 2\ dreapta)^{{N-2}}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt[ {N-2}]{{\frac {b}{a}}}}\sum _{{q =1 }}^{{N-3}}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q -1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[ {N-2}]{{\frac {a ^{ 2}}{b^{2}}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{({\frac {2n\left(1-2q\right)}{N- 2} }\pi {{\rm {{i}}}}}}}{q!}}{}_{{N-1}}F_{{N-2}}{\begi n{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\stanga(N-2\dreapta)))),{\frac {Nq-1}{N\stanga(N-2\dreapta)))+{ \ frac {1}{N)),{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right))))+{\frac {2}{N)),\cdots ,{\frac {Nq -1}{N\stanga(N-2\dreapta)))+{\frac {N-3}{2N)),{\frac {Nq-1}{N\stanga(N-2\dreapta )} }+{\frac {N+1}{2N)),\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right))))+{\frac {N-1 }{N ));\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2)),{\frac {q+2}{N-2)),\cdots ,{\frac {N- 4}{ N-2)),{\frac {N-3}{N-2)),{\frac {N-1}{N-2)),{\frac {N}{N-2) ),\ cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2)),{\frac {2q+2N-5}{2N-4));\\[8pt]-{\frac {a ^{2 }c^{{N-2}}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{{N-2}}}}\end{bmatrix}},n=1, 2,\ cdots ,N-2}}

Rădăcinile ecuației pot fi apoi reprezentate ca suma a cel mult N-1 funcții hipergeometrice. Aplicând această metodă la forma redusă Bring-Gerrard, definim următoarele funcții:

{\begin{matrix}F_{1}(t)&=&F_{2}(t)\\F_{2}(t)&=&\,_{4}F_{3}(1/5,&2 /5,&3/5,&4/5;&1/2,&3/4,&5/4;&3125t^{4}/256)\\F_{3}(t)&=&\,_{4}F_ {3}(20/9,&13/20,&17/20,&21/20;&3/4,&5/4,&3/2;&3125t^{4}/256)\\F_{4}(t)& =&\,_{4}F_{3}(7/10,&9/10,&11/10,&13/10;&5/4,&3/2,&7/4;&3125t^{4}/256)\ sfârşit{matrice}}

care sunt funcţiile hipergeometrice prezente în seria de mai sus. Rădăcinile ecuației de gradul cinci sunt atunci:

{\begin{matrix}x_{1}&=&-t^{4}F_{1}(t)\\x_{2}&=&-F_{1}(t)&+{\frac {1 {4}}tF_{2}(t)&+{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+{\frac {5}{32}}t^ {3}F_{3}(t)\\x_{3}&=&-F_{1}(t)&+{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-{\ frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+{\frac {5}{32}}t^{3}F_{3}(t)\\x_{4} &=&-iF_{1}(t)&+{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3 }(t)&-{\frac {5}{32}}t^{3}F_{3}(t)\\x_{5}&=&iF_{1}(t)&+{\frac {1 }{4}}tF_{2}(t)&+{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-{\frac {5}{32}}t^ {3}F_{3}(t)\\\end{matrice}}

Acesta este în esență același rezultat cu cel obținut prin metoda rezoluției diferențiale dezvoltată de James Cockle } și Robert Harley în 1860 .

Rezolvant diferențial

f[\phi (a)]=0

Funcția φ poate fi definită astfel:

{\begin{aliniat}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)]}{da ^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{\frac { d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aliniat}}

Atunci rezoluția diferențială este:

{\frac {(256-3125a^{4})}{1155}}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}}-{\frac {6250a^{3}}{ 231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2}\phi } {da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0

Vezi și

Teoria ecuațiilor

Link- uri externe

ML Glasser. Formula pătratică a făcut greu: O abordare mai puțin radicală a rezolvării ecuațiilor. Articolul este disponibil pe arXiv.org aici (link indisponibil)
A. V. Gruzdov, S. V. Berezin. Ultraradical absolut .